板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
[必备知识]
考点1同角三角函数的基本关系式
1．平方关系：.
2．商数关系：.
考点2六组诱导公式
角函数 2kπ＋α(kZ) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 余弦 正切 — —
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
cosα
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
tanα
tanα
－tanα
－tanα
sin2α＋cos2α＝1
tanα＝
[必会结论]
1．特殊角的三角函数值
α 0 π sinα 0 1 0 －1 cosα 1 0 －1 0 tanα 0 1 不存在 0 不存在 2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()
2．若αR，则tanα＝恒成立．()
3．已知sinα＝，α，则cosα＝.()
4．sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()
5．六组诱导公式中的角α可以是任意角．()
6．若cos(nπ－θ)＝(nZ)，则cosθ＝.()
7．已知sin(α－37°)＝，则cos(α＋53°)＝－.()
×
√
√
×
×
×
×
二、小题快练
1．[2015·福建高考]若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于()
A. B．－
C. D．－
解析因为α是第四象限角，sinα＝－，所以cosα＝＝，
故tanα＝＝－.选D项．
2．[2016·泰安模拟]sin600°的值为()
A．－ B．－
C.D.
解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.
3．[2015·辽宁五校联考]已知cos＝，且α，则tanα＝()
A.B.
C．－ D．±
解析因为cos＝，所以sinα＝－.显然α在第三象限，所以cosα＝－，故tanα＝.
4．[2016·梅州模拟]已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα的值是()
A.B.
C. D.
解析由tan(π－α)＋3＝0得tanα＝3，即＝3，sinα＝3cosα，所以sin2α＝9(1－sin2α)，10sin2α＝9，sin2α＝.
又因为α为锐角，所以sinα＝.
5．[课本改编]已知tanθ＝2，则＝________.
解析原式＝＝
＝＝
＝－2.
－2
考向同角三角函数基本关系式的应用
例1[2016·杭州模拟]已知－
(1)求sinx－cosx的值；
(2)求的值．
[解](1)解法一：联立方程
由得sinx＝－cosx，将其代入，整理得25cos2x－5cosx－12＝0.
－
∴sinx－cosx＝－.
解法二：sinx＋cosx＝，
(sinx＋cosx)2＝2，
即1＋2sinxcosx＝，
2sinxcosx＝－.
(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝1－2sinxcosx＝1＋＝.
又－0，
sinx－cosx<0.
由可知sinx－cosx＝－.
(2)由已知条件及(1)可知
解得
tanx＝－.
又＝
＝＝，＝.
延伸探究1
在本例条件下，求的值．
解＝＝＝.
延伸探究2
在本例条件下，求sin2x＋sinxcosx的值．
解sin2x＋sinxcosx＝
＝＝＝－.
同角三角函数基本关系式及变形公式的应用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
(4)关于sinα，cosα的齐次式，往往转化为关于tanα的式子求解.
【变式训练1】(1)若α是第二象限角，且tanα＝－2，则cosα＝()
A．－B．－
C．－ D．－
解析由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα，代入平方关系得5cos2α＝1，因为cosα<0，所以cosα＝－.
(2)若tanα＝2，则＋cos2α＝()
A. B．－
C. D．－
解析＋cos2α＝＋
＝＋＝.故选A.
考向利用诱导公式化简求值利用诱导公式、同角三角函数关系式化简求值是高考的重点，常与三角恒等变换结合，达到化简的目的，在高考中常以选择题、解答题的形式出现.命题角度1利用诱导公式化简三角函数式
例2(1)[2016·厦门模拟]已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值是()
A.B.
C. D．－
[解析]sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝.
(2)[2016·淮南模拟]已知f(x)＝
，则f＝________.
－1
[解析]因为f(x)＝
＝
＝＝－tan2x.
所以f＝－tan2＝－tan2＝－tan2
＝－tan2＝－1.
命题角度2利用诱导公式求值
例3(1)[2016·南昌模拟]已知sin＝，则cos的值为()
A. B．－
C．－D.
[解析]因为sin＝，
所以cos＝cos
＝－sin＝－.
(2)已知tan＝，则tan＝_______.
－
[解析]tan＝tan
＝－tan＝－.
利用诱导公式化简求值的思路
(1)给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错.
【变式训练2】(1)[2016·成都月考]已知tan(α－π)＝，且α，则sin＝()
A. B．－
C. D．－
解析tan(α－π)＝tanα＝.
又因为α，所以α为第三象限的角，
所以sin＝cosα＝－.
(2)[2016·衡水模拟]已知cos＝，且－π＜a＜－，则cos等于()
A.B.C．－ D．－
解析因为＋＝，所以cos＝sin＝sin.因为－π＜α＜－，所以－＜α＋＜－.
又cos＝＞0，所以－＜α＋＜－，
所以sin＝－
＝－＝－.
(3)化简：＋
＝________.
0
解析原式＝＋
＝－sinα＋sinα＝0.
考向诱导公式在三角形中的应用
例4[2016·广东梅州月考]在ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2＝1；
(2)若cossintan(C－π)<0，求证：ABC为钝角三角形．
[证明](1)在ABC中，A＋B＝π－C，
＝－，
cos＝cos＝sin，
cos2＋cos2＝1.
点击观看
考点视频
(2)若cos·sin·tan(C－π)<0，
则(－sinA)(－cosB)tanC<0，即sinAcosBtanC<0.
在ABC中，00，
或，
B为钝角或C为钝角，ABC为钝角三角形．
三角形中的诱导公式
诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos，cos＝sin等．
【变式训练3】在ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求ABC的三个内角．
解由已知得
2＋2得sin2A＋3cos2A＝2，
1－cos2A＋3cos2A＝2，2cos2A＝1，
即cosA＝或cosA＝－.
(1)当cosA＝时，cosB＝，又A、B是三角形的内角，
A＝，B＝，C＝π－(A＋B)＝π.
(2)当cosA＝－时，cosB＝－.
又A、B是三角形的内角，A＝π，B＝π，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝π.
核心规律
三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·＝tan＝….
满分策略
1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定.
2.同角三角函数的基本关系及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍.
3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
数学思想系列5——方程思想在三角函数求值中的应用
[2015·北京东城模拟]已知sinθ＋cosθ＝，θ(0，π)，则tanθ＝________.
[解题视点]利用同角三角函数基本关系式，寻求sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ和sinθcosθ的关系．
[解析]解法一：因为sinθ＋cosθ＝，θ(0，π)，
所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，
所以sinθcosθ＝－.
由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根，
所以x1＝，x2＝－.
－
因为θ(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0.
所以sinθ＝，cosθ＝－.
所以tanθ＝＝－.
解法二：同解法一，得sinθcosθ＝－，
所以＝－，
弦化切，得＝－，
即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，
解得tanθ＝－或tanθ＝－.
又θ(0，π)，sinθ＋cosθ＝>0，sinθcosθ＝－<0.
所以θ，所以tanθ＝－.
解法三：解方程组得，
或(舍)．
故tanθ＝－.
答题启示
?1?平方关系是一组同角关系式，如sin2α＋cos2β＝1?α≠β?就不一定成立，因此能否利用这组关系解题要用“是否同角”来判别.?2?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，由于利用“平方关系”公式求平方根，会出现两解，所以需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.
跟踪训练
[2015·辽宁模拟]已知sinα－cosα＝，α(0，π)，则tanα＝()
A．－1 B．－C. D．1
解析解法一：由
得：2cos2α＋2cosα＋1＝0，
即(cosα＋1)2＝0，cosα＝－.
又α(0，π)，α＝，tanα＝tan＝－1.
解法二：因为sinα－cosα＝，
所以sin＝，所以sin＝1.
因为α(0，π)，所以α＝，所以tanα＝－1.
解法三：因为sinα－cosα＝，所以(sinα－cosα)2＝2，所以sin2α＝－1.因为α(0，π)，2α(0,2π)，所以2α＝，所以α＝，所以tanα＝－1.
|
|
