板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第10章计数原理、概率、随机变量及分布列第7讲离散型随机变量及分布列板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
[必备知识]
考点1离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为
考点2离散型随机变量的分布列及性质
1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的，简称为X的，有时为了表达简单，也用等式表示X的分布列．
随机变量
离散型随机变量．
概率分布列
分布列
P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
2．离散型随机变量的分布列的性质
(1)；
(2).
考点3常见离散型随机变量的分布列
1．两点分布
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X 0 1 P 1－p p ，其中p＝称为成功概率．
pi≥0(i＝1,2，…，n)
P(X＝1)
2．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝，且，称分布列为超几何分布列．
X 0 1 … m P …
min{M，n}
n≤N，M≤N，n，M，NN
[必会结论]
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()
2．离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()
3．在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()
4．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()
5．由下表给出的随机变量X的分布列服从二点分布．()
X 2 5 P 0.3 0.7 6.从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()
7．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．()
答案1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×
×
√
√
√
×
√
×
二、小题快练
1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()
A．ξ＝4B．ξ＝5
C．ξ＝6D．ξ≤5
解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2
A.B.
C.D.
解析P(2
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()
A．0B.
C. D.
解析P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X＝0)＝.
4．已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1 P 0.5 0.2 p 则E(X)＝()
A．0B．－0.2
C．－0.1D．－0.3
解析由题意知，0.5＋0.2＋p＝1，所以p＝0.3，E(X)＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2.
5．某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是()
A．P(X＝4)B．P(X≤4)
C．P(X＝6)D．P(X≤6)
解析X服从超几何分布，则＝P(X＝4)．
考向离散型随机变量分布列的性质
例1设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
[解]由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
m＝0.3.
首先列表为：
X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为：
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1|的分布列：
|X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3
延伸探究1本例条件不变，求P(1<2X＋1<9)．
解P(1<2X＋1<9)＝P(2X＋1＝3)＋P(2X＋1＝5)＋P(2X＋1＝7)＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.
延伸探究2本例条件不变，求随机变量η＝X2的分布列．
解依题意知：η的值为0,1,4,9,16.
P(η＝0)＝P(X2＝0)＝P(X＝0)＝0.2，
P(η＝1)＝P(X2＝1)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝4)＝P(X2＝4)＝P(X＝2)＝0.1，
P(η＝9)＝P(X2＝9)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝16)＝P(X2＝16)＝P(X＝4)＝0.3，
X2 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；
(2)若ξ为随机变量，则2ξ＋1，|ξ－1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.
【变式训练1】(1)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则常数a的值为________，P＝________.
解析随机变量ξ的分布列为
ξ 1 P a 2a 3a 4a 5a 由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
P＝P＋P＋P(ξ＝1)＝3a＋4a＋5a＝12a＝.
(2)随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
解析a，b，c成等差数列，2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，b＝，P(|ξ|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，
得0≤－d≤，0≤＋d≤，
所以－≤d≤，此即为公差d的取值范围．
命题角度1与互斥事件有关的分布列问题
例2[2015·安徽高考]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
[解](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
P(A)＝＝，
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X 200 300 400 P E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.
命题角度2与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列问题
例3[2014·安徽高考]甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
[解]用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)
＝2＋×2＋××2＝.
所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)·P(B3)P(B4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为
X 2 3 4 5 P E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
命题角度3与统计数表有关的分布列问题
例4[2013·课标全国卷]经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．
[解](1)当X[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，
当X[130,150]时，T＝500×130＝65000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T 45000 53000 61000 65000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.
求随机变量的分布列的三个步骤
(1)找：找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)，并确定ξ＝xi的意义．
(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)．
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.
【变式训练2】(1)[2016·广西模拟]一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
解设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
由题意随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列是
X 1 2 3 4 P
(2)[2015·衡水中学二模]根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示．
已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
该电子商务平台将年龄在[30,50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X(单位：元)的分布列与数学期望．
解由题意可知
解得a＝0.035，b＝0.025.
利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．
从该10人中抽取3人，此3人所获得代金券的总和为X(单位：元)，
则X的所有可能取值为150,200,250,300.
P(X＝150)＝＝，P(X＝200)＝＝，P(X＝250)＝＝，P(X＝300)＝＝.
X的分布列为
X 150 200 250 300 P E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝210.
考向超几何分布问题
例5[2015·天津高考]为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解](1)由已知，有P(A)＝＝.
所以，事件A发生的概率为.
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(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
所以，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 P 随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
1．超几何分布的两个特点
(1)超几何分布是不放回抽样问题．
(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的应用
超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型．
【变式训练3】[2015·赣州模拟]盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．
(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．
解(1)P＝1－＝.
(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3.
故P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 P
核心规律
离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.
(2)利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
满分策略
1.求离散型随机变量的分布列的关键，是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率.
2.在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解.
规范答题系列9——离散型随机变量分布列的答题技巧
[2015·四川高考]某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛．设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
[解题视点](1)先求对立事件“A中学没有学生入选代表队”的概率，然后利用对立事件的概率计算公式即可得解；(2)参赛的男生人数X的可能取值为1,2,3，分别求出X＝1,2,3的概率，由此求出X的分布列和数学期望．
[解](1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3 P 因此，X的数学期望为
E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝2.
[答题模板]
概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现，其解题的一般步骤为：
第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；
第二步：利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；
第三步：画出随机变量的分布列；
第四步：明确规范表述结论．
答题启示本题考查了古典概型的概率求法，准确分析出每一个随变量x的取值的对应事件，并计算其概率，根据分布列的特点检验后，利用期望公式求解.
跟踪训练[2014·重庆高考]一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．
(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)
解(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为
P＝＝.
(2)X的所有可能值为1,2,3，且
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 1 2 3 P 从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
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