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[必备知识]
考点1函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1
f(x1)
f(x1)>f(x2)
2.单调性、单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
考点2函数的最值
前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意的xI，都有存在x0I，使得对于任意的xI，都有
②存在x0I，使得 结论 则M是y＝f(x)的最大值 则M是y＝f(x)的最小值
增函数或减函数
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
[必会结论]
1．对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数．
2．设x1，x2D(x1≠x2)，则>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)f(x)在D上单调递增；
<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)f(x)在D上单调递减．
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)(0，＋∞)．()
2．对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．()
3．函数y＝|x|是R上的增函数．()
4．函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()
5．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．()
×
√
×
×
×
二、小题快练
1．[课本改编]函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()
A．k> B．k<
C．k>－ D．k<－
解析使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k＋1<0，即k<－.
2．[课本改编]函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是()
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
解析作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．
3．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，＋∞)，都有<0”的是()
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.
4．[2016·兰州模拟]已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)
A.B.
C. D.
解析由题意，得故≤x＜，所以选D.
5．[课本改编]函数f(x)＝在[－6，－2]上的最大值和最小值分别是______________．
解析函数f(x)＝在[－6，－2]上单调递减，最大值为f(－6)＝－，最小值为f(－2)＝－.
－，－
考向函数单调性的判断与证明
例1(1)[2014·北京高考]在下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
[解析]y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝x在xR上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．
(2)已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
[证明]设x1，x2是任意两个正数，且0
则f(x1)－f(x2)
＝－＝(x1x2－a)．
当0
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(0，]上是减函数；
当≤x1a，又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
判断(或证明)函数单调性的主要方法
(1)函数单调性的定义；
(2)观察函数的图象；
(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；
(4)利用函数的导数等．
其中(2)(3)一般用于选择、填空题.
【变式训练1】(1)[2016·南宁模拟]下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是()
A．y＝－x＋1 B．y＝
C．y＝－(x－1)2 D．y＝31－x
解析函数y＝－x＋1在(1，＋∞)上为减函数；y＝在(1，＋∞)上为增函数；y＝－(x－1)2在(1，＋∞)上为减函数；y＝31－x在(1，＋∞)上为减函数，故选B.
(2)讨论函数f(x)＝(a>0)在x(－1,1)上的单调性．
解设x1，x2是任意实数且－1
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
－10，
x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.
f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
考向求函数的单调区间
例2求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(2)f(x)＝log(－x2－2x＋3)；
(3)y＝x2－x；
(4)y＝3x2－6lnx.
[解](1)f(x)＝
其图象如图1所示，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]；单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)f(x)定义域为(－3,1)，设u＝－x2－2x＋3(u>0)，其图象如图2所示．
∵0<<1，
f(x)的单调增区间就是u(x)＝－x2－2x＋3(u>0)的单调减区间[－1,1)；单调减区间就是u(x)的单调增区间(－3，－1]．
f(x)的增区间为[－1,1)，减区间为(－3，－1]．
(3)设u＝x2－x，则y＝u.
u在上为减函数，在上为增函数，
又y＝u为减函数，
∴y＝x2－x在上为增函数，在上为减函数．
(4)y′＝6x－＝.
定义域为(0，＋∞)，
由y′>0，得x>1，增区间为(1，＋∞)．
由y′<0，得0
求函数单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：求函数的定义域；求简单函数的单调区间；求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”.
【变式训练2】求出下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；
(2)f(x)＝log2(x2－1)；
(3)f(x)＝；
(4)y＝x＋sinx，x(0，π)．
解(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象．如图所示．
由图可知，f(x)在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f(x)的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．
(2)函数的定义域为x2－1>0，即{x|x>1或x<－1}．
令u(x)＝x2－1，易知u(x)在(－∞，－1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
而f(u)＝log2u是增函数．
故f(x)＝log2(x2－1)的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)．
(3)3－2x－x2>0，－3
由二次函数图象可知f(x)的递减区间是(－3，－1]，递增区间为[－1,1)．
(4)∵y＝x＋sinx，y′＝＋cosx
令y′>0，得cosx>－，又x∈(0，π)，0
②令y′<0，得cosx<－，又x∈(0，π)，
∴y＝x＋sinx的增区间为，减区间为.
考向函数单调性的应用高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.命题角度1利用函数的单调性比较大小
例3[2014·山东高考]已知实数x，y满足ax
A.>B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sinx>siny D．x3>y3
[解析]因为0y，x3>y3.
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命题角度2利用函数的单调性解决不等式问题
例4f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()
A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．[8,9] D．(0,8)
[解析]2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8
命题角度3利用函数的单调性求最值问题
例5[2016·吉林月考]若函数f(x)＝－在上的值域是，则实数a的值为________．
[解析]因为函数f(x)在区间上是增函数，值域为，所以f＝，f(2)＝2，即解得a＝.
命题角度4利用函数的单调性求参数
例6[2015·山东泰安模拟]已知函数f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()
A．(1，＋∞) B．[4,8)C．(4,8) D．(1,8)
[解析]由f(x)在R上单调递增，则有
解得：4≤a＜8.
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．
(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
提醒若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
【变式训练3】(1)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1(1,2)，x2(2，＋∞)，则()
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
所以当x1(1,2)时，f(x1)
当x2(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.
(2)已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为()
A．(－∞，2)B.C．(－∞，2]D.
解析由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，
于是有
由此解得a≤，
即实数a的取值范围是.
(3)已知f(x)＝，x[1，＋∞)．
当a＝时，求函数f(x)的最小值．
若对任意x[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解当a＝时，f(x)＝x＋＋2，联想到g(x)＝x＋的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x11,2x1x2－1>0.又x1－x2<0，所以f(x1)
②在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，
则等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
φ(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，
所以当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.
所以a>－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
核心规律
1.函数的单调区间是定义域的子集，研究函数单调性的方法有：定义法、图象法、导数法等．要注意掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调性.
2.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.
3.求函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值中的应用.
满分策略
1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域.
2.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.
规范答题系列1——抽象函数单调性的判断方法
[2016·西安模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足：
f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
[解题视点](1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点.要构造出f(M)
[解](1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.
证明如下：在R上任取x1>x2，
则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，
解之，得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
[答题模板]解函数不等式问题的一般步骤
第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：将函数不等式转化为f(M)
第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：解不等式或不等式组确定解集；
第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范．
答题启示
对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或f(x1)，f(x2)同号时比较与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等．
跟踪训练[2015·海淀模拟]已知函数f(x)的定义域为{x|xR，且x≠0}，对定义域内的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
证明(1)因对定义域内的任意x1、x2都有
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x，x2＝－1，
则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．
又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)．
再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，从而f(－1)＝0，
于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)设0
由于01，从而f>0，
故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
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