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板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第6章不等式、推理与证明第4讲基本不等式板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
[必备知识]
考点1重要不等式
a2＋b2≥(a，bR)(当且仅当时等号成立)．
考点2基本不等式≤
1．基本不等式成立的条件：；
2．等号成立的条件：当且仅当时等号成立；
3．其中叫做正数a，b的，叫做正数a，b的．
2ab
a＝b
a>0，b>0
a＝b
算术平均数
几何平均数
考点3利用基本不等式求最大、最小值问题
1．如果x，y(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
那么当时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)
2．如果x，y(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)
x＝y
[必会结论]
常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)．
(2)ab≤2(a，bR)．
(3)2≤(a，bR)．
(4)＋≥2(a，b同号)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．函数y＝x＋的最小值是2.()
2．函数f(x)＝cosx＋，x的最小值等于4.()
3．x>0，y>0是＋≥2的充要条件．()
4．若a>0，则a3＋的最小值为2.()
5．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，cR)．()
×
√
×
×
×
二、小题快练
1．[课本改编]下列不等式：a2＋1>2a；≤2；x2＋≥1，其中正确的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析不正确，正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.
2．[2016·重庆模拟](－6≤a≤3)的最大值为()
A．9B.
C．3D.
解析≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号，选B项．
3．[课本改编]若f(x)＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝()
A. B．3
C. D．4
解析由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝>0，即x＝3时，取得等号，故选B.
4．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是()
A．2 B．4
C．6 D．8
解析(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，当1＋a＋2≥9时不等式恒成立，故＋1≥3，a≥4.
5．已知x，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值是________，＋的最小值是________．
解析x＋4y＝1≥2＝4，xy≤，当且仅当x＝，y＝时等号成立．
＋＝＋＝5＋＋≥5＋2＝9.
当且仅当x＝，y＝时等号成立.
9
考向利用基本不等式求最值
例1[2015·福建高考]若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析]a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号．a＋b的最小值为4，选C.
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考点视频
延伸探究1本例题条件不变，求ab的最小值．
若a>0，b>0，
＋＋≥0恒成立，求m的最小值．
解＋＝1≥2，当且仅当a＝b＝2时取等号，ab≥4，ab的最小值为4.
解m≥－(a＋b)恒成立，而
－(a＋b)≤－4，当且仅当a＝b＝2时取等号，m≥－4，m的最小值为－4.
延伸探究3若2a＋2b＝1，求a＋b的最大值．
若log2x＋log2y＝1，求x＋y的最小值．
解2a＋2b≥2，当且仅当a＝b＝－1时取等号，
2≤1，2a＋b≤，
a＋b≤－2，a＋b的最大值为－2.
解易知x>0，y>0，log2(xy)＝1，xy＝2，
x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时取等号，x＋y最小值为2.
1．应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等，
(1)“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
2．利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略
(1)知和求积的最值．求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：具备条件——正数；验证等号成立．
(2)知积求和的最值．明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值．在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.
【变式训练1】(1)若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是()
A．4 B．8
C．2 D．4
解析2x＋4y≥2＝2＝2＝8，当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号，
2x＋4y的最小值为8.
(2)已知0
解析已知0
∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立．
当x＝时，x(4－3x)取最大值为.
(3)实数x，y>0，且x＋2y＝4，那么log2x＋log2y的最大值是________．
解析x＋2y＝4≥2，所以xy≤2，当且仅当x＝2y＝2时取等号．
log2x＋log2y＝log2(xy)≤1，故最大值为1.
1
考向利用基本不等式证明不等式
例2[2016·枣庄段考]设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
[证明]a，b，c都是正数，，，都是正数．
＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，
＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，
＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．
三式相加，得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
利用基本不等式证明不等式的技巧
利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到.
【变式训练2】设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
证明由于a，b均为正实数，
所以＋≥2＝，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，
又因为＋ab≥2＝2，
当且仅当＝ab时等号成立，
所以＋＋ab≥＋ab≥2，
当且仅当即a＝b＝时取等号．
考向利用基本不等式解决实际问题
例3[2016·无锡模拟]某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．
(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；
(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．
[解](1)设污水处理池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12000≥1600＋12000＝36000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立．
即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低．
(2)记g(x)＝x＋(0
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
【变式训练3】某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
1＝3－kk＝2，x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
2016年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
核心规律
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.
2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤2≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
满分策略
1.在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
2.注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解.
3.“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误.
4.有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.
易错警示系列7——忽视基本不等式等号成立的条件致误
[2015·正定模拟]若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()
A.B.
C．5 D．6
[错解]由x＋3y＝5xy5xy≥2，
x>0，y>0，25x2y2≥12xy，
即xy≥.3x＋4y≥2≥2＝，故选A.
[错因分析](1)不能根据函数解析式的特征适当变形，化为两式之和为定值，使题目无法进行．
(2)两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性出错．如本题第一个等号成立条件“x＝3y”，而第二个等号成立条件为“3x＝4y”，显然等号不能同时成立，故不正确．
[正解]由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5，当且仅当x＝1，y＝时取等号，故3x＋4y的最小值是5.
答题启示?1?连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.,?2?妙用“1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值.
跟踪训练1.[2015·温州十校联考]已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是()
A．3 B．4
C．5 D．6
解析由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，m＋n＝(a＋b)＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5，故选C.
2．[2015·东北三省联考]若a>0，b>0，且a＋b＝2，则ab＋的最小值为()
A．2 B．3
C．4 D．2
解析由2＝a＋b≥2得0
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