板块一板块二板块三板块四高考一轮总复习·数学（理）高考一轮总复习·数学（理）选修4－1几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块三板块四高考一轮总复习·数学（理）
[必备知识]
考点1平行线等分线段定理
名称 条件 结论 定理 一组平行线在一条直线上截得的线段相等 在其他直线上截得的线段也 推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 第三边 推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 另一腰
相等
平分
平分
考点2平行线分线段成比例定理
1．定理：三条平行线截两条直线，所得的成比例．
2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段
考点3相似三角形的判定及性质
1．相似三角形的判定
(1)定义：对应角，对应边的两个三角形叫做相似三角形．
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)，所构成的三角形与原三角形
对应线段
成比例．
相等
成比例
相交
相似．
(3)判定
2．相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于
(2)相似三角形周长的比等于
(3)相似三角形面积的比等于相似比的
(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于，外接圆的面积比等于相似比的
考点4直角三角形的射影定理
定理：直角三角形斜边上的高是的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的
相似比．
相似比．
平方．
相似比
平方．
两直角边在斜边上射影
比例中项．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．梯形的中位线平行于两底，且等于两底和．()
2．若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．()
3．在ABC中，AD是BC边上的高，若AD2＝BD·CD，则A为直角．()
4．在直角三角形ABC中，ACBC，CDAD，D在AB边上，则BC2＝BD·AB.()
5．若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等．()
×
√
√
√
√
二、小题快练
1．[课本改编]如图，在ABC中，AED＝B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为()
A.B．7
C.D.
解析由已知条件AED＝B，A为公共角，所以ADE∽△ACB，则有＝，从而BC＝＝.
2．[课本改编]如图，在ABC中，ACB＝90°，CDAB于D，AC＝6，DB＝5，则AD的长为________．
4
解析设AD＝x，则有62＝x(x＋5)，x2＋5x－36＝0，解之得x＝4.
3．[课本改编]如图，F为ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．
8
解析由DF＝AD，ABCD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.
4．[2014·广东高考]如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.
3
解析EB＝2AE，AB＝3AE.
又四边形ABCD为平行四边形，
AB∥CD，AB＝CD，
CDF∽△AEF，＝＝＝3.
5．[2016·大庆模拟]如图所示，AD、CE是ABC的高，AD和CE相交于点F.求证：AF·FD＝CF·FE.
证明因为ADBC，CEAB，
所以AFE和CFD都是直角三角形．
又因为AFE＝CFD，所以RtAFE∽Rt△CFD.
所以AFFE＝CFFD.所以AF·FD＝CF·FE.
考向平行线截割定理及应用
例1[2016·正定模拟]如图，ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AHBE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．
[解]AH∥BE，＝.
AB＝4AF，＝.
HE＝8，HF＝2.
AH∥BE，＝.
D是AC的中点，＝1.
HE＝HD＋DE＝8，HD＝4.
DF＝HD－HF＝4－2＝2.
平行线分线段成比例定理的应用
对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理.
【变式训练1】如图所示，已知ABC中，AEEB＝13，BDDC＝21，AD与CE相交于F，求＋的值．
解过点D作DGAB交EC于G，
则＝＝＝，而＝，
即＝，
所以AE＝DG，
从而有AF＝DF，
EF＝FG＝CG，
故＋＝＋＝＋1＝.
考向相似三角形的判定与性质
例2如图，已知在ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：ABC∽△FCD；
(2)若SFCD＝5，BC＝10，求DE的长．
[解](1)证明：因为DEBC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以B＝BCE.又因为AD＝AC，所以ADC＝ACB.
所以ABC∽△FCD.
(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M.
因为ABC∽△FCD，BC＝2CD，
所以＝2＝4.
又因为SFCD＝5，所以SABC＝20.
因为SABC＝BC·AM，BC＝10，
所以20＝×10×AM，
所以AM＝4.
DE∥AM，＝＝，
DE＝AM＝×4＝.
证明相似三角形的一般思路
证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．对计算问题则要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理.
【变式训练2】如图，ABC中，BAC＝90°，ADBC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，求证：＝.
证明E是RtADC斜边AC的中点，
AE＝EC＝DE.
EDC＝ECD，又EDC＝BDF，
EDC＝C＝BDF.
又ADBC且BAC＝90°，
BAD＝C，BAD＝BDF，
DBF∽△ADF.∴＝.
又RtABD∽Rt△CBA，因此＝.＝.
考向射影定理的应用
例3如图，在RtABC中，BAC＝90°，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，试证明：
(1)AB·AC＝BC·AD；
(2)AD3＝BC·CF·BE.
[证明](1)在RtABC中，ADBC，
S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.
AB·AC＝BC·AD.
(2)Rt△ADB中，DEAB，由射影定理可得
BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，
BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.
又在RtBAC中，ADBC，AD2＝BD·DC，
AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.
即AD3＝BC·CF·BE.
射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似，但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用.
【变式训练3】如图，RtABC中，BAC＝90°，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F.
求证：EFDF＝BCAC.
证明BAC＝90°，且ADBC，
由射影定理得AC2＝CD·BC，
＝.
∵EF⊥BC，ADBC，EF∥AD，＝.
又BE平分ABC，且EAAB，EFBC，
AE＝EF，
＝.
由、得＝，即EFDF＝BCAC.
核心规律
证明三角形相似的方法
(1)判定三角形相似时，条件中若有一对角相等，可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例.
(2)条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或证明另外一组对应边的比等于已知两边的比.
(3)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等或两个三角形的底和腰的比对应相等.
满分策略
1.用添加平行辅助线的方法构造平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条件．特别是在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意线段与边对应.
2.在证明两个或两个以上的比例式相等时，需要找第三个比例式与它们都相等，可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论，也可以考虑用线段替换，由相等的传递性得出结论.
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