板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第8章平面解析几何第8讲曲线与方程板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
[必备知识]
考点1曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做；这条曲线叫做方程的曲线．
曲线的方程
考点2求曲线方程的基本步骤
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()
2．方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()
3．到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()
4．方程y＝与x＝y2表示同一曲线．()
5．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线．()
6．ABC三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，BC边上的中线的方程是x＝0.()
√
×
×
×
×
×
二、小题快练
1．[课本改编]到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是()
A．椭圆B．AB所在的直线
C．线段ABD．无轨迹
解析|AB|＝5，到A、B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.
2．[课本改编]长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，则AB中点C的轨迹是()
A．线段B．圆
C．椭圆D．双曲线
解析设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则x＝，y＝，
即a＝2x，b＝2y.代入a2＋b2＝9，
得4x2＋4y2＝9，即x2＋y2＝.
3．[2015·沈阳模拟]已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()
A．双曲线B．双曲线的左支
C．一条射线D．双曲线的右支
解析根据双曲线的定义知动点P的轨迹类似双曲线，但不满足2c>2a>0的条件，故动点P的轨迹是一条射线．
4．[课本改编]平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若AB，则动点C的轨迹方程为________．
y2＝8x
解析A＝，B＝，
由AB，得A·B＝0，
即2x＋·＝0，
动点C的轨迹方程为y2＝8x.
5．若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为_____________．
x＋y－1＝0
解析当直线l1的斜率存在时，l2的斜率也存在，设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝－(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A，l2与y轴的交点为B，设AB的中点M的坐标为(x，y)，则有两式相加消去k，得x＋y＝1，即x＋y－1＝0，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0.
当直线l1(l2)的斜率不存在时，点M的坐标为，此点在直线x＋y－1＝0上．
综上，AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0.
考向定义法求轨迹方程
例1[2016·大庆模拟]已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
又|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2<|C1C2|＝6，|MC2|>|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.
又c＝3，则b2＝c2－a2＝8.
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
定义法求轨迹方程及其注意点
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
【变式训练1】如图，RtABC的顶点A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线的方程；
解(1)AB边的斜率kAB＝－，且ABBC，kCB＝，BC边所在直线的方程为y＝x－2.
(2)若点M为RtABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
解(2)在BC边所在直线的方程中，令y＝0，得x＝4，
C(4,0)，圆心M(1,0)，又|AM|＝3，
Rt△ABC外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)若动圆N过点P且与圆M相切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
解(3)圆N过点P(－1,0)，|PN|是圆N的半径．
由题意可知动圆N与圆M相内切，
|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3，
点N的轨迹是以点M(1,0)，P(－1,0)为焦点，长轴长为3的椭圆，a＝，c＝1，b＝＝，
点N的轨迹方程为＋＝1.
考向直接法的轨迹方程直接法求轨迹方程是求轨迹方程的一个重要方法，也是高考命题的一个热点内容，该部分大多数是以解答题的形式出现，考查求轨迹方程的方法，曲线与方程的定义，基本运算能力等.命题角度1利用动点满足的关系式求轨迹
例2在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足，·＝·，M点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
[解](1)设M(x，y)．
由已知得B(x，－3)，
又A(0，－1)，
所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，
＝(x，－2)．
再由题意可知(＋)·＝0，
即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0，
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
(2)P为曲线C上的动点，l为曲线C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
[解](2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，
因为y′＝x，所以l的斜率为x0，
因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即x0x－2y＋2y0－x＝0，
所以O点到l的距离d＝.
又y0＝x－2，
所以d＝＝≥2，
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
命题角度2无明确等量关系求轨迹方程
例3[2013·陕西高考]已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
[解](1)如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于点H，则点H是MN的中点，|O1M|＝，
又|O1A|＝，
＝，化简得y2＝8x(x≠0)．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，
动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的平分线，证明直线l过定点．
[解](2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，
x1x2＝，
因为x轴是PBQ的平分线，所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，
将，代入得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
k＝－b，此时Δ>0，
直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．
直接法求轨迹方程应注意的问题
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.
【变式训练2】[2016·合肥模拟]已知一条曲线C在y轴右侧，曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴的距离都等于1.
(1)求曲线C的方程；
解(1)由题意知，曲线C为抛物线(除去原点)，且F(1,0)为其焦点，所以p＝2，所以曲线C的方程为y2＝4x(x>0)．
(2)若过点M(－1,0)的直线l与曲线C有两个交点A，B，且FAFB，求直线l的斜率．
解(2)设直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为x＝ty－1，
由，得y2－4ty＋4＝0，
则Δ＝(－4t)2－4×4＝16(t2－1)>0，
，
由FAFB，得F·F＝0.
又F＝(x1－1，y1)，F＝(x2－1，y2)，
所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝0.
又x＝，所以式等价于＋y1y2－＋1＝0，
＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＝0，
把代入，整理得4t2＝8，t＝±，
易知t＝±满足16(t2－1)>0，所以直线l的斜率为±.
考向相关点法求轨迹方程
例4[2016·广州模拟]在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足P＝2M，动点M形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
[解](1)解法一：由P＝2M知点M为线段PD的中点．
设点M的坐标是(x，y)，则点P的坐标是(x,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4.
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
解法二：设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，
由P＝2M，得x0＝x，y0＝2y.
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4.
把x0＝x，y0＝2y代入方程，得x2＋4y2＝4.
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
(2)已知点E(1,0)，若A，B是曲线C上的两个动点，且满足EAEB，求E·B的取值范围．
[解](2)因为EAEB，所以E·E＝0.
所以E·B＝E·(E－E)＝E2.
设点A(x1，y1)，则＋y＝1，即y＝1－，
所以E·B＝E2＝(x1－1)2＋y＝x－2x1＋1＋1－＝x－2x1＋2＝2＋.
因为点A(x1，y1)在曲线C上，所以－2≤x1≤2.
所以≤2＋≤9.
所以E·B的取值范围为.
代入法(或相关点法)求轨迹方程的技巧
(1)动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹方程给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得点P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫相关点法，也称代入法．
(2)用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲线．求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题.
【变式训练3】[2016·宁夏石嘴山模拟]已知圆C方程为：x2＋y2＝4.
(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程；
解(1)当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，其距离为2满足题意，
若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
设圆心到此直线的距离为d，则2＝2，得d＝1，
1＝，k＝，
故所求直线方程为3x－4y＋5＝0，
综上所述，所求直线为3x－4y＋5＝0或x＝1；
(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量O＝O＋O，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．
解(2)设点M的坐标为(x0，y0)，(y0≠0)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐标是(0，y0)，
O＝O＋O，(x，y)＝(x0,2y0)，即x0＝x，y0＝，又x＋y＝4，x2＋＝4(y≠0)，
Q点的轨迹方程是＋＝1(y≠0)，
轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆，除去短轴端点．
考向参数法求轨迹方程
例5[2014·广东高考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
[解](1)由题意得c＝，e＝＝，a＝3，
b＝＝2，
椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
[解](2)当过P点的两条切线的斜率均存在时，不妨设为k1、k2，
则过P点的切线方程可设为y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋y0－kx0，
由消去y，有(4＋9k2)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，
Δ＝[18k(y0－kx0)]2－4(4＋9k2)×9[(y0－kx0)2－4]＝0，
整理得(9－x)k2＋2x0y0k－y＋4＝0，k1k2＝(x0≠±3)，
由已知得k1k2＝－1，＝－1，
x＋y＝13，即此时点P的轨迹方程为x＋y＝13(x0≠±3)．
当两条切线中有一条垂直于x轴时，此时两条切线方程应分别为x＝3，y＝2或x＝－3，y＝2或x＝3，y＝－2或x＝－3，y＝－2，P点坐标为(3,2)或(－3,2)或(3，－2)或(－3，－2)，均满足方程x＋y＝13(x0≠±3)．
综上所述，所求P点的轨迹方程为x＋y＝13.
如何利用参数法求轨迹方程
应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数，参数必须能刻画动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内在联系．如果需要，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后，即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程.
【变式训练4】过点M(－2,0)作直线l交双曲线x2－y2＝1于A，B两点，已知O＝O＋O.求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解(参数法)：设l的方程为y＝k(x＋2)，代入方程x2－y2＝1，得(1－k2)x2－4k2x－4k2－1＝0.
当k≠±1时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)
＝k(x1＋x2)＋4k
＝＋4k＝.
设P(x，y)，由O＝O＋O，
得(x，y)＝(x1＋x2，y1＋y2)＝.
∴
当k≠0时，÷③，得＝k.
将代入，得y＝，化简，
得x2－y2＋4x＝0，即(x＋2)2－y2＝4.
当k＝0时，点P坐标为(0,0)，满足，
当斜率不存在时，易知P(－4,0)满足方程，故所求轨迹方程为(x＋2)2－y2＝4，其轨迹为双曲线．
核心规律
求曲线轨迹方程的方法
(1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点间距离公式、点到直线距离公式等)进行整理、化简.
(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.
(3)代入法：也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x′，y′)的坐标，可先用x，y表示x′，y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程.
(4)参数法：先取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x、y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．常见的参数有角度、直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等.
满分策略
1.轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹方程只求出方程即可，求轨迹时，首先求出轨迹方程，然后说明轨迹的形状、位置、大小．若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的全面性.
2.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.
数学思想系列9——分类讨论思想在曲线与方程中的应用
[2015·沈阳模拟]已知抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.
(1)求抛物线与椭圆的方程；
[解](1)因为抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，
所以(－2)2＝4p，解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)，
即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c＝1.
又椭圆的离心率为，所以a＝2，可得b2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ(λ≠0)，试求Q的轨迹．
[解](2)设Q(x，y)，其中x[－2,2]，设P(x，y0)，
因为P为椭圆上一点，所以＋＝1，
解得y＝3－x2.由＝λ可得＝λ2，
故＝λ2.得x2＋λ2y2＝3，x[－2,2]．
当λ2＝，即λ＝时，
得y2＝12，点Q的轨迹方程为y＝±2，x[－2,2]，
此轨迹是两条平行于x轴的线段；
当λ2<，即0<λ<时，得到＋＝1.
此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x[－2,2]的部分；
当λ2>，即λ>时，得到＋＝1，
此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x[－2,2]的部分．
[解题视点]由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数分别为0时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确．
答题启示在探求轨迹的过程中，我们需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是说既不能多，也不能少，因此，在求得轨迹方程之后，要深入思考：?1?是否还遗漏了一些点，是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在；?2?在所求得的轨迹方程中，x，y的取值范围是否有什么限制条件.本题中对所求曲线范围的限制是根据已知的几何条件得出的.在这类问题中，如果是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；如果是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形.
跟踪训练已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
解(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)，即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
解(2)当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；
当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；
当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))；
当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．
(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．
[必会结论]
1．两个条件
(1)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在曲线上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
(2)“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．求轨迹问题常用的数学思想
(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．
(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．
(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．
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