板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式.2.了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式.
[必备知识]
考点1空间几何体的侧面积和表面积
1．多面体的表面积
因为多面体的各面都是平面，所以多面体的表面积就是各个面的，即展开图的面积，侧面积就是侧面展开图的面积．
面积之和
2．旋转体的侧面展开图及其表面积与侧面积
名称 侧面展开图 表面积 侧面积 圆柱 S＝2πr2＋2πrl＝S侧＝ 圆锥 S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l) S侧＝
2πr(r＋l)
2πrl
πrl
名称 侧面展开图 表面积 侧面积 圆台 S＝S侧＝ 球 — S＝(r为半径)—
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
π(r＋r′)l
4πr2
考点2空间几何体的体积
1．柱体：V＝(S为底面面积，h为高)，
特别地，V圆柱＝(r为底面半径，h为高)；
2．锥体：V＝(S为底面积，h为高)，
特别地，V圆锥＝(r为底面半径，h为高)；
3．台体：V＝(S，S′分别为上、下底面面积，h为高)，
特别地，V圆台＝；
4．球：V＝(R为半径)．
Sh
πr2h
Sh
πr2h
h(S＋＋S′)
πh(r2＋rr′＋r′2)
πR3
[必会结论]
1．长方体的外接球
(1)球心：体对角线的交点；
(2)半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)．
2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)；
(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)；
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)．
3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)；
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)．
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()
2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.()
3．若一个球的体积为4π，则它的表面积为12π.()
4．在ABC中，AB＝2，BC＝3，ABC＝120°，使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.()
5．将圆心角为，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.()
6．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为a3.()
×
×
√
×
√
×
二、小题快练
1．[课本改编]已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是()A.cm3 B.cm3
C．3cm3D．4cm3
解析由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为2)、高为2的四棱锥，如图所示．由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积V＝cm3.
2．[课本改编]某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()
A．32 B．16＋16
C．48 D．16＋32
解析由三视图知，四棱锥是底面边长为4，高为2的正四棱锥，四棱锥的表面积是16＋4××4×2＝16＋16，故选B.
3．[课本改编]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()
A．10π B．8π
C．6π D．9π
解析由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥所得，所以其体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，为：4π×3－×4π×3＝8π.
4．[2016·武汉模拟]已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A．10π＋96 B．9π＋96
C．8π＋96 D．9π＋80
解析图中所示的三视图对应的是一个由一个圆柱和一个正方体构成的简单组合体，其表面积为S＝6×4×4＋2π×1×4＝96＋8π.
5．[2016·银川模拟]已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝＝2，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π()2＝12π.
12π
考向几何体的表面积
例1(1)[2015·陕西高考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A．3π B．4π
C．2π＋4 D．3π＋4
[解析]由三视图知，该几何体为半圆柱，故其表面积为S侧＋S上底＋S下底＝(π＋2)×2＋π＝3π＋4.
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(2)[2015·安徽高考]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()
A．1＋ B．1＋2
C．2＋ D．2
[解析]由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，ABD与BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝.取BD的中点O，连接AO，CO，则AOCO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝，因此ABC与ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得SABC＝SACD＝，SABD＝SBCD＝1，所以四面体的表面积为2＋.
1．多面体的表面积的求法
求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、棱长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系．
2．旋转体的表面积的求法
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
【变式训练1】(1)若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()
A.π B．π＋
C.π＋ D.π＋
解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得．S＝×2×＋×π＋×2π×1＝π＋.
(2)[2016·烟台模拟]一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为()
A．48 B．48＋8
C．32＋8 D．80
解析观察三视图可知，该几何体为四棱柱，底面为梯形，两底边长分别为2,4，高为4，底面梯形的腰长为＝，棱柱的高为4.该几何体的表面积为×(2＋4)×4×2＋2××4＋2×4＋4×4＝48＋8.故选B.
考向几何体的体积空间几何体的体积计算是近几年高考考查空间几何体的一个重要考向，常与空间几何体的三视图、空间的平行、垂直关系等知识综合，主要以选择、填空题的形式出现.
命题角度1根据几何体的三视图计算体积
例2[2015·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()
A．8cm3 B．12cm3
C.cm3 D.cm3
[解析]由三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体，其中正方体与正四棱锥的底面边长为2cm，正四棱锥的高为2cm，则该几何体的体积V＝2×2×2＋×2×2×2＝(cm3)，故选C.
命题角度2根据几何体的直观图计算体积
例3[2014·课标全国卷]正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()
A．3 B.
C．1 D.
[解析]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AD⊥BC，AD⊥平面B1DC1，VA－B1DC1＝SB1DC1·AD＝××2××＝1，故选C.
由三视图求解几何体体积的解题策略
(1)以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．
(2)求几何体的体积时，若所给定几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解，若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等方法求解.
【变式训练2】(1)[2015·天津高考]一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析该几何体是一个组合体，中间是一个圆柱，左、右两侧是两个一样的圆锥，其体积为V＝2××π×12×1＋π×12×2＝(m3)．
(2)[2016·衡阳模拟]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为_____________．
解析三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以正方体ABCD－A1B1C1D1中EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF－DD1E＝××1＝.
考向与球有关的切、接问题
例4[2016·沈阳模拟]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，ABAC，AA1＝12，则球O的半径为()
A. B．2
C. D．3
[解析]如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.
又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.
延伸探究1本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，
从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，
V内切球＝πr3＝π×23＝.
延伸探究2本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.
延伸探究3本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？
解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
破解球的表面积和体积问题
(1)多面体的外接球和内切球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合原有多面体的特性求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．
(2)球的截面问题，首先需理解两个基本性质：球的任何一个截面都是圆面，球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面．然后利用性质解三角形求出球的半径.
【变式训练3】(1)[2015·课标全国卷]已知A，B是球O的球面上两点，AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()
A．36π B．64π
C．144π D．256π
解析由AOB面积确定，若三棱锥O－ABC的底面OAB的高最大，则其体积才最大．因为高最大为半径R，所以VO－ABC＝×R2×R＝36，解得R＝6，故S球＝4πR2＝144π.
(2)[2016·山西考前检测]已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．
解析如图，设球的半径为R，棱柱棱长为a，N，M分别是上、下底面的中心，由题意知，外接球球心O为MN的中点，则OA＝R.由4πR2＝7π，得OA＝R＝.易得AM＝a，OM＝a，在RtOAM中，由勾股定理，解得a＝，所以该三棱柱的体积为×()2×＝.
核心规律
1.表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积时，只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．求旋转体的表面积时，可以从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积.
2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高，利用公式计算.
满分策略
1.利用三视图求表面积和体积时，要正确的把它们还原成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算.
2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基本的简单几何体再求.
3.求几何体体积时注意运用割补法和等体积变换法.
题型技法系列15——破解切割棱柱体的三视图问题
一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()
A. B.
C. D.
[解析]由题意知该正方体截去了一个三棱锥，如图所示，设正方体棱长为a，则V正方体＝a3，V截去部分＝a3，故截去部分体积与剩余部分体积的比值为a3a3＝15.
[解题视点]根据三视图，还原几何体，先画出该棱柱在没有切割前完整的图形，然后去掉被切割下的三棱锥，结合图形利用体积公式破解．
答题启示从近年全国各地对于三视图知识的考查来看，所涉及的几何体往往是相对比较规则的，且多与长方体、直棱柱、圆锥及球密切相关.通常考查的不是这些简单的几何体，而是通过对这些简单的几何体的截或接所形成的几何体.处理这类问题时，应当熟悉规则的几何体的三视图，从而正确地还原几何体.
跟踪训练[2014·重庆高考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A．54 B．60
C．66 D．72
解析题中的几何体可看作是从直三棱柱ABC－A1B1C1中截去三棱锥E－A1B1C1后所剩余的部分(如图所示)，其中在直三棱柱ABC－A1B1C1中，ABAC，AB＝4，AC＝3，则BC＝5，ABC的面积等于×3×4＝6.AA1平面ABC，则直角梯形ABEA1的面积等于×(2＋5)×4＝14，矩形ACC1A1的面积等于3×5＝15.
过点E作EFAA1于点F，则EF＝AB＝4，A1F＝B1E＝BB1－BE＝3，则A1E＝5，所以A1C1E的面积等于×3×5＝，直角梯形BCC1E的面积等于×(2＋5)×5＝，因此题中的几何体的表面积为6＋14＋15＋＋＝60，选B.
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