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5、(正)多面体内的立体角 5.1正四、六、八面体诸顶点内侧立体角之关系 本节推求正四、六、八面体诸顶点内侧立体角之间的关系，及 (正)四面体的内部立体角之和，部分地比较多面体与多边形的异同。 除根据第3节所述球面三角学最重要的基本概念和基本规律之一的角超(角盈)公式外，正四、正八面体的内部立体角还可以用一种特殊方法求得。  图 5.1正四面体、正六面体、正八面体的内部立体角之间的关系
如图5.1，左图是一个正四面体ABCD，将相邻棱的中点两两相连成小的正三角形，截去四个小的正四面体，得到正八面体EFGHIJ，ABCD的每条棱的内二面角确定一个球面二角形；通过平面几何方式，在ABCD上作截面，易求得此处二面角为arccos(1/3)，相应的立体角为2arccos(1/3)，对于每条棱而言，该立体角（如在E点处）由三部分组成，即两个小的正四面体的各一个顶点立体角，加上正八面体的一个顶点立体角，可表为 2A4+A8=2arccos(1/3) 5.1 在右图所示正六面体ABCDEFGH中，将A、D、F、H四点两两相连，就形成正四面体ADFH，若取出该四面体，则余下4个全等的四面体，仔细观察其中之一，如AFGH，就会发现它其实是正八面体的1/8，G点处的立体角为一个卦限，即π/2，而体内另外3个立体角分别是正八面体顶点立体角A8的1/4，在A、D、F、H四点处，分别由3个这样的立体角加上正四面体ADFH的一个顶点立体角构成一个卦限立体角，即 3A8/4+A4=π/2 5.2 联立以上二式，解二元一次方程组，易得A4、A8，即正四面体、正八面体顶点的内立体角。与按照角盈公式（3.1）求得的结果完全吻合。 以上二式反映了正四面体、正六面体、正八面体的内部立体角之间的关系。至于这三者与正十二面体、正二十面体的内部立体角之间，以及后两者之间关系，期待同好们的发现。 5.2多面体内立体角之和不是恒量 在多边形中，n边形的内角和等于(n-2)xπ，那么在多面体中，各顶点上的内部立体角之和是否也有类似的规律呢？ 下面通过四面体的情形，证明多面体的内部立体角之和不是常数，而是变量。 假设将一个四面体(三棱锥)的底面固定不动，而将顶点在垂直方向无限拉高，只要棱、面不弯曲，则顶点处的内立体角将趋于零，而底部的3个内立体角之和趋于占据2个卦限，亦即π个sr； 相反，若将顶点在垂直于底面方向无限压低，则底部的3个内立体角趋于零，顶点处的立体角趋于半个全空间，即2π个sr； 由此看来，四面体的内部立体角之和似乎应该在π至2π个sr之间变化，但根据角超(角盈)公式，可以求得正四面体的内立体角之和约等于2.205sr，却不在上述范围内，低于上述范围； 再假设使一个正四面体这样变形：其互不相邻的一对棱长度不变，而它们相互间的距离变为趋于0，则其4个内部立体角也趋于0，若它们相互间的距离变为远大于原棱长，则其4个内部立体角同样趋于0。 综合以上情况，四面体的内部立体角之和在0至2π个sr之间变化，正四面体的内立体角之和约等于2.205sr。 多面体面数多于4时，情况类似。 |
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