板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第5章数列第2讲等差数列及其前n项和板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.
[必备知识]
考点1等差数列的有关概念
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，一般用字母d表示；定义的表达式为：(n∈N).
2.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝.
3.等差中项
若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
考点2等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝.
同一个常数
公差
an＋1－an＝d
a1＋(n－1)d
na1＋d
[必会结论]
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和.
1.am＝an＋(m－n)d或＝d(m、nN).
2.有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….
3.等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，qN)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，pN).
4.相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，mN).
5.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
6.也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的.
7.在等差数列{an}中，
(1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.
(2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
8.若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.
9.若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.
10.若am＝n，an＝m(m≠0)，则am＋n＝0.
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.等差数列的公差是相邻两项的差．()
2.若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()
3.数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()
4.数列{an}为等差数列的充要条件是对任意nN，都有2an＋1＝an＋an＋2.()
5.等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()
6.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．()
7.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()
×
√
×
×
√
√
×
二、小题快练
1.[2015·重庆高考]在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()
A.－1 B．0
C.1 D．6
解析a6＋a2＝2a4，a6＝0，选B.
2.已知等差数列{an}中，a4＋a5＝a3，a7＝－2，则a9＝()
A.－8 B．－6
C.－4 D．－2
解析解法一：由已知可得，解得：a1＝10，d＝－2，
所以a9＝10＋(－2)×8＝－6，选择B.
解法二：a4＋a5＝a3，a3＋a6＝a3，a6＝0，又a7＝－2，d＝－2，a9＝－2＋(－2)×2＝－6，选择B.
3.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()
A.18 B．20
C.22 D．24
解析由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8＝()
A.18 B．36
C.54 D．72
解析由题意a4＋a5＝18，等差数列中a4＋a5＝a1＋a8，
S8＝＝＝72.故选D.
5.[2015·焦作模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝10，S5＝55，则a10＝________.
解析设等差数列{an}的公差为d，由题意可得
即解得a1＝3，d＝4，a10＝a1＋(10－1)d＝39.
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考向等差数列的基本运算
例1(1)[2015·课标全国卷]已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝()
A.B.
C.10 D．12
[解析]因为{an}是公差为1的等差数列，则S8＝8a1＋28＝4S4＝4(4a1＋6)，解得a1＝，则a10＝a1＋9d＝，故选B.
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
[解析]设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由已知，得解得
S16＝16×3＋×(－1)＝－72.
－72
等差数列计算中的两个技巧
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【变式训练1】(1)[2014·福建高考]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()
A.8B．10C．12D．14
解析S3＝＝3a2＝12，a2＝4.
a1＝2，d＝a2－a1＝4－2＝2.
a6＝a1＋5d＝12.故选C.
(2)设函数f(x)＝＋2，若a，b，c成等差数列(公差不为零)，则f(a)＋f(c)＝________.
解析依题意得b－a＝c－b，即－(a－b)＝c－b，则f(a)＋f(c)＝＋2＋＋2＝＋＋4＝0＋4＝4.
4
考向等差数列的性质等差数列的性质是高考的热点之一，很多题目利用等差数列的基础知识也能解决，但计算量比利用等差数列的性质解决偏大，主要类型有考查等差数列项的性质和考查等差数列和的性质.命题角度1等差数列项的性质的应用
例2(1)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是()
A.14 B．15
C.16 D．17
[解析]因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝16.
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考点视频
(2)[2015·兰州、张掖联考]等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是()
A.13 B．26
C.52 D．156
[解析]3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，
6a4＋6a10＝24，a4＋a10＝4，
S13＝＝＝＝26，故选B.
命题角度2等差数列和的性质的应用
例3(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为()
A.9 B．12
C.16 D．7
[解析]S4＝1，S8＝4，
S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成首项为1公差为2的等差数列，
a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝1＋2×(5－1)＝9，故选A.
(2)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()
A.10 B．20
C.30 D．40
[解析]设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.
等差数列性质的应用技巧
(1)等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2a与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，qN)相结合，可减少运算量.(2)等差数列和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an；若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).
【变式训练2】(1)已知等差数列{an}满足a2＝3，an－1＝17(n≥2)，Sn＝100，则n的值为()
A.10 B．9
C.8 D．11
解析等差数列{an}，
Sn＝＝＝10n＝100n＝10.
(2)已知Sn表示等差数列{an}的前n项和，且＝，那么等于()
A.B.
C. D.
解析因为该数列是等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等差数列，又因为＝，所以S10＝3S5，所以S10－S5＝2S5，所以S15－S10＝3S5，所以S15＝6S5，同理可求S20＝10S5，所以＝.
考向等差数列的判定与证明
例4[2014·大纲全国卷]数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式.
[解](1)证明：an＋2＝2an＋1－an＋2，
bn＋1－bn＝an＋2－an＋1－(an＋1－an)
＝2an＋1－an＋2－2an＋1＋an＝2.
{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.
(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)，即an＋1－an＝2n－1，
a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，
…，an－an－1＝2n－3，累加法可得
an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝(n－1)2，
an＝n2－2n＋2.
等差数列的判定方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，nN)成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
提醒在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.
【变式训练3】已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，nN)，数列{bn}满足bn＝(nN).
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.
解(1)证明：an＝2－(n≥2，nN)，bn＝.
n≥2时，bn－bn－1＝－
＝－
＝－＝1.
又b1＝＝－，
数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列.
(2)由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，
设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和内为减函数，
当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.
核心规律
1.等差数列的判断方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)利用通项公式判断；(4)利用前n项和公式判断.
2.方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解.
3.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定.
满分策略
1.当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，an为常数.
2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.
3.注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”；否则，当n＝1时，a0无定义.
题型技法系列12——破解等差数列前n项和的最值问题
(1)[2014·北京高考]若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.
(2)等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？
[解题视点](1)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．(2)由S9＝S12可求得a1与d的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.
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[解析](1)根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10<0，a9<0，当n＝8时，{an}的前n项和最大.
(2)解法一：S9＝S12，a10＋a11＋a12＝0.
3a11＝0，a11＝0.
a1<0，前10项或前11项和最小.
解法二：S9＝S12，Sn的图象所在的抛物线的对称轴为x＝＝10.5.
又a1<0，{an}的前10项或前11项的和最小.
解法三：由S9＝S12，得
9a1＋d＝12a1＋d.
化简得a1＝－10d.
a1<0，d>0.
此时Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n
＝n2－n.
n∈N且－＝，
当n＝10或n＝11时Sn最小，
即{an}的前10项或前11项的和最小.
答题启示求等差数列前n项和的最值的方法
(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解.
(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大.
跟踪训练1.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()
A.6B.7
C.8 D.9
解析设等差数列{an}的公差为d，a4＋a6＝－6，a5＝－3，d＝＝2，a6＝－1<0，a7＝1>0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.
2.[2014·江西高考]在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____________.
解析由题意知d<0且即解得－1
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