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Leibniz 如何想出微积分?(三)

2017-01-22  蜡烛916


Leibniz 如何想出微积分?(一)


Leibniz 如何想出微积分?(二)


四. 从差分到微分

考虑函数 作 [ab] 的分割


得到差分 与 。Leibniz想象(或根据他的连续性原理,principle of continuity),让分割越来越细密,乃至作无穷步骤的分割,使每一小段都变成无穷小 (infinitesimal),于是差分 变成微分 dx(Δ 改为 d 且丢弃指标 k),其中 dx 表示无穷小,它不等于 0并且要多小就有多小。从而差分 变成微分 dF(x) = F(x+dx) - F(x)dF(x) 表示独立变量 x 变化 dx 时,相应函数值的无穷小变化量。换言之,微分是差分在无穷小时之类推。

Leibniz 在1684年首次给出微分的概念与记号,以及如下的演算公式:

例 1. 设 F(x)=xn 则 dF(x)=nxn-1dx

Leibniz 的论证是这样的:


因为第二项之后都含有 dx 的高次项,这些都是比 dx 还高阶的无穷小,弃之可也,所以

dF(x)=dxn=nxn-1dx .


特别地,

 

 

定理2.

设 u=u(x) 与 v=v(x) 为两函数,a 与 c 为常数,则有

(i) d(c)=0

(ii) d(au)=adu

(iii) 

(iv) 

(v) 

上述(iv)今日叫做 Leibniz 规则。

例2. 若 u=x-n,则 du=-nx-n-1dx,若 u=xm/n,则 

只要知道一些基本函数的微分公式,透过定理 2 就可以求得更复杂函数的微分公式。这就是原子论「以简御繁」的方法。微分的演算,在 Leibniz 之前都是个案的处理,之后就有了全盘系统化的处理办法,这就是进步。

Leibniz 利用微分来求函数 v=v(x) 的极值,其方法是解方程式 dv=0。他也引入二阶微分的概念与演算,并且利用二阶微分 ddv=0 的条件来求反曲点 (point of inflection)。


五. 从和分到积分

数列 u=(uk) 与函数 ,都是「函数」,一个定义在自然数集 N上,一个定义在区间 [a,b] 上,因此两者分别是离散 (discreteness) 与连续 (continuity) 之间的类推。

和分 (summation) 探究数列的求和 问题,积分探求函数图形在 [ab] 之上所围成的面积,见下图 2。两者具有密切的关系。

 

图2

首先观察到,和分可以解释为下面图 3 之柱状图的面积。

 

图3

其次将函数 y = f(x) 离散化:作区间 [ab] 的分割

考虑和分 ,其几何意义就是下图 4 诸矩形所成的阴影面积,它是图 2 的近似面积。

 

图4

现在想象将 [ab] 分割成无穷多段的无穷小段 dx(即微分),想成是差分 的极致(参见图 2),然后考虑无穷小矩形的面积 ,从 x=a 连续地累积到 x=b。这样的求和跟和分有关但却不同,为了区别起见 Leibniz 在1686年首度将记号 改为 。理由是:S 表示求和 Sum 的第一个字母,将 S 稍微拉伸变成 ,表示连续地求和。因此,就用美妙的记号 来表示图 2 阴影领域的面积,说成 f 在 [ab] 上的积分。换言之,阴影领域的面积就是无穷多个无穷小矩形面积的连续求和,即定积分 (definite integral)。

Leibniz 进一步把积分 看作是微分 d 的逆运算,例如由公式


就得到


一般而言,


Leibniz 说:

像乘方与开方,和分与差分, 与 d 是互逆的。


六. 从差和分根本定理到微积分根本定理

如何求算积分 呢?

这是一个千古大难题。Archimedes 利用穷尽法 (the method of exhaustion),只会算出


Cavalieri(1598~1647)利用不可分割法或无穷小法 (the method of indivisible and infinitesimal) 求得


Fermat(1601~1665)利用动态穷尽法求得


这些都是个案解决,而且都算得相当辛苦。

Leibniz 有了微分与积分互逆的观点,以及差和分根本定理,很快就看出「吾道一以贯之」的微积分根本定理,利用微分法普遍而系统地解决求积分的难题。这是微积分史,乃至人类文明史上的伟大时刻 (the great moment)。Leibniz 将他的发现在1693年发表。

考虑函数 。作 [ab] 的分割:


由差和分根本定理知


或者


现在让分割不断加细,使每一小段都变成无穷小,将 Δ 改为 d 改为 (记号变形记),上下限指标改为 b,a,那么(6)与(7)两式就变形为


 


从而,欲求 ,只要找到另一个函数 y=F(x),使得


那么就有


Eureka! Eureka! 我们自然就得到微积分里最重要的一个结果:

定理 3.微积分学根本定理

给一个函数 f,如果可以找到另一个函数 F 使得


那么就有


这个定理完全是定理 2 的平行类推!我们称(13)式为 Newton-Leibniz 公式,因为牛顿也独立地发现它。今日我们还要求 f 为连续函数。

Leibniz 创造优秀的记号,透过差和分根本定理,「直观地」就看出了微积分根本定理。Leibniz 说:

值得注意的是,记号帮忙我们发现真理,并且以最令人惊奇的方式减轻了心灵的负荷。

Leibniz 一生对记号非常讲究。数学家 Laplace(1749~1827)也说:

数学有一半是记号的战争。

我们要强调,记号的适当创造与掌握,是掌握数学的要诀。下面将 Leibniz 所创造的记号作个对照表: 

离散的差和分

连续的微积分

Δ

d

xk

x

dx

在定理 3 中, 赫然出现了 之记号,这是微积分里头的一个关键性概念。它代表什么意义?如何定义?

首先让我们来解释它的几何意义。 是由 的无穷小化得来的。显然


代表函数 y=F(x) 的图形上,通过两点 (xk,F(xk)) 与 (xk+1,F(xk+1)) 的割线斜率,参见图 5。

 

图5

无穷小化后的 就是通过 (xF(x)) 点的切线斜率,参见下图 6。

 

图6

因此,求积分 从几何观点来看就是,找一条新的曲线 y=F(x),使其切线斜率 为 f(x),那么 的答案就是 F(b)-F(a)。据此,Leibniz 也称求积分为求反切线的问题 (the inverse tangent problem)。

下面考虑 的定义。按照上述的思路, 当然定义成


其中 dx 代表 x 的「无穷小」变化量, ,lim 表示取极限 (limit)。这分别代表无穷小论证法与极限论证法。后者是「以有涯逐无涯」的论证方式,即由割线斜率来探取切线斜率。有时 也记成 DF(x) F'(x)

由 F(x) 求出 叫做导微(动词用)。 叫做 F(x) 的导函数 (derivative)。已知函数 f(x),欲求另一个函数 F(x) 使得 ,是为微分的逆算。我们称 F(x) 为 f(x) 的反导函数 (antiderivative)。因此,定理 3 告诉我们,欲求积分 ,只要找到 f(x) 的反导函数 F(x),那么 F(b)-F(a) 就是答案了。这就是用微分法解决积分问题,普遍而可行的办法。要点是,求反导函数并不太难。

如何求一个函数的导函数呢?

在做计算时,若采用无穷小论证法,就要记住无穷小诡谲的双重性格:它不等于0,但是要多小就有多小。这样看来,无穷小不是死的,而是活生生的小精灵。通常无穷小 dx 可正可负,即正无穷小与负无穷小,这种情形 dx 不等于 0,但其绝对值小于任意正实数。

例3. 考虑 F(x)=x3,则


(因为 dx 可任意小,故后两项弃之可也。)

如果你对「无穷小」感到「不自在」,那么我们也可以采用极限论证法:


殊途同归!在计算过程中,我们的论证是这样的:由于 ,故可以从分子与分母消去;其次因为 ,故 。这样的论证其实跟无穷小论证法差不多。目前较通行是极限论证法。

事实上,极限概念有直观(良知良能)的一面,也有深奥的一面( 与 定式),真正要说清楚是相当费事的。留给正式微积分课去解说。

例4. 因为 ,故由 Newton-Leibniz 公式得


我们作一个很重要的观察:

给一个数列 u,若数列 v 满足 ,我们就记为


而称 为 u 的不定和分,因而 与 Δ 互逆。这样做非常方便,定和分只需附加上下限就好:


同理,由


我们就记为


而称 为 f 的不定积分 (indefinite integral),因而 与 d 互逆。再把上下限套上去就得到 Newton-Leibniz 公式:



七.结语

总之,微积分就是利用极限或无穷小来建立微分与积分,再透过微分的逆向运算(由f 求 d-1f)来求积分(面积、体积、表面积、曲线长、重心及里程等等),而微分的正向运算(由 F 求 dF 或 )又可掌握住求切线、速度、密度、变化率及极值问题,甚至揭开了函数的结构之谜(Taylor 分析)。

微分法是非常锋利的两面刃,是人类破天荒的成就。S. Bochner 说得好:

微分是一个伟大的概念,它不但是分析学而且也是人类认知活动中最具创意的概念。没有它,就没有速度或加速度或动量,也没有密度或电荷或任何其它密度,没有位势函数的梯度,从而没有物理学中的位势概念,没有波动方程;没有力学,没有物理,没有科技,什么都没有 ([8], p.276)。

1. C.H. Edwards, The Historical Development of the calculus, Springer-verlag, 1979, 凡异出版社有林聪源的中译本。

2. A.W.F. Edwards, Pascal's Arithmetical Triangle, Oxford UnivPress, 1987

3. Leibniz, Philosophical papers and letters, Ed. L.E. Loemker, Synthese Historical Library, 1976.

4. A. Weil, Review of Hofmann, Bull. Am. Math. Soc. 81, 676-688, 1975.

5. M.E. Baron, The origin of the infinitesimal calculus. New York: Dover, 1987. (初版1969)

6. T. Koetsier, Lakatos' philosophy of Mathematics, A Historical Approach, North-Holland, 1991.

7. D. Struik, A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard Univ. Press, 1969.

8. S. Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton Univ. Press (1966), Fourth Printing, 1981

9. I Grattan-Guinness (editor), From the Calculus to Set Theory, 1630-1910, An Introductory History, Duckworth, 1980.

10. C. B. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, 1959. (First Published in 1949)

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