板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第2章函数、导数及其应用第8讲函数与方程板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
[必备知识]考点1函数零点
1．定义：对于函数y＝f(x)(xD)，把使的实数x叫做函数y＝f(x)(xD)的零点．
2．三个等价关系
f(x)＝0
3．存在性定理
考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与
零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 零点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
x1，x2
x1
无
考点3二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
[必会结论]
1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点．
2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．
3．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．()
3．函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()
4．若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．()
5．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1＜k＜－.()
×
√
×
×
×
二、小题快练
1．[课本改编]函数f(x)＝x－的零点个数是()
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析令f(x)＝0，解x－＝0，即x2－4＝0，且x≠0，则x＝±2.
2．[2016·唐山模拟]设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()
A．[0,1] B．[1,2]
C．[－2，－1] D．[－1,0]
解析函数f(x)在区间[a，b]上有零点，需要f(x)在此区间上的图象连续且两端点函数值异号，即f(a)·f(b)≤0，把选项中的各端点值代入验证可得答案D.
3．[课本改编]已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：
x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析依题意，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，
故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
4．[2016·西安模拟]函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为()
A.B.
C．(1,2) D．(2,3)
解析因为f＝log2－2＝－3＜0，
f(1)＝log21－1＝－1＜0，f(2)＝log22－＝＞0，
故函数零点所在区间为(1,2)．
5．[2015·安徽高考]在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
－
解析若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则方程2a＝|x－a|－1只有一解，即方程|x－a|＝2a＋1只有一解，故2a＋1＝0，所以a＝－.
考向确定函数零点所在区间例1(1)[2016·杭州模拟]方程log3x＋x＝3的根所在的区间为()
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析]解法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0且函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．所以函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．
解法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．
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考点视频
(2)[2016·太原模拟]已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[解析]a＞1,0＜b＜1，f(x)＝ax＋x－b，f(x)在R上为单调增函数，
f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【变式训练1】(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
(2)[2016·嘉兴模拟]设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n＋1)，nN，则x0所在的区间是________．
解析设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝x－2的图象如图所示．
因为f(1)＝1－－1＝－1＜0，
f(2)＝8－0＝7＞0，
所以f(1)f(2)＜0，所以x0∈(1,2)．
(1,2)
考向判断函数零点的个数
例2(1)[2016·安庆模拟]函数f(x)＝的零点个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]依题意，在考虑x＞0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．故选D.
(2)设函数f(x)＝，函数y＝f[f(x)]－1的零点个数为________．
2
[解析]本题考查分段函数的零点的判断．y＝f[f(x)]－1＝0，即f[f(x)]＝1，可得f(x)＝0或f(x)＝2，解得x＝1或x＝4，故有两个零点．
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
【变式训练2】(1)[2016·合肥模拟]函数f(x)＝log2x－x＋2的零点个数为()
A．0 B．1
C．3 D．2
解析转化为判断y＝log2x与y＝x－2两函数图象的交点的个数，作图象如下：
图象有两个交点，因此函数零点个数为2个．
(2)若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．
解析求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，
或
解得x＝1＋或x＝1.
g(x)的零点为1＋，1.
1＋，1
考向零点性质的应用高考对函数零点的应用的考查多以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围及利用零点的性质求其和、比较大小等问题.命题角度1利用函数的零点比较大小
例3已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0
A．恒为负值B．等于0
C．恒为正值 D．不大于0
[解析]因为f(x)＝x－log2x在其定义域(0，＋∞)上单调递减，而f(x0)＝0，所以f(x1)>f(x0)＝0.
命题角度2已知函数零点所在区间求参数问题
例4[2016·云南统考]若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是()
A．a> B．a>或a<－1
C．－1
[解析]当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0.由于函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，则f(－1)·f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>，选择B.
命题角度3已知函数零点个数求参数问题
例5[2015·北京高考]设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_______________．
－1
[解析](1)若a＝1，则f(x)＝，作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.
(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足，解得≤a<1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
∪[2，＋∞)
函数零点的应用问题类型及解题思路
(1)已知函数零点情况求参数．根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围．
(2)已知函数零点的个数求参数．常利用数形结合法．
(3)借助函数零点比较大小．要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小.
【变式训练3】(1)[2016·湖北八校二联]已知函数f(x)＝2x－logx，且实数a＞b＞c＞0满足f(a)·f(b)·f(c)＜0，若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是()
A．x0＜a B．x0＞a
C．x0＜b D．x0＜c
解析画出函数y＝2x与y＝logx的图象可知，满足条件的c只能在函数f(x)的零点的左边，故不可能出现x0＜c.
(2)[2016·贵州模拟]函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(nN)内，则n＝________.
解析求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
2
(3)已知函数f(x)＝有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一个根，此时0＜a≤1；当x＞0时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，于是有由此解得a＞.
因此，满足题意的实数a需满足
即＜a≤1.
核心规律
1.判定函数零点的常用方法
(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.
2.研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
3.转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
满分策略
1.函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象来分析.
数学思想系列3——数形结合思想在函数零点问题中的应用
[2015·湖南高考]已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是___________________．
[解题视点]要使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，应使f(x)图象与直线y＝b有两个不同的交点，画出函数图象，合理寻找“临界”情况．
(－∞，0)(1，＋∞)
[解析]直观判断y＝b的位置，进而确定a的范围．
当0≤a≤1时，由f(x)的图象知f(x)在定义域R上单调递增，它与直线y＝b不可能有两个交点．
当a＜0时，由f(x)的图象(如图1)知，f(x)在(－∞，a]上递增，在(a,0)上递减，在[0，＋∞)上递增，且a3＜0，a2＞0，所以，当0＜b＜a2时，f(x)图象与y＝b有两个不同交点．
当a＞1时，由f(x)的图象(如图2)知，f(x)在(－∞，a]上递增，在(a，＋∞)上递增，但a3＞a2，所以当a2＜b≤a3时，f(x)图象与y＝b有两个不同的交点．
综上，实数a的取值范围是a＜0或a＞1.
答题启示
数形结合思想的本质是转化，即把数的问题转化为形的问题直观解决，或者把形的问题转化为数的问题加以解决.在函数与方程问题中利用数形结合思想可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象的交点问题加以解决.
跟踪训练[2014·江苏高考]已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x[0,3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是___________．
解析当x[0,3)时，f(x)＝＝
，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在[－3,4]上的图象，如图．
由题意知方程a＝f(x)在[－3,4]上有10个不同的根．
由图可知a.
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