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学生怎样解题之三角形的面积问题一则

2017-01-30  wangzh311
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本期内容有哪些

(1)听一听:不同认知掌握水平及其表现

(2)读一读:一道三角形求积问题的错误
                          分析与教学启示

(3)看一看:数学对联

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轻轻松松听听书



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坚持阅读八分钟

        作业中的错误能够暴露出学生在知识和方法方面的缺陷,帮助我们更好地确认教学的着力点。同时,错误也是教学资源。有意识地去记载和积累学生的错误,发现共性,

对教学有很大的指导意义。

        下面以一道三角形求积问题为例,诊断和剖析学生的学习问题,并提出教学建议,供大家讨论。

1.使用问题

【简析】这是一道较为复杂的面积推算问题,主要考查学生能否在复杂的图形中辨认及推理图形各部分之间的关系。评价设定三级水平:L0——没有思路或者无法解释的答案。L1——对底、高与面积的变化关系有所了解但不正确。L2——能正确解题。又分两种:一种是辗转求高再求面积;第二种是根据图形底、高之间的关系推算出要求的面积。

2.测试对象

       在杭州市上城区选取2所不同学校6个六年级的班进行测试,样本总数为204人。6个班分属3位教师教学,教师的教龄均超过10年。

3.测试过程

       两所学校的测试在2012年3月上旬的同一周进行,由任教老师协助完成。需要说明的是,被试在五年级上学习《三角形面积》时曾做到过这道习题,但这次测试前不复习,测试中不读题,不讨论,力求反映学生在自然状态下独立解决本题的水平。

       根据完成情况,按优、中、差各选3名学生进行了访谈。访谈利用午间休息和放学后的时间,一对一在教师办公室由笔者亲自独立进行,测试与访谈在同一天内完成。

4.测试结果及分析

01

总的测试结果

02

访谈摘要

后进生A——

A(想了一会儿):这个图没法做,没有高。

师:不知道高是多少,就不能求面积了吗?

A(诧异地看着老师) : 那当然,面积=底×高÷2,没有高怎么做啊?

师:那么你能找一找图上这些三角形的高吗?

A只指出了△ABC和△DBC在BC边上的高。当老师请他找一找三角形②BE边上的高、三角形③EC边上的高,以及三角形①AD边上的高和△BCD在CD边上的高时,A或者指不出,或者指错。

【简析】可以认为A尚未掌握高的相关知识。

中等生B——

师:这1题很难,但你做出来了,很棒哦!你能和老师说说,你是怎么想的吗?

B:这道题我记得我们老师以前讲过的,就是整个图形的几分之几。(停顿,不好意思地笑了)可是我想不起来老师到底是怎么变出几分之几的了。

师:可你还是做出来了。

B:是的。等底等高的三角形面积相等,所以①的面积是3平方厘米,下面这个三角形(指三角形②+③)的面积也应该是3平方厘米。那么它的底是3+5=8(厘米),它的高就是3×2÷(5+3)=0.75厘米。(表情放松了)0.75×5÷2=1.875(平方厘米)。

师:图形②和③之间有怎样的关系?

B(重新确认了原题):它们两个的高是一样的。

师:那么面积呢?

B:面积不一样吧。它们的底不一样。(算起来)③的面积是3×0.75÷2=1.125(平方厘米)。

【简析】B显然记住了“等底等高的三角形面积相等”这一结论,却远没有认识到这个结论只是底、高和面积三者关系中的一个特例。他对三角形求积公式的认识还是肤浅而僵化的,从而影响到他应用公式进行推理的深度、广度和灵活度。

优等生C——

师:很多同学对这道题感到苦恼,但你的方法却很灵便。你能说说是怎么想的吗?

C:很简单啊。(边指图边说)三角形ABD和三角形CBD等底、等高,面积相等。即②+③=①=3平方厘米。三角形ABC面积=3×2=6(平方厘米)。继续比较三角形②与三角形BDC,高一样,三角形②的底边长是BC的(5/8),从而②的面积就是3×(5/8)=15/8=1又7/8(平方厘米)。

【简析】对于三角形,C能通过比较底、高之间的关系推知面积之间的关系,思维开阔而灵活。

5.教学建议

01

加强“高”的教学

       认高和画高有一定的学习难度,除浙教版教材仍单独设立课时教学图形的底和高外,其他版本的教材普遍削弱了高的教学,降低了要求。(如人教版在四年级下《三角形的特性》一课只给出了高的定义和图例,并未安排相应的训练活动,见图1;且,在整个“三角形”单元中只安排了一道画高练习,还回避了高在三角形外的情况,见图2。)

       这样的处理使学生对“高”的感性经验不足,图式欠丰富,不利于学生对“高”形成概括性的认识,从而影响他们应用“高”来解决问题。考虑到知识的前后联系,“高”作为一个重要的图形概念,应加强教学。从目标角度讲,至少应将识别不同方向的“高”作为教学的基本要求。

        比如,可以增加这样的环节——

【简析】这既有助于学生认识到高线的本质——测量顶点到对边的距离,又突出了“平行线之间距离处处相等”,为面积教学埋下伏笔。

      还可设计与开发在组合图形中认识三角形的习题。如下面这道开放题:

02


引导学生用函数的观点

来认识底、高和面积之间的关系

       对“等底等高的三角形面积相等”的教学应放到更大的背景中去,应设法去揭示底、高、面积之间的函数关系。

        可以补充这样的问题——

【简析】数形结合,引导学生直观感知当底不变,高变化时,面积是怎样变化的?或者当高不变,底变化时,面积是怎样变化的?从而认识到面积公式不仅刻画了作为常量的底、高、面积三者之间的关系,而且刻画了这一组量的相依变化性,使面积计算公式进一步地抽象和概括化。(这组练习已被借鉴到浙教版新思维小学《数学》有关三角形的面积练习中,但展开方式有所不同,有兴趣的读者可自行查阅。)

5


看一看

      HAPPY      

数学对联

  NEW YEAR  

寥寥线条,勾勒智慧人生;

小小平面,铺就美好前程。

爱问几何,点线角面关系到底如何;

喜看数字,加减乘除换算究竟怎样。

代数几何,方程空间无限遐思;

直线平面,函数极限不尽畅享。

手执纸笔,解世事代数;

胸怀壮志,问人生几何。

人生轨迹,尽在曲线弧度中;

岁月印痕,都含加减乘除里。


 
你若盛开 蝴蝶自来

审核人:戴小娟

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