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数列是高考数学必考题型之一，有的简单有的复杂，2012年全国一卷的填空题最后一个题难度就比较大一些，没有难度都对不起它所在的位置。 无论多难的题目如果总结的到位，那么在任何位置都简单。 2012全国一卷理科 上面是大部分地方给出的解析，所实话很多学生可能看不懂，或者想不到。 除了上面的解法，还有一种解法： 我们可以假设n为偶数当n=2k，代入式子可得：a（2k+1）+a（2k）=4k-1 ① n-1=2k-1，带入式子可得a（2k）-a（2k-1）=4k-3 ② n-2=2k-2，带入式子可得a（2k-1）+a（2k-2）=4k-5 ③ ①-②得a（2k+1）+a（2k-1）=2 这个式子表示两个相邻的奇数项相加。 ②+③得a（2k）+a（2k-2）=8（k-1）这个式子表示两个相邻的偶数项相加。 刚才是假设n为偶数，设n是奇数也可以，比如n=2k+1。当n=2k+1，带入式子可得：a（2k+2）-a（2k+1）=4k+1 ① n-1=2k，代入式子可得：a（2k+1）+a（2k）=4k-1 ② n-2=2k-1，带入式子可得：a（2k）-a（2k-1）=4k-3 ③ ①+②=a（2k+2）+a（2k）=8k 这个式子表示相邻两个偶数项相加。 ②-③=a（2k+1）+a（2k-1）=2 这个式子表示两个相邻奇数项相加。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 两种情况两个相邻奇数项相加都是2，为啥两个偶数项相加式子不一样呢？ 因为起点不同，所以式子略有不同。 比如说a（2）+a（4）当n为偶数时，式子为a（2k）+a（2k-2）=8（k-1） 此时，k=2，才表示a（4）+a（2）=8x（2-1）=8 当n为奇数的时候，式子为a（2k+2）+a（2k）=8k 要想表示a（4）+a（2），k=1。 同样a（4）+a（2）=8x1=8 无论n是奇数还是偶数，两个相邻的奇数项之和都是2，两个相邻的偶数项之和都是和k有关系。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以很显然S60=（a1+a3+......+a59）+（a2+a4+......+a60） 奇数项一共30个数，15对，每对相邻奇数相加等于2，所以奇数项之和是30. 我们假设n为奇数吧，a（2k+2）+a（2k）=8k这个式子。 （a2+a4）+（a6+a8）+......+（a58+a60） 也就是k分别取1 3 5 7 ....一共15个数。 也就是8x1+8x3+8x5+...... 一共十五项。 提取一个8，括号内就是一个以1为首项，公差是2的等差数列前15项和。 8x（15x1+(15x14x2)/2）=1800. 所以最后结果是1830。 假设n是偶数，带入相应表达式，求偶数项之和也是1800，大家可以试一试。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 我们总结一下里面的规律技巧：第一步，确定是否是这种式子：相邻两项，加减交叉。 第二步，分别取n=2k，n-1=2k-1，n-2=2k-2（或者n=2k+1，n-1=2k，n-2=2k-1）带入递推式中得出三个式子。 第三步，三个式子要么其中两个相加，要么其中两个相减，凑出奇数项相加的式子，和偶数项相加的式子。 第四步，分别求奇数项相加的结果和偶数项相加的结果。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 再来一个相似的模拟题： 这个题和之前的题属于同一类型，在这套模拟题上也是填空题最后一个题目。 如果之前没有总结的话，做起来还是很难，但是一旦我们之前总结过，现在再做就非常简单了。 还是设n=2k 那么a（2k）-a（2k-1）=2k ① n-1=2k-1，把式子中n都换成n-1，那么a（2k-1）+a（2k-2）=2k-1 ② n-2=2k-2，把式子中n都换成n-2，那么a（2k-2）-a（2k-3）=2k-2 ③ ①+②得a（2k）+a（2k-2）=4k-1 两个相邻的偶数项之和 ②-③得a（2k-1）+a（2k-3）=1 两个相邻的奇数项之和 同样的思路，就可以算出来S40等于多少了。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 有的学生可能会问了，是不是奇数项之和都是一个定值呢？ 其实不是的，这两个题都是赶巧了，递推式后面是pn+q的形式，如果递推式后面是其他的形式，奇数项之和就不是一个定值了。 不是定值的话，就是和k有关的一个式子，那样的话奇数项之和也是一个什么样的数列，和偶数项之和求法是一样的。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 赵国良老师想在这里跟大家说几句话： 题目第一次不会做不用怕，关键是能够保证下次遇到同类的题目，一定要会做。 这就要求大家对每一类题型总结非常到位才行。 自己可能没时间总结，或者自己总结能力有限，那么可以借助外力来完成，比如看我总结的内容。 只要能够把我总结的内容记住了，会用了，就ok了。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 赵老师（微信：18254638393）专注高考数学研究，对每一类题都会总结的比较到位。 另外对目前最火的思维导图高效学习法研究比较深，对于基础知识差的学生有奇效。 曾帮助一个十几分学生，在最后不到二十天时间，提升到高考时的97分。 如果您孩子数学成绩现在还在及格线以下，可以加我微信号，试一下我们的网络直播课程的效果。 |
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