心脏支架、折纸 （Origami）和爱因斯坦

【近期和陈士魁教授合作研究origami的设计。曾经答应过士魁写篇科普，一直拖延至今，心怀歉疚。今天大年初一，士魁宴请好友。赴宴之前，一挥而就，以表谢意。】

依随科学技术的发展，基础几何理论日益渗透到材料科学、机械力学等工程领域，并且广泛应用到医学领域。心脏支架就是一个几何、材料、机械和医学完美结合的例子。

心脏支架

依随年龄的增长，人类血管中会日益淤积有害健康的物质，从而造成动脉血管狭窄阻塞。心脏支架，又称冠状动脉支架，是一种常见的手术器材。心脏支架在体外看上去像是细小的网壁式金属管，犹如雨伞的伞骨一样，在收缩状态下植入大腿动脉，经由动脉血管输送到冠状动脉，然后撑开，贴附于血管壁上。

动脉支架可以持续发挥支撑动脉、解决狭窄、保证血流通畅的作用。一般用于急性心肌梗死等急性冠状动脉综合症的治疗，挽救病人生命或提高生活质量。

图1. 动脉支架示意图。

从功能上分析，我们看到动脉支架应该有收缩和膨胀两种状态，收缩的时候体积应该尽量的小，从而可以顺利通过动脉血管。动脉支架呈圆柱状，其横截面是圆周。用传统材料制成的动脉支架在圆周径向收缩时，会在圆柱的纵向拉伸。具有这种形变特性的材料被称为是具有正泊松比（positive Poisson ratio）的。但是在动脉支架的应用中，我们希望找到一种理想材料，当我们径向压缩支架时，其纵向长度也收缩，换言之，具有负泊松比（negative Poisson ratio）的材料。这样，手术风险会被降低。

图2. 具有负泊松比的心脏支架。

自然界中所有的材料都具有正的泊松比，负泊松比材料只能被人工制造出来。负泊松比的弹性形变特性是由材料微观结构的几何模式决定的。图2显示了具有负泊松比的动脉支架，它是最近被发明出来的新型支架。其弹性形变的特性可以由图3的动态图像来解释。

图3. 负泊松比的弹性形变特性。

在图3中，在收缩状态，材料微元紧密地镶嵌在平面上，微元之间没有空隙，宏观上材料比较致密，体积较小；在膨胀状态，材料微元依然彼此联结，但是微元平移旋转，微元之间充满空隙，宏观上材料比较疏松，体积增长。关键在于，有些是微元之间的纵向间隙膨胀，有些是横向间隙膨胀，但是整体上，材料的膨胀是各项同性的，因此材料向各个方向均匀扩张。

图4. 被伊斯兰文化激发的负泊松比材料设计。

由此可见，负泊松比材料的微观结构具有高度的对称性。这种对称性在伊斯兰文化中被美轮美奂地描绘出来。如图4所示，伊斯兰艺术中平面镶嵌的对称图案激发了材料科学家的灵感，设计出来各种优雅的负泊松比材料。

同样的对称，在古老东方的折纸艺术（Origami）也被充分展示，从而激发了负泊松比材料设计的另外一种思路。

折纸艺术（Origami）

图5. Origami magic ball pattern.

历史上最早的负泊松比材料来自于折纸艺术，许多负泊松比材料设计的灵感也来自于经典的origami。古典的折纸艺术不允许使用剪刀、浆糊，只是沿着折痕折叠。如图5所示，黑色折痕向上凸起，被称为是山脊（mountian）；红色折痕向下凹陷，被称为是谷底（valley）。经过复杂细致地折叠，我们可以得到所谓的魔球（magic ball），如图6所示。

图6. Magic ball Origami.

读者若有兴趣，可以自行折叠一个magic ball。如果我们径向挤压Magic ball，其纵向也会收缩。因此， magic ball 给出了一个负泊松比的几何模式。我们仔细观察图6中 magic ball 的峰脊，其模式给出了最为经典的负泊松比材料的设计方案，如图7所示。

图7. Magic ball 峰脊给出的负泊松比材料设计。

当Magic ball形变时，纸上任意两点之间的（在纸面上的）最短路径保持不变，任意两点间的测地距离也不改变。这种形变被称为是等距形变（isometric deformation）。当表面发生等距形变时，内部体的形状也发生改变，这种曲面被称为是柔性曲面（flexible surface）。

图8. 柏拉图对称多面体（Platonic Solid）是刚性的。

与柔性曲面相对的是刚性曲面（rigid surface）。假设我们用纸张裁剪了平面多边形，然后粘成一个封闭曲面。如果我们旋转平移整个曲面，那么曲面上任意两点的测地距离不变，曲面本身发生了等距变换。反之，如果曲面的所有等距变换都是由三维空间中的旋转和平移所诱导的，那么我们说这个曲面是刚性的。图8显示了著名的柏拉图对称多面体，这些多面体都是刚性的。

图9. 柔性的Origami。

图9显示了各种柔性的折纸模型。普通的纸张材质比较刚硬，很难构成各种自由曲面。折叠成Flexible origami 之后，整体柔性增加了很多，可以用于形变成各种形状，如图10所示。

图10. 柔性origami构成的软雕塑。

希尔伯特-爱因斯坦能量

给定一个封闭曲面，我们如何判定它是否具有刚性，这是一个古老的几何命题。这个问题的一种解决思路居然和广义相对论有关。

给定维光滑紧致无边流形，我们保持流形的拓扑不变，改变流形的黎曼度量。希尔伯特-爱因斯坦泛函定义成：

，

这里是度量诱导的标量曲率（scalar curvature），是度量诱导的体积元。如果我们加上限制条件：

,

那么希尔伯特-爱因斯坦能量的奇异点被称为是爱因斯坦度量。爱因斯坦度量所诱导的Ricci曲率和黎曼度量张量之间相差一个常数 。在广义相对论中，爱因斯坦度量描绘了时空的几何。如果Ricci曲率处处为0，则相应的度量被称为是Ricci-flat度量。通常情况下，希尔伯特-爱因斯坦能量既不凸也不凹，奇异点（爱因斯坦度量）的存在性难以证明。

对于带边界的三维流形，希尔伯特-爱因斯坦能量可以被写作：

,

这里是边缘曲面的平均曲率（mean curvature），是曲面的面元 （area element）。我们首先将希尔伯特-爱因斯坦能量向离散情况下推广。

图11. 离散的三维流形。

如图11所示，假设是三维空间中的一个区域，我们计算其三角剖分，得到四面体网格，其表面是一个多面体（polyhedron）曲面。我们假设每一个四面体都是欧氏四面体，则被称为是一个离散三维流形。的三角剖分结构被记为，的所有边的边长被记为。的黎曼度量由边长决定，曲率也由边长决定。对于任意一条内边，我们定义边上的离散scalar曲率为

,

这里为四面体内，边上的二面角。表面是一个多面体，每条边上可以定义离散平均曲率，

。

由此，我们可以定义离散的希尔伯特-爱因斯坦能量：

,

这个能量的奇异点对应着Ricci-flat度量，每条内边上曲率为零。

给定一个抽象的四面体网格，我们为其配备边长，如果每条内边上曲率都为零，那么所有的四面体都可以严丝合缝地堆砌在一起，抽象的四面体网格可以在三维欧氏空间中实现。反之，如果一个抽象的四面体网格可以在三维欧氏空间中实现，则每条内边上曲率都为零。

刚性、柔性判定

图12. 刚性多面体和柔性多面体。

给定一个多面体曲面（polyhedron），我们如何判定它是刚性的还是柔性的？如图12所示，左侧多面体是刚性的，右侧是柔性的。首先，我们将多面体曲面的内部进行三角剖分，得到一个四面体网格。有些时候，我们需要在多面体内部加入顶点才能得到三角剖分。然后，我们计算希尔伯特-爱因斯坦能量的海森矩阵（Hessian Matrix），在这里我们只关心内边，忽略边缘边，

,

这里我们用到了Schlafli定理，对于任意一个欧氏四面体，边长和二面角满足关系

。

海森矩阵为对称阵，我们考察的零特征值的个数，如果零空间的维数等于内顶点个数的三倍，那么多面体具有刚性；否则，多面体具有柔性。

图13. 柔性的维度。

海森矩阵零空间的维数反应了origami的柔性维度。例如图13， 整个origami由六段组成，每段可以独自等距变换。因此，海森矩阵零空间的维数等于内点个数的三倍加上6。每一段的连续等距形变，只有一种确定的方式，这种方式由相应零特征根的特征向量给出。图14中的各种origami的形变自由度，都可以由这种方法计算出来。

图14. 常见的柔性origami。

展望

目前，人们对于柔性几何研究才刚刚开始，无论在理论上，还是在实际中都有很多尚未解决的问题，更有非常具有潜力的方向。在这里，我们又一次看到自然真理的普遍联系：古老的折纸和广义相对论出乎意料地紧密结合。我们期待着机械力学、材料科学和现代几何的一场深刻合作。

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