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板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第3章三角函数、解三角形第3讲三角函数的图象和性质板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
[必备知识]
考点1周期函数和最小正周期
考点2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 xR x∈R x|x∈R且x≠＋kπ，kZ 值域
[－1,1]
[－1,1]
R
续表
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 单调性 在，kZ上递增；在，kZ上递减在，kZ上递增；在，kZ上递减在，kZ上递增 最值 (k∈Z)时，ymax＝1；x＝时，ymin＝－1x＝时，ymax＝1；x＝时，ymin＝－1无最值
＋2kπ，＋2kπ]
＋2kπ，＋2kπ]
[(2k－1)π，2kπ]
[2kπ，(2k＋1)π]
＋kπ，
x＝＋2kπ
－＋2kπ(kZ)
2kπ(k∈Z)
π＋2kπ(kZ)
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 奇偶性 对称性 对称中心 对称轴 无对称轴 最小正周期 2π
奇
偶
奇
(kπ，0)，kZ
，kZ
，kZ
x＝kπ＋，kZ
x＝kπ，kZ
2π
π
[必会结论]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．y＝cosx在第一、二象限内是减函数．()
2．y＝ksinx＋1，xR，则y的最大值是k＋1.()
3．由sin＝sin知是正弦函数y＝sinx(xR)的一个周期．()
4．函数y＝sin是偶函数，最小正周期为π.()
5．函数y＝sinx的对称轴方程为x＝2kπ＋(kZ)．()
6．函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．()
×
√
×
×
×
×
二、小题快练
1．[课本改编]函数y＝sin，xR是()
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
解析函数y＝sin＝cos2x，显然函数是偶函数，函数的周期是T＝＝π.故选C.
2．[课本改编]函数y＝2sin的一条对称轴是()
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
解析函数图象的对称轴经过函数图象的最高点或最低点．所以，由2x－＝kπ＋，kZ，得x＝＋，kZ，x＝－是一条对称轴，故选C.
3．[2015·北京模拟]y＝sin的图象的一个对称中心是()
A．(－π，0)B.
C. D.
解析令x－＝kπ，kZ得x＝＋kπ，kZ，于是是y＝sin的图象的一个对称中心．故选B.
4．[课本改编]函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数()
A.B.
C. D.
解析A项，当x时，2x，不是减函数；B项，当x时，2x，不是减函数；C项，当x时，2x[0，π]，是减函数；D项，当x时，2x[π，2π]，不是减函数，故选C.
5．[2016·天津模拟]函数f(x)＝sin在区间上的最小值为()
A．－1B．－C.D．0
解析由x得2x－，
所以sin.
即函数f(x)在上的最小值为－.故选B.
考向三角函数的定义域、值域
例1(1)函数y＝的定义域为()
A.
B.(kZ)
C.(k∈Z)
D．R
[解析]cosx－≥0,得cosx≥，2kπ－≤x≤2kπ＋，kZ.
(2)[2016·青岛模拟]函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
[解析]利用三角函数的性质先求出函数的最值．
因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，
所以sin.
所以y[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.
(3)[2016·成都模拟]函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为()
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
[解析]y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx
＝－sin2x－2sinx＋1，
令t＝sinx，则t[－1,1]，
y＝－t2－2t＋1
＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
三角函数定义域、值域的求解策略
(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t＝sinx，或t＝sinx±cosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)换元法的应用：把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此时注意所换元的取值范围.
【变式训练1】(1)[2016·重庆巴南区质检]函数f(x)＝－2tan的定义域是()
A.B.
C. D.
解析由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，即x≠＋(kZ)，故选D.
(2)[2016·苏州模拟]函数y＝＋的定义域为____________________．
解析sinx≥0，2kπ≤x≤2kπ＋π，
16－x2≥0，－4≤x≤4，
取交集得[－4，－π][0，π]．
[－4，－π][0，π]
(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x[0，π]的最小值是________．
解析设sinx－cosx＝t，t＝sin，
因为x[0，π]，所以x－，
所以t[－1，]，sinxcosx＝，
所以y＝t＋＝－(t－1)2＋1，
当t＝－1时，ymin＝－1.
-1
考向三角函数的单调性
例2(1)[2016·贵州遵义测试]函数y＝
cos－2x的单调递增区间是()
A.(kZ) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
[解析]y＝cos即y＝cos.由2kπ－π≤2x－≤2kπ，kZ得，kπ－≤x≤kπ＋，kZ，所以，函数y＝cos的单调递增区间是
(kZ)，故选B.
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考点视频
(2)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是()
A.B.
C. D．(0,2)
[解析]由0得，＋<ωx＋<ωπ＋，又y＝sinx在上递减，所以解得≤ω≤.
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
【变式训练2】(1)函数y＝sin的一个单调递增区间为()
A.B.C. D.
解析y＝sin＝－sin，
故由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，
解得2kπ＋π≤x≤2kπ＋π(kZ)．
因此，函数y＝sin的单调递增区间为(kZ)．
(2)设ω是正实数，函数f(x)＝2cosωx在x上是减函数，那么ω的值可以是()
A. B．2
C．3 D．4
解析因为函数f(x)＝2cosωx在上单调递减，所以要使函数f(x)＝2cosωx(ω>0)在区间上单调递减，则有≤，即T≥，所以T＝≥，解得ω≤.所以ω的值可以是，故选A.
从近五年的高考试题来看，高考常在三角函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性与三角恒等变换等知识点的交汇处命题.在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，同时也考查了函数与方程、转化与化归的思想方法.
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考点视频
命题角度1三角函数的周期性与奇偶性
例3[2015·四川高考]下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx
[解析]采用验证法．由y＝cos＝－sin2x，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选B.
命题角度2三角函数的周期性与对称性
例4已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称
[解析]函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.
函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(kZ)；函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(kZ)．故选B.
命题角度3三角函数的奇偶性与对称性
例5[2016·揭阳一模]当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f()
A．是奇函数且图象关于点对称B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称
C．是奇函数且图象关于直线x＝对称D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称
[解析]当x＝时，函数f(x)取得最小值，
sin＝－1，φ＝2kπ－(kZ)．
f(x)＝sin＝sin.
y＝f＝sin(－x)＝－sinx.
y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
【变式训练3】(1)下列函数中周期为π且为偶函数的是()
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析y＝sin＝－cos2x为偶函数，且周期是π，故选A.
(2)[2016·洛阳市模拟]已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值是()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析设函数的周期为T，则T的最大值为4×＝π，≤π，ω≥2，故选B.
(3)[2016·豫北六校联考]若函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，且－<φ<，则函数y＝f为()
A．奇函数且在上单调递增B．偶函数且在上单调递增
C．偶函数且在上单调递减D．奇函数且在上单调递减
解析因为函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，则＋φ＝kπ＋，kZ.即φ＝kπ－，kZ，又－<φ<，则φ＝－，则y＝f＝cos＝cos＝－sin2x，所以该函数为奇函数且在上单调递减，故选D.
核心规律
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint的性质.
满分策略
1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况.
3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.
题型技法系列7——巧用对称性妙解奇偶性问题
[2015·保定模拟]若函数f(x)＝2sin(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________.
[解题视点](1)直接利用偶函数的定义构造等式，然后利用恒成立求φ，是已知奇偶性求参数的常规思路．
(2)解法体现了定义的双向性，但计算量大，运算过程极易出错．
[解析]解法一：因为f(x)为偶函数，所以对xR，f(－x)＝f(x)恒成立，
因此sin＝sin，
即－sin2xcos＋cos2xsin
＝sin2xcos＋cos2xsin，
整理得sin2xcos＝0.
因为xR，所以cos＝0.
又因为0<φ<π，故φ－＝.所以φ＝.
解法二：因为f(x)为偶函数，
所以函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，故当x＝0时函数取得最值，即f(0)＝±2，
所以2sin＝±2，
从而φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，kZ.
又因为0<φ<π，故φ＝.
答题启示
?1?将偶函数问题转化为对称问题，为进一步应用对称性的性质做好铺垫.?2?利用对称性的图形特征解题，突出了数形结合的思想，减少了运算量.
跟踪训练[2015·昆明模拟]若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
解析(常规解法)因为f(x)为奇函数，
所以对xR，f(－x)＝－f(x)恒成立，
因此cos＝－cos.
即cos2xcos＋sin2xsin
＝－cos2xcos＋sin2xsin，
整理得cos2xcos＝0.
因为xR，所以cos＝0.
又因为0<φ<π，故φ－＝，所以φ＝.
(优化解法)因为f(x)为奇函数，
所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，
故f(0)＝0，所以cos＝0，
从而φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，kZ.
又因为0<φ<π，故φ＝.
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