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1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
[必备知识]
考点1频率和概率
1．事件的分类
2．频率和概率
(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的nA
为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
次数
频率fn(A)
考点2事件的关系与运算
考点3概率的几个基本性质
1．概率的取值范围：.
2．必然事件的概率为.
3．不可能事件的概率为.
4．概率的加法公式
若事件A与事件B互斥，则P(AB)＝
5．对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件．P(AB)＝，P(A)＝
0≤P(A)≤1
1
0
P(A)＋P(B)．
1
1－P(B)．
[必会结论]
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．“下周六会下雨”是随机事件．()
2．事件发生的频率与概率是相同的．()
3．随机事件和随机试验是一回事．()
4．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()
5．两个事件的和事件是指两个事件同时发生．()
6．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()
×
√
×
√
×
√
二、小题快练
1．[2015·湖北高考]我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()
A．134石B．169石
C．338石D．1365石
解析根据样本估计总体，可得这批米内夹谷约为×1534≈169石．故选B.
2．[课本改编]把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()
A．对立事件B．不可能事件
C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件
解析显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．
3．[2016·吉安模拟]某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为()
A．0.95B．0.97
C．0.92D．0.08
4．[课本改编]一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()
A．至多有一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都不中靶
解析记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
5．[2016·温州十校联考]记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．
解析根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为.
考向事件的概念及判断
例1从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
[解]从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：3件全是正品；2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品．
(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．
(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；
(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．
[解](2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．
[解](3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．
事件间关系的判断方法
对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系.
【变式训练1】袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则：恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()
A．B．
C．D．
解析结合互斥事件与对立事件的定义进行判断．从3个白球，4个黑球的袋中任取3个球共有全是白球、2白1黑、1白2黑、全黑四种情况．中恰有1个白球，即1白2黑与3球全是白球互斥而不对立；中至少有1个白球，即1白2黑、2白1黑、3白与3球全是黑球是对立事件；至少有1个白球，即1白2黑、2白1黑、3白与至少有2个白球，即2白1黑、3白既不互斥又不对立；中至少有1个白球，即1白2黑、2白1黑、3白与至少有1个黑球，即1黑2白、2黑1白、3黑也既不互斥又不对立，故选B.
考向随机事件的概率与频率
例2[2015·陕西高考]随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
[解](1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
[技巧点拨]利用频率估计概率，在大量统计过程中将频率近似看成概率是估算概率的根本方法．
概率和频率的关系
概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.
【变式训练2】[2015·北京高考]某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
商品
顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
解(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
解(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
命题角度1互斥事件的概率
例3[2016·太原模拟]黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：
血型 A B AB O 该血型的人数所占的比例 28% 29% 8% 35%
已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：
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(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
[解](1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′D′，根据概率加法公式，得P(B′D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
[解](2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′C′，且P(A′C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
命题角度2对立事件的概率
例4现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．
(1)求C1被选中的概率；
[解](1)用M表示“C1恰被选中”这一事件．
从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
C1恰被选中有6个基本事件：
(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，
因而P(M)＝＝.
(2)求A1和B1不全被选中的概率．
[解](2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A1，B1全被选中”这一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以事件由两个基本事件组成，所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便.
【变式训练3】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
解(1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝AB∪C.
∵A、B、C两两互斥，
P(M)＝P(AB∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
解(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
P(N)＝1－P(AB)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
核心规律
1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
2.若某一事件包含的基本事件较多，而它的对立事件包含的基本事件较少，则可用“正难则反”思想求解.
满分策略
1.正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件.
2.需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.
3.正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式.
题型技法系列25——用正难则反思想求互斥事件的概率
某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
[解题视点]若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．
[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
答题启示在数学中，如果从正面思考较复杂，甚至无法解决的就考虑从反面去思考，对于求一个事件发生的概率，如果从正面较困难或较繁琐，就考虑求其对立事件概率，由互为对立事件的概率和为1而求解.
跟踪训练[2016·宁波模拟]一盒中装有各色球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1个球，求：
(1)取出1个球是红球或黑球的概率；
(2)取出1个球是红球，黑球或白球的概率．
解记事件A1＝{任取1个球为红球}；A2＝{任取1个球为黑球}；A3＝{任取1个球为白球}；A4＝{任取1个球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，
解法一：(利用互斥事件的概率公式求概率)
根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可知，
(1)取出1个球为红球或黑球的概率为P(A1A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1个球为红球，黑球或白球的概率为P(A1A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
解法二：(利用对立事件求概率的方法)
(1)由解法一知，取出1个球为红球或黑球的对立事件为取出1个球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4.所以取出1个球是红球或黑球的概率为P(A1A2)＝1－P(A3A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.
(2)A1A2∪A3的对立事件为A4，
所以P(A1A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
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