板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第9章平面解析几何第1讲随机抽样板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法.
[必备知识]
考点1简单随机抽样
1.定义：设一个总体含有N个个体，从中抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
2.最常用的简单随机抽样的方法：.
3.抽签法与随机数表法的区别与联系
抽签法和随机数表法都是简单随机抽样的方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数表法除了适合总体和样本都较少的情况外，还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数表法能够快速地完成抽样.
逐个不放回地
都相等
抽签法和随机数表法
考点2系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
1.先将总体的N个个体.
2.确定，对编号进行，当是整数时，取k＝.
3.在第1段用确定第一个个体编号l(l≤k).
4.按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号，再加k得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本.
编号
分段间隔k
分段
简单随机抽样
(l＋k)
(l＋2k)
考点3分层抽样
1.定义：在抽样时，将总体分成的层，然后按照一定的，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.
2.分层抽样的应用范围：当总体是由的几个部分组成的，往往选用分层抽样.
[必会结论]
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的.
2.系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.
互不交叉
比例
差异明显
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.简单随机抽样是一种不放回抽样．()
2.简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()
3.系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()
4.要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．()
5.分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()
√
×
√
×
×
二、小题快练
1.[2015·四川高考]某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()
A.抽签法B．系统抽样法
C.分层抽样法D．随机数法
解析最合理的抽样方法是分层抽样法，选C项.
2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于()
A.9B．10
C.12D．13
解析分层抽样，抽样比是一个定值.
＝，n＝13.
3.为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是()
A.5,10,15,20,25B．2,4,8,16,32
C.1,2,3,4,5D．7,17,27,37,47
解析利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10.故选D.
4.[2015·宁夏模拟]某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是()
A.5B．7
C.11D．13
解析间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.
5.[2014·天津高考]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为45∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.
60
解析设应从一年级本科生中抽取x名学生，则＝，解得x＝60.
考向随机抽样方法
例1(1)下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有()
从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；
从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[解析]不满足样本的总体数较少的特点；不满足不放回抽取的特点；不满足逐个抽取的特点．
(2)福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为()
4954435482173793237887352096438426349164 5724550688770474476721763350258392120676 A．23 B．09
C．02D．17
[解析]从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.
应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
【变式训练1】(1)[2014·湖南高考]对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()
A.p1＝p2
C.p1＝p3
解析随机抽样包括：简单随机抽样，系统随机抽样和分层随机抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率相等.
(2)[2016·江西模拟]总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08B．07C．02D．01
解析由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01，选D项.
考向分层抽样
例2(1)[2015·北京高考]某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()
类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 A．90B．100
C.180D．300
[解析]由题意，总体中青年教师与老年教师的比例为＝.
设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，
即＝，解得x＝180.故选C.
(2)[2014·湖北高考]甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
1800
[解析]乙设备生产的产品总数为4800×＝1800件.
分层抽样的步骤
第一步：将总体按一定标准分层；
第二步：计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；第三步：在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).
【变式训练2】(1)[2014·重庆高考]某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()
A.100B．150
C.200D．250
解析由分层抽样的特点可知＝，解之得n＝100.
(2)[2016·德州模拟]某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人.
970
解析由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x人.
则x×＝97，解得x＝970.
考向系统抽样
例3[2016·大连调研]某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()
A.11B．12
C.13D．14
[解析]由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12.
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考点视频
延伸探究1本例中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是________.
144
解析在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144.
延伸探究2本例中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________.
28
解析因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，
所以抽样比应为2408＝301，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为＝28.
系统抽样的特点及抽样技巧
(1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.(2)系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行.
【变式训练3】(1)用系统抽样法(按等距离的规则)，要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160进行编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为125，则第一组中按此抽样方法确定的号码是()
A.7B．5
C.4D．3
解析设第一组确定的号码是x，则x＋(16－1)×8＝125，解得x＝5.
(2)[2016·嘉兴模拟]将参加夏令营的100名学生编号为001,002，…，100.先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是________.
7
解析因为样本容量为20，首个号码为003，
所以样本组距为100÷20＝5，所以对应的号码数为3＋5(x－1)＝5x－2，
由48≤5x－2≤81，得10≤x≤16.6，
即x＝10,11,12,13,14,15,16，共7个.
核心规律
1.简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距.
2.系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样.
3.分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.
满分策略
系统抽样和分层抽样中的注意事项
(1)系统抽样最大的特点是“等距”，利用此特点可以很方便地判断一种抽样方法是否是系统抽样.
(2)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.
创新交汇系列7——分层抽样与概率相结合问题
[2015·天津高考]设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
[解](1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
用所给编号列出所有可能的结果；
[解](2)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4)，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种.
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率.
[解]编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种，因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
[解题视点](1)根据分层抽样的方法按比例计算；(2)按照一定的顺序列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式求解即可.
答题启示分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向.这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误.
跟踪训练用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：
年级 相关人数 抽取人数 高一 99 x 高二 27 y 高三 18 2 (1)求x，y的值；
解(1)由题意可得＝＝，所以x＝11，y＝3.
(2)若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这2人都来自高二年级的概率.
解(2)记从高二年级抽取的3人为b1，b2，b3，从高三年级抽取的2人为c1，c2，则从这两个年级抽取的5人中选2人的所有等可能基本事件共有10个：(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b3，c1)，(b3，c2)，(c1，c2)，设所选的2人都来自高二年级为事件A，则A包含的基本事件有3个：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，则P(A)＝＝0.3，故所选的2人都来自高二年级的概率为0.3.
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