中考二次函数压轴题训练
（附分析、解答过程、点评）
已知，如图1，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=14x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．
（1）求点A、B、F的坐标；
（2）求证：CF⊥DF；
（3）点P是抛物线y=14x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）有两种方法，方法一是传统的点的待定系数法，方法二，通过作辅助线，构造△BGF∽△BHA由比例关系求出F点坐标．
（2）也有两种方法，方法一，在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF；方法二利用几何关系求出∠CFD=90°；
（3）求存在性问题，先假设存在，看是否找到符合条件的点P的坐标，此题分两种情况；（1）Rt△QPO∽Rt△CFD；（2）Rt△OPQ∽Rt△CFD，根据比例求出P点坐标．
解答：解：
（1）方法一：如图1，当x=-1时，y=14；当x=4时，y=4
∴A（-1，14）（1分）
B（4，4）（2分）
设直线AB的解析式为y=kx+b（3分）
则{-k+b=144k+b=4
解得{k=34b=1
∴直线AB的解析式为y=34x+1（4分）
当x=0时，y=1∴F（0，1）（5分）
方法二：求A、B两点坐标同方法一，如图2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分别为G、H，交y轴于点N，则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形，设FO=x（3分）
∵△BGF∽△BHA
∴BGBH=FGAH
∴4-x4-14=45（4分）
解得x=1
∴F（0，1）（5分）
（2）证明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2CF2=CE2+EF2=12+22=5
∴CF=5（6分）
在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
∴DF2=DE2+EF2=42+22=20
∴DF=25
由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
∴CD=5
∴CD2=52=25
∴CF2+DF2=CD2（7分）
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF（8分）
方法二：由（1）知AF=1+(34)2=54，AC=54
∴AF=AC（6分）
同理：BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO（7分）
同理：∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF（8分）
（3）存在．
解：如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M（9分）
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴PMPQ=OMOP∴PQOP=PMOM（10分）
设P（x，14x2）（x＞0），
则PM=14x2，OM=x
①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，PQOP=CFDF=525=12（11分）
∴PMOM=14x2x=12
解得x=2∴P1（2，1）（12分）
②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时，PQOP=DFCF=255=2（13分）
∴PMOM=14x2x=2
解得x=8
∴P2（8，16）
综上，存在点P1（2，1）、P2（8，16）使得△OPQ与△CDF相似．（14分）
点评：此题是一道综合性较强的题，前两问方法多，有普通的方法和新颖的方法，作合适的辅佐线很重要，最后一问是探究性问题，发散思维．
———————————————————————————————————————
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，-23)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取54时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；
（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为三种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
解答：（1）解：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
当x=0时，y=-2，
∴点A的坐标是（0，-2），
∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，-2），把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-23）代入得：
{c=-24a+2b+c=-2且{4a+2b+c=-216a+4b+c=-23，
解得a=16，b=-13，c=-2
∴抛物线的解析式为：y=16x2-13x-2，
答：抛物线的解析式为：y=16x2-13x-2．
（2）解：①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2-8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴当S=54时，5t2-8t+4=54，得20t2-32t+11=0，
解得t=12，t=1110（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-32）
若R点存在，分情况讨论：
【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQ∥PB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为-32，
即R（3，-32），
代入y=16x2-13x-2，左右两边相等，
∴这时存在R（3，-32）满足题意；
【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PR∥QB，
则：R的横坐标为1，纵坐标为-32，
即（1，-32），
代入y=16x2-13x-2，左右两边不相等，R不在抛物线上；
【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PR∥QB，则：R（1，-52）代入，y=16x2-13x-2
左右不相等，
∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述，存点一点R（3，-32）满足题意．
答：存在，R点的坐标是（3，-3，2）．
（3）解：如图，M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：{2k+b=-24k+b=-23，
解得：k=23，b=-103，
∴y=23x-103，
抛物线y=16x2-13x-2的对称轴是x=1，
把x=1代入得：y=-83
∴M的坐标为（1，-83）；
答：M的坐标为（1，-83）．
点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算．此题综合性强，是一道难度较大的题目．
———————————————————————————————————————
如图，二次函数y=-12x2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．
分析：（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；
（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；
（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；
（4）过G作GH⊥y轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解答：解：（1）y=x+2
（2）s={-12t2+t(0＜t＜2)12t2-t(2＜t≤4)
（3）一共四个点，（0，22+2），（0，0），（0，2-22），（0，-2）．
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．
由AP=t，可得AE=22t．
由GHPO=QHQO可得GH=1-t2，
所以GC=2GH=2-22t．
于是，GE=AC-AE-GC=22-22t-(2-22t)=2．
即GE的长度不变．
当2＜t≤4时，同理可证．
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值2．
点评：本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．
———————————————————————————————————————
如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意中，抛物线的顶点坐标与N的坐标，可得抛物线的解析式，进而可得点A、B、C的坐标；
（2）分别求出过DM的直线，与过点AN的直线方程，可得DM与AN平行，且易得DM与AN相等；故四边形CDAN是平行四边形；
（3）首先假设存在，根据题意，题易得：△MDE为等腰直角三角形，进而可求得P的坐标，故存在P．
解答：解：（1）由抛物线的顶点是M（1，4），
设解析式为y=a（x-1）2+4（a＜0）
又抛物线经过点N（2，3），
所以3=a（2-1）2+4，
解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3
令y=0，得-x2+2x+3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
得A（-1，0）B（3，0）；
令x=0，得y=3，
所以C（0，3）．
（2）直线y=kx+t经过C、M两点，
所以{t=3k+t=4
即k=1，t=3，
直线解析式为y=x+3．
令y=0，得x=-3，
故D（-3，0）CD=32连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F．
设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，
则{-m+n=02m+n=3，
解得m=1，n=1
所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1
所以DC∥AN．在Rt△ANF中，AF=3，NF=3，
所以AN=32所以DC=AN．
因此四边形CDAN是平行四边形．
（3）假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，
设P（1，u）其中u＞0，
则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=PM2=|4-u|2
由PQ2=PA2得方程：(4-u)22=u2+22，
解得u=-4±26，舍去负值u=-4-26，符合题意的u=-4+26，
所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，-4+26）．
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
———————————————————————————————————————
如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标．
分析：（1）易得点A（0，1），那么把A，B坐标代入y=12x2+bx+c即可求得函数解析式；
（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨；
（3）易得|AM-MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．
解答：解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=12x2+bx+c
得{c=112+b+c=0，
解得{b=-32c=1，
∴抛物线的解折式为y=12x2-32x+1；（2分）
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为12m2-32m+1，
即E点的坐标（m，12m2-32m+1），
又∵点E在直线y=12x+1上，
∴12m2-32m+1=12m+1
解得m1=0（舍去），m2=4，
∴E的坐标为（4，3）．（4分）
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（-2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P1OA得
DOOA=OAOP即21=1a，
∴a=12，
∴P1（12，0）．（5分）
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，
由Rt△AOD∽Rt△P2DE得
DOOA=DEEP2即21=11a，∴a=112，
P2点坐标为（112，0）．（6分）
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEPRt△AOP∽Rt△PFE，
由AOPF=OPEF得14-b=b3，
解得b1=3，b2=1，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），（8分）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（12，0）或（1，0）或（3，0）或（112，0）；
（3）抛物线的对称轴为x=32，（9分）
∵B、C关于x=32对称，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大．（10分）
易知直线AB的解折式为y=-x+1
∴由{y=-x+1x=32，
得{x=32y=-12，
∴M（32，-12）．（11分）
点评：一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；
求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．
———————————————————————————————————————
如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；
①求S与t的函数关系式；
②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
分析：（1）因为抛物线过A、B、C三点，所以此三点的坐标使抛物线的解析式成立．
（2）①此题要分作两种情况进行讨论：
一、当P点位于原点左侧，线段OA上；此时0≤t＜1，可用t表示出OP、BP的长，欲求△BPF的面积，关键要求出BP边上的高，可过F作FD⊥x轴于D；由于∠CPF=90°，易证得△OPC∽△DFP，根据已知条件可知PF=PE=2PC，即两个相似三角形的相似比为2，那么DF=2OP，由此可得到DF的长，以BP为底，DF为高，即可求得△BPF的面积表达式，也就得到了关于S、t的函数关系式；
二、当P点位于原点右侧，线段BP上；此时1＜t＜6，可仿照一的方法进行求解；
②根据①得到的S、t的函数关系式，及相应的自变量的取值范围，即可根据函数的性质求得S的最大值及对应的t值，然后进行比较即可得到结果．
（3）当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：
①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t2-2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t2-2t+5=6-t，即t=1+52；
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2．
解答：解：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），C（0，2）三点代入解析式得：{a-b+c=025a+5b+c=0c=2，
解得{a=-25b=85c=2；
∴y=-25x2+85x+2；（3分）
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴a=-25；
∴y=-25(x+1)(x-5)，
即y=-25x2+85x+2；（3分）
（2）①过点F作FD⊥x轴于D，
当点P在原点左侧时，BP=6-t，OP=1-t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∵∠FPD+∠CPO=90°，
∴∠PCO=∠FPD；
∵∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，（5分）
∴FDPO=PFPC；
∵PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1-t）；（6分）
∴S△PBF=12BP×DF=t2-7t+6（0≤t＜1）；（8分）
当点P在原点右侧时，OP=t，BP=5-t；
∵△CPO∽△PFD，（9分）
∴FD=2t；
∴S△PBF=12BP×DF=-t2+7t-6（1＜t＜6）；（11分）
②当0≤t＜1时，S=t2-7t+6；
此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有：
当t=0时，Smax=0-7×0+6=6；
当1＜t＜6时，S=-t2+7t-6；
由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25．
（3）能；（12分）
①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP2=t2-2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t2-2t+5=6-t，即t=1+52；
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2．（14分）
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、以及三角形面积的求法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点；在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
———————————————————————————————————————
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-233x+c（a≠0）经过A，B，C三点．
（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；
（2）分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，根据已知条件可证AC2+BC2=AB2，故点C满足题意，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意；
（3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B''，连接B''F，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到B''，使BC=B''C，利用中位线的性质可得B''的坐标，从而可求直线B''F的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标．
解答：（1）解：∵直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C
∴点A（-1，0），C（0，-3）
∵点A，C都在抛物线上，
∴{0=a+233+c-3=c
∴{a=33c=-3
∴抛物线的解析式为y=33x2-233x-3
∴顶点F（1，-433）．
（2）存在：
p1（0，-3），p2（2，-3）．
（3）存在
理由：
解法一：
延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=33x2-233x-3上，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=33
∴∠OBC=30°，BC=23
在Rt△BBH中，B′H=12BB′=23
BH=3B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-23）．
设直线B′F的解析式为y=kx+b，
∴{-23=-3k+b-433=k+b，
解得{k=36b=-332，
∴y=36x-332．
{y=-3x-3y=36x-332，
解得{x=37y=-1037，
∴M（37，-1037）
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（37，-1037）．
解法二：
过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点，连接BH交AC于点M，则点M
即为所求．
过点F作FG⊥y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH，
∴∠BOC=∠FGH=90°，∠BCO=∠FHG
∴∠HFG=∠CBO
同方法一可求得B（3，0）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=33
∴∠OBC=30°，可求得GH=GC=33
∴GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形
∴AC垂直平分FH
即点H为点F关于AC对称点，
∴H（0，--533）
设直线BH的解析式为y=kx+b，由题意得，{0=3k+bb=-533，
解得{k=539b=-533，
∴y=593x-533，
{y=593x-533y=-3x-3，
解得{x=37y=-1037，
∴M（37，-1037），
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（37，-1037）．
祝广大考生中考顺利！
第2页共11页
|
|
