板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第6章不等式、推理与证明第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
[必备知识]
考点1二元一次不等式表示的平面区域
1．一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足；
(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0；
(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.
2．由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
ax＋by＋c＝0
相同
符号
考点2线性规划中的基本概念
名称 定义 约束条件 由变量x，y组成的 线性约束条件 由x，y的不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x，y的函数，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的 最优解 使目标函数取得的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的问题
不等式(组)
一次
解析式
一次
(x，y)
集合
最大值或最小值
最大值或最小值
[必会结论]
1．二元一次不等式表示的平面区域
二元一次
不等式 Ax＋By＋C≥0
(A>0，B>0) Ax＋By＋C≤0
(A>0，B>0) Ax＋By＋C≥0
(A>0，B<0) Ax＋By＋C≤0
(A>0，B<0) 平面
区域 2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()
2．任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．()
3．线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()
4．目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()
×
√
×
×
二、小题快练
1．[2016·吉林长春模拟]不等式组表示的平面区域是()
解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0以及该直线下方的区域，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0上方的区域，故选B.
2．[课本改编]已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)(24，＋∞) D．(－∞，－24)(7，＋∞)
解析根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.即(a＋7)(a－24)<0，解得－7
3．[课本改编]不等式组所表示的平面区域的面积等于()
A.B.
C. D.
解析平面区域如图所示．
解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，
|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
4．[2015·北京高考]若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为()
A．0 B．1
C. D．2
解析由题意作出可行域如图中阴影部分所示，当z＝x＋2y经过点A(0,1)时，目标函数取得最大值，且zmax＝0＋2×1＝2.
5．[2016·临沂检测]若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是()
A．－3 B．0
C. D．3
解析作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部)．平移直线z＝x－y，易知当直线z＝x－y经过点C(0,3)时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin＝－3.
考向二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1[2015·重庆高考]若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()
A．－3 B．1
C. D．3
[解析]如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则不等式x－y＋2m≥0表示的平面区域为直线x－y＋2m＝0下方的区域，且－2m<2，即m>－1.这时平面区域为三角形ABC.
由解得则A(2,0)．
由解得则B(1－m,1＋m)．
同理C，M(－2m,0)．
因为SABC＝SABM－SACM＝·(2＋2m)·＝，由已知得＝，解得m＝1(m＝－3<－1舍去)．
画平面区域的步骤
(1)画线：画出不等式所对应的方程表示的直线．
(2)定侧：将某个区域内的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．常用的特殊点为(0,0)，(±1,0)，(0，±1)．
(3)求“交”：如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．
这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”.
【变式训练1】[2014·安徽高考]不等式组
表示的平面区域的面积为________．
解析画出x，y约束条件限定的可行域为如图阴影区域ABC，易得B(2,0)，C(0,2)，D(4,0)，
由解得A(8，－2)，
S△ABC＝SCBD＋SABD＝×2×2＋×2×2＝4.
4
考向利用线性规划,求目标函数的最值线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.命题角度1求线性目标函数的最值
例2[2015·广东高考]若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最大值为()
A．2 B．5
C．8 D．10
[解析]约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，而z＝2x＋3y可变形为y＝－x＋，表示直线y＝－x＋在y轴上的截距，由图可知当直线经过点A(4，－1)时z取最大值，最大值为z＝2×4＋3×(－1)＝5.
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命题角度2由目标函数的最值求参数
例3[2015·福建高考]变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于()
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析]画出约束条件的可行域，
如图，作直线2x－y＝2，与直线x－2y＋2＝0交于可行域内一点A(2,2)，由题知直线mx－y＝0必过点A(2,2)，即2m－2＝0，得m＝1.故选C.
命题角度3线性规划中无穷多个最优解问题
例4[2014·安徽高考]x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
[解析]作出可行域(如图)，为△ABC内部(含边界)．由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝可得a＝－1或a＝2或a＝，
验证：a＝－1或a＝2时，成立；a＝时，不成立．故选D.
线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略
(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．
(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数.
【变式训练2】(1)[2015·湖南高考]若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为()
A．－7 B．－1
C．1 D．2
解析画出约束条件对应的可行域(如图)．
由z＝3x－y得y＝3x－z，依题意，在可行域内平移直线l0：y＝3x，当直线l0经过点A时，直线l0的截距最大，此时，z取得最小值．由得则A(－2,1)，故z的最小值为3×(－2)－1＝－7.
(2)[2016·东北三校联考]变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是()
A．{－3,0} B．{3，－1}
C．{0,1} D．{－3,0,1}
解析作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，a＝－1或a＝3.故选B.
(3)[2014·浙江高考]当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析作出不等式组所表示的区域，由1≤ax＋y≤4，由图可知，
a≥0且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)点取得最大值，所以a≥1,2a＋1≤4，故a的取值范围为.
考向线性规划的实际应用
例5[2015·陕西高考]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()
甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
[解析]设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元．
则由题意知
利润函数z＝3x＋4y.
画出可行域如图所示，当直线3x＋4y－z＝0过点B时，目标函数取得最大值．由解得
故利润函数的最大值为z＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选D.
用线性规划求解实际问题的一般步骤
(1)认真分析并掌握实际问题的背景，收集有关数据．
(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量，设未知量．
(3)根据问题的特点，写出约束条件．
(4)根据问题的特点，写出目标函数，并求出最优解或其他要求的解.
【变式训练3】[2016·江西模拟]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
解析设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件下，求z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x，y取的交点(30,20)时，z取得最大值．故选B.
核心规律
1.求最值：求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得.
2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.
3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题.
满分策略
1.画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．注意不等式中不等号有无等号，含等号时，直线画为实线；不含等号时，画为虚线.
2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.
题型技法系列14——非线性目标函数的最值问题
[2015·课标全国卷改编]若x，y满足约束条件则的最大值为________，x2＋y2的取值范围是________．
[解题视点]点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，＝表示点(x，y)和原点连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方．
3
[解析]画出约束条件对应的平面区域(如图)，点A为(1,3)，要使最大，则最大，即过点(x，y)，(0,0)两点的直线斜率最大，由图形知当该直线过点A时，max＝＝3.
z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OB|＝，dmax＝|OA|＝，∴z的取值范围是[2,10]．
[2,10]
答题启示与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)
表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)
表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离；(4)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(5)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.
跟踪训练[2016·山东模拟]在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________；则的取值范围__________________________．
解析作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝＝.
(－∞，－5]
表示过点(x，y)和(1，－3)的直线的斜率．由下图可知A(0,2)，B(2,0)，C(3,0)．设P(1，－3)，则kPA＝＝－5，
kPB＝＝3，kPC＝＝.
∴的取值范围为(－∞，－5].
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