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板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第10章计数原理、概率、随机变量及分布列第6讲几何概型板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
[必备知识]
考点1几何概型
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
考点2几何概型的概率公式
P(A)＝.
长度(面积或体积)
[必会结论]
几种常见的几何概型
(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；
(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；
(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．在一个正方形区域内任取一点的概率是零.()
2．几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()
3．在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()
4．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()
5．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()
6．从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.()
×
√
√
√
√
×
二、小题快练
1．[课本改编]如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是()
A.B．π
C．2πD．3π
解析设阴影部分的面积为S1，圆的面积S＝π×32＝9π，由几何概型的概率计算公式得＝，得S1＝3π.
2．[2016·韶关调研]在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为()
A.B.
C. D.
解析区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x－1≥0的只有，长度为，P＝＝.
3．设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()
A.B.
C. D.
解析如图易知区域D是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为P＝＝.选D.
4.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_______________．
解析如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在yOT内的概率为＝.
5．[2016·济南一模]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．
解析设事件M＝“动点在三棱锥A－A1BD内”，
考向与长度有关的几何概型
例1[2015·山东高考]在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为()
A.B.
C. D.
[解析]由－1≤log≤1，得log2≤log≤log，所以≤x＋≤2，所以0≤x≤.由几何概型可知，事件发生的概率为＝.
求解与长度有关的几何概型的两点注意
(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比；
(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.
【变式训练1】[2016·辽宁模拟]在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()
A.B.
C. D.
解析设AC＝xcm(0
则CB＝12－x(cm)，
则矩形面积S＝x(12－x)＝12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得0
由几何概型概率公式，得概率为＝，故选C.
命题角度1与平面图形面积有关的问题
例2[2015·陕西高考]设复数z＝(x－1)＋yi(x，yR)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()
A.＋B.＋
C.－D.－
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考点视频
[解析]|z|＝≤1，
(x－1)2＋y2≤1，其几何意义表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆面，如图所示，而y≥x所表示的区域如图中阴影部分，故P＝＝－.
命题角度2与线性规划交汇的问题
例3[2015·广州一模]任取实数a，b[－1,1]，则a，b满足|a－2b|≤2的概率为()
A.B.
C. D.
[解析]如图所示，则事件|a－2b|≤2所表示的区域为图中的阴影部分所表示的区域，易知直线a－2b＝－2分别交直线a＝－1与y轴于点E，F(0,1)．所以|BE|＝，|BF|＝1.
所以SBEF＝|BE|·|BF|＝××1＝，
易得DHG≌△BEF.因此SDHG＝SBEF＝，
故阴影部分的面积
S＝S四边形ABCD－2SBEF＝22－2×＝.
由几何概型的概率公式可知，事件|a－2b|≤2的概率
P＝＝＝×＝，故选D.
命题角度3与定积分交汇的问题
例4[2015·福建高考]如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
[解析]依题意知点D的坐标为(1,4)，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影＝4－x2dx＝4－x3＝4－＝，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P＝＝.
求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
【变式训练2】(1)在满足不等式组的平面点集中随机取一点M(x0，y0)，设事件A为“y0<2x0”，那么事件A发生的概率是()
A.B.
C. D.
解析如图所示，不等式组表示的平面区域的面积S△ABC＝×(1＋3)×2＝4；
不等式组表示的平面区域的面积S△AOC＝×3×2＝3，因此所求的概率等于，选B.
(2)[2016·济南模拟]如图，已知抛物线y＝－x2＋1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在△AOB内的概率是________．
解析设抛物线y＝－x2＋1与x轴正半轴及y轴的正半轴所围成的区域的面积为S，则S＝(－x2＋1)dx＝＝，SAOB＝×1×1＝，故点P落在AOB内的概率是＝.
考向与体积有关的几何概型
例5在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()
A.B．1－
C.D．1－
[解析]正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝1－.
根据体积求几何概型的概率
确定随机事件所占有的体积和基本事件所占有的体积，求出它们的比值确定该几何概型的概率.
【变式训练3】已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，则点P满足V三棱锥P－ABC
解析设三棱锥P－ABC的高为h.由V三棱锥P－ABC
点P满足V三棱锥P－ABC
P＝1－＝.
考向与角度有关的几何概型
例6已知ABC中，ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为()
A.B.
C.D.
[解析]
如图，当BE＝1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF＝4时，BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，ABD为钝角三角形．所以ABD为钝角三角形的概率为＝.
与角度有关的几何概型的求解方法
(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为
P(A)＝.
(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算.
【变式训练4】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
解析因为在DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，区域H为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.
核心规律
几何概型中的转化思想
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可.
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型.
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.
满分策略
几何概型求解中的注意事项
(1)计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题.
(2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
(3)几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”“角度”“面积”“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.
数学思想系列11——转化与化归思想在几何概型中的应用
[2014·重庆高考]某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
[解题视点]先设出两人到校的时间，得到两变量满足的不等式组，再在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域，最后根据面积型几何概型求概率．
[解析]设小张和小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示．则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为×15×15＝，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)＝＝.
答题启示本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x，y，将已知转化为x，y所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点?x，y?的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型的几何概型问题求解.若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解.
跟踪训练[2016·海口调研]张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．
解析以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以
P(A)＝＝.
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