 1、 序言 大家都在欢度春节，家庭团圆，访亲问友，好吃好喝，旅游休闲，不亦乐乎。但总有少部分人，虽然平时工作忙得不可开交，然一旦闲下来，却又觉得无聊，又想在不那么紧张的节奏里读点与工作相关的东西。本人便属于这种，今天就写点儿茶余饭后的读物。当然，过年期间，还是尽量简短点儿好。 在结构力学中，我们学过功的互等定理，并根据它导出了实用的其他互等定理，例如位移互等定理、反力-位移互等定理等。大家一定还记得，当年我们完成老师留的结构力学作业时，都用过这些互等定理。但当我们学到了桥梁专业课的时候，或者在我们毕业工作后进行桥梁结构分析时，是否也应用过他们呢？应该说，肯定用过，只不过可能不是直接使用，而是间接使用过罢了。比如，使用有限元程序计算桥梁结构的影响线时，这个程序可能就是采用互等定理来计算影响线的（当然并不是所有的有限元程序都用互等定理计算影响线的）。 计算影响线采用互等定理？记得按结构力学的定义，计算桥梁结构影响线应该是采用一个单位力P=1，令他通过桥面上的每个点（如果使用有限元法，则是逐个作用在桥面上的各个节点处），依次计算出所要求的那个要素（内力、位移、反力等），就得到影响线了。假设桥面有n个节点，就需要进行n次加载并计算n次。这里面好像没有用到什么互等定理呀？ 如果你有这样的想法，那一定是忘记或忽略了结构力学中的一些内容，那就让我们来一起回顾一下互等定理，并看一下其在有限元法中是如何应用的吧。
2、 利用反力—位移互等定理计算支座反力影响线 如图1所示，设桥面有n个节点，m（m=1,2,3,…,n）是其中的任意一个节点。根据反力—位移互等定理，作用在m点处的单位力P=1引起的支座k的反力Rkm，等于支座k发生顺Rkm方向单位位移Δk=1在P=1方向上引起的位移（以顺Rkm方向为正）。 根据影响线的定义，作用在m点处的单位力P=1引起的支座k的反力Rkm，就是支座反力Rk的影响线在m处的值。因m是桥面上的任意一个节点，所以，反力Rk的影响线在各点处的值就是Δk=1所引起的桥面各点挠度δmk，即 Rkm(m=1,2,3,…,n)=δmk(m=1,2,3,…,n) (1) 于是，利用反力-位移互等定理，求反力影响线问题变成了求支座单位位移引起的挠度问题。 图1反力-位移互等定理 3、利用位移互等定理计算位移影响线 有了上面的经验，很容易根据位移互等定理（图2）直接得出位移影响线竖标如下： δkm(m=1,2,3,…,n)=δmk(m=1,2,…,n) (2) 图2 位移互等定理 即节点k的位移影响线值δkm，等于在节点k作用一个单位力P=1所引起的各点的挠度值δmk。 4、利用位移互等定理计算内力影响线 前面计算反力和位移影响线时，都是直接利用互等定理得出影响线的数值。看到这里，有人会说：如此简单，不用继续说了。请别高兴太早，当你要计算的是内力影响线时，就没有那么幸运了，你需要作点儿推导才能得到，而不是像前面那样直接就得到了。 如图3所示，欲求单元m的内力影响线，通常的作法是将单位力P=1按一定间隔从梁的一端向另一端移动，依次计算单位力在各个位置时单元m的内力，便得到其内力影响线。但这样做，求一条影响线就要求解很多次方程组。如果利用位移互等定理，则可以简单地通过一次计算就得到一条影响线。 由位移互等定理知，当单位力作用在k点时（图3），在i截面引起的位移与单位力或力矩作用在i点在k截面引起的挠度之间有下列互等关系：
图3 计算内力影响线 其中：θik|p=1、uik|p=1、vik|p=1分别为单位力P=1作用在k截面时在i截面引起的转角、轴向位移和竖向位移；vki |Mi=1、vki |Ni=1、vki |Qi=1分别为在i截面作用单位的弯矩 对于截面j也有类似的关系。可统一写成矩阵形式：
式中 为P=1引起的单元m两端i、j的位移列向量；
为在单元m的i,j两端分别加 设单元节点单位荷载列向量为 P=1引起的单元节点（内）力为
则
其中[Km]为单元刚度矩阵，下脚标 由此可见，分别将单元刚度矩阵[Km]的各列作为荷载加于单元m两端，求出的位移{vkm}就是单元m各节点力的影响线在k处的值。
4、内力影响线的修正
图4 单元力作用位置 如图4所示，按前述方法计算影响线时，实际上只计入了由于节点位移而引起的单元内力，也就是荷载作用在单元m范围以外，没有考虑单位荷载作用在单元m上时引起的固端力，即没有考虑图4(b)和4(c)的情况。当P=1作用在i或j节点时，认为只是图4(a)或4(d)所示情况。因此，对于单元m来说，按上述方法所解的i端的剪力影响线坐标是对应于图4(a)位置的（用Qia表示），j端的剪力影响线坐标则是对应于图4(d)位置的（用Qjd表示）。要得到突变值，还必须补充与图4(b)和图4(c)位置对应的影响线坐标（Qib和Qjc）。显然，由于荷载值P=1，所以突变增量必为1，即： Qib = Qia 1， Qjc = Qjd-1 （10） 例：对于简支梁，其跨中剪力影响线如图5所示。
图5 简支梁剪力影响线 作者简介：李乔，西南交通大学教授，博士生导师，茅以升桥梁研究所所长，在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事，在土木工程学报等重要学术期刊任编委会委员或副主任委员。 |
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