板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
[必备知识]
考点1集合的基本概念
1．集合元素的性质：
2．元素与集合的关系
属于，记为；不属于，记为.
3．常见数集的符号
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号
确定性、无序性、互异性．
∈
?
N
N或N＋
Z
Q
R
4.集合的表示方法：；；
考点2集合间的基本关系
表示关系 文字语言 符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素 且A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集 空集是的子集，是的真子集 A
?B(B≠?)
列举法
描述法
图示法．
相同
A?B
B?A
A?B或BA
任何集合
任何非空集合
AB或BA
考点3集合的基本运算
并集 交集 补集 图形 符号 AB＝ A∩B＝ UA＝
{x|x∈A或xB}
{x|x∈A且xB}
{x|x∈U且xA}
[必会结论]
1．AB＝AB?A，A∩B＝AA?B.
2．A∩A＝A，A∩＝.
3．AA＝A，A＝A.
4．A∩(UA)＝，A(?UA)＝U，U(?UA)＝A.
5．AB?A∩B＝AA∪B＝BUA??UB?A∩(?UB)＝.
6．狄摩根定律：U(A∪B)＝(UA)∩(?UB)；U(A∩B)＝(UA)∪(?UB)．
7．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(AB)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
8．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．集合{x|y＝}与集合{y|y＝}是同一个集合．()
2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝M.()
3．已知集合A＝{1,2}，集合B满足AB＝{1,2}，则集合B有4个．()
4．若5{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．()
5．设集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2＝1}，若AB，则a＝1或－1.()
6．设全集为R，函数y＝的定义域为M，则RM＝{x|x>1或x<－1}．()
×
√
×
×
×
√
二、小题快练
1．[2015·重庆高考]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()
A．A＝BB．A∩B＝
C．AB D．BA
解析由真子集的概念知BA，故选D.
2．[课本改编]已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x＝，nA}，则A∩B的真子集个数为()
A．5 B．6
C．7 D．8
解析由题意得B＝{0,1，，，2}，所以A∩B＝{0,1,2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.
3．[2015·安徽高考]设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(UB)＝()
A．{1,2,5,6} B．{1}
C．{2} D．{1,2,3,4}
解析由题意得UB＝{1,5,6}，则A∩(UB)＝{1}，因此选B.
4．[课本改编]设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∩N＝N成立的a的值是()
A．1 B．0
C．－1 D．1或－1
解析若M∩N＝N，则NM.结合集合元素的互异性得所以a＝－1.故选C.
5．[2015·课标全国卷]已知集合A＝{x|－1
A．(－1,3) B．(－1,0)
C．(0,2) D．(2,3)
解析由题意得AB＝{x|－1
6．[2016·唐山模拟]已知全集U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，则UA＝()
A．(1,3) B．(－∞，1)[3，＋∞)
C．(－∞，－1)[3，＋∞) D．(－∞，－1)(3，＋∞)
解析U＝{x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1
考向集合的基本概念
例1(1)[2016·重庆模拟]设集合A＝{－1,0,2}，集合B＝{－x|xA且2－xA}，则B＝()
A．{1} B．{－2}
C．{－1，－2} D．{－1,0}
[解析]当x＝－1时，2－x＝3A，此时－x＝1B，
当x＝0时，2－0＝2A，
当x＝2时，2－2＝0A，
所以B＝{1}，选A.
(2)现有三个实数的集合，既可以表示为，也可以表示为{a2，a＋b,0}，则a2016＋b2016＝________.
1
[解析]由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2016＋b2016＝(－1)2016＝1.
解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．如例1(1)中集合B中的代表元素为数－x而不是x.
(2)由本例1(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.
【变式训练1】(1)[2016·西安模拟]已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|xA，yA}中元素的个数是()
A.1 B．3
C.5 D．9
解析当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2，
当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1，
当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.
根据集合中元素的互异性知，集合B中的元素为－2，－1,0,1,2.共5个.
(2)已知集合A＝{a＋2016，a2－2015a＋2016,2015}，且2016A，则实数a的取值集合为________.
{2015}
解析令a2－2015a＋2016＝2016，则a＝0或a＝2015.
当a＝0时，集合A中元素重复，故舍去.
当a＝2015时，集合A满足题意.
令a＋2016＝2016，则a＝0(舍去).
故a的值只能为2015.
考向集合间的基本关系例2(1)[2016·金版创新]已知集合E＝{x|y＝}，若FE，则集合F可以是()
A.{x|x≤1} B．{x|x>2}
C.{x|x≤3} D．{x|1≤x≤3}
[解析]因为集合E＝{x|y＝}，
所以E＝{x|2－x≥0}＝{x|x≤2}.
因为FE，观察选项，应选A.
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考点视频
(2)已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若BA，则实数m的取值范围是________.
[解析]由题意知2m－1≤－3，m≤－1，m的取值范围是(－∞，－1].
(－∞，－1]
延伸探究1
本例(2)中的B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？
答案(－∞，2)(6，＋∞)
解析当B＝时，有m＋1>2m－1，则m<2.
当B≠时，或，
解得m>6.综上可知m的取值范围是(－∞，2)(6，＋∞).
延伸探究2
本例(2)中的A改为A＝{x|－3≤x≤7}，B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？
答案(－∞，4]
解析当B＝时，满足BA，此时有m＋1>2m－1，即m<2，当B≠时，要使BA，则有
解得2≤m≤4.
综上可知m的取值范围是(－∞，4].
1．判断两集合关系的关键及方法
(1)关键：明确集合中的元素或其属性.
(2)方法：列举法：将集合中的元素一一列举出来.
元素分析法：从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，看是否是同一类元素.直观图表法：利用数轴或Venn图直观判断.2．根据集合的关系求参数的关键点及注意点
(1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论.
(2)注意点：注意区间端点的取舍.提醒解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况.
【变式训练2】(1)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x＝m2，mA}，则()
A.AB B．BA
C.AB D．BA
解析由题意知A＝{x|y＝}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x＝m2，mA}＝{x|0≤x≤1}，BA，故选B.
(2)已知集合A＝{xR|x2－3x＋2＝0}，B＝，则满足条件AC?B的集合C的个数为()
A.1 B．2
C.3 D．4
解析因为A＝{xR|x2－3x＋2＝0}，所以A＝{1,2}；因为B＝，所以B＝{xZ|x(5－x)>0}＝{xZ|0
考向集合的基本运算集合的基本运算是历年高考的热点，常与函数、方程、不等式等知识综合，主要以选择题的形式出现.命题角度1集合的交集及其运算
例3[2015·山东高考]已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2
A.(1,3)B．(1,4)
C.(2,3) D．(2,4)
[解析]A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1
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考点视频
命题角度2集合的并集及其运算
例4[2016·南京模拟]设全集U＝R，集合A＝{x|2x－x2>0}，B＝{y|y＝ex＋1}，则AB等于()
A.{x|x<2} B．{x|1
C.{x|x>1} D．{x|x>0}
[解析]先求出集合A，B，再求并集．由2x－x2>0得01，故B＝{y|y>1}，所以AB＝{x|x>0}，故选D.
命题角度3集合的补集及其运算
例5[2015·浙江高考]已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1
A.[0,1) B．(0,2]
C.(1,2) D．[1,2]
[解析]RP＝{x|0
命题角度4已知集合的运算求参数
例6已知集合A＝{xR||x＋2|<3}，集合B＝{xR|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
－1
[解析]A＝{xR||x＋2|<3}＝{xR|－5
由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，
则B＝{x|m
1
集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解.
【变式训练3】(1)[2015·课标全国卷]已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝()
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
解析由于B＝{x|－2
(2)[2015·陕西高考]设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则MN＝()
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
解析M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0
(3)[2016·河南模拟]已知全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，N＝，则U(M∩N)＝()
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－1,2] D．[－1,2)
解析本题考查集合的交集、补集的运算．M＝{x|x≥1}，N＝{x|x≤－1或x>2}；M∩N＝{x|x>2}，U(M∩N)＝{x|x≤2}．故选B.
(4)已知A＝{x|x>3或x<－1}，B＝{x|a≤x≤b}，若AB＝R，A∩B＝{x|3
解析结合图象可知a＝－1，b＝4.
－1,4
核心规律
解决集合问题，要正确理解有关集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性，采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：
(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；
(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解.
满分策略
1.元素的属性：描述法表示集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)是正确求解集合问题的先决条件.
2.元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
3.空集的特殊性：在解决有关A∩B＝，AB等集合问题时，要先考虑是否成立，以防漏解.
创新交汇系列1——集合新运算问题
[2015·湖北高考]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，yZ}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，yZ}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B}，则AB中元素的个数为()
A．77 B．49
C．45 D．30
[解题视点]集合中的新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算，以达到解决问题的目的的创新问题．
[解析]集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，yZ}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，yZ}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点．集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．
答题启示解决新定义问题应注意以下几点
(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；
(2)按新定义的要求，“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；
(3)对于选择题，可以结合选项，通过验证、排除、对比、特值等方法解决.
跟踪训练对于任意两个正整数m，n，定义运算(用表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mn＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn＝m×n.例如46＝4＋6＝10,37＝3＋7＝10,34＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|ab＝12，a，bN}的元素有________个．
解析m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)．
15
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