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| 选4-4-1 |
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板块一板块二板块三板块四高考一轮总复习·数学（理）高考一轮总复习·数学（理）选修4－4坐标系与参数方程第1讲坐标系板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块三板块四高考一轮总复习·数学（理）
1.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.2.能在极坐标系中求简单曲线?如过极点的直线、过极点的圆或圆心在极点的圆?的极坐标方程.
[必备知识]
考点1极坐标与直角坐标
1．极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做，自极点O引一条射线Ox，叫做；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．
2．点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对表示．
3．极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，射线Ox的正方向为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为
极点
极轴
(ρ，θ)
考点2常用简单曲线的极坐标方程
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．点P在曲线C上，则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程．()
2．tanθ＝1与θ＝表示同一条曲线．()
3．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.()
4．过极点，作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.()
5．圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.()
×
√
×
√
×
二、小题快练
1．[课本改编]在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程是()
A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθ
C．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝1
解析易知过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程是ρcosθ＝1.
2．[课本改编]在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()
A.B.
C．(1,0)D．(1，π)
解析解法一：由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
解法二：由ρ＝－2sinθ＝2cos知圆心的极坐标为，故选B.
3．[课本改编]设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为_____________．
y′＝3sin2x′
解析由知
代入y＝sinx中得y′＝3sin2x′.
4．[2015·北京高考]在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________．
1
解析点的直角坐标为(1，)，直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，所以点(1，)到直线的距离d＝＝1.
5．[2015·海南模拟]已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρR)，两曲线相交于A，B两点．
(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)求弦AB的长度．
解(1)曲线C2：θ＝(ρR)的直角坐标方程为y＝x.
曲线C1：ρ＝6cosθ，即ρ2＝6ρcosθ，
所以x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.
故曲线C1的直角坐标方程为(x－3)2＋y2＝9.
(2)因为圆C2的半径为r＝3，圆心(3,0)到直线y＝x的距离d＝，所以AB＝2＝3，所以弦AB的长度为3.
考向平面直角坐标系中的伸缩变换
例1在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.
[解]由伸缩变换得到()
(1)将()代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形方程是x′＋y′＝0.
因此，经过伸缩变换后，
直线2x＋3y＝0变成直线x′＋y′＝0.
(2)将()代入x2＋y2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝1.
因此，经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成椭圆＋＝1.
平面直角坐标系下图形的变换技巧
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆.
【变式训练1】求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．
考向极坐标与直角坐标的互化
例2[2015·江苏高考]已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
[解]以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为
ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6.
所以圆C的半径为.
直角坐标方程与极坐标方程互化的方法
直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.
【变式训练2】已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝25，曲线C′的极坐标方程为ρ＝4cosθ.试求曲线C和C′的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．
解由ρ2＝25得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝25，由ρ＝4cosθ得曲线C′的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，曲线C表示以点(0,0)为圆心，5为半径的圆；曲线C′表示以点(2,0)为圆心，2为半径的圆，两圆圆心距离为2，小于两圆的半径差5－2＝3，所以两圆的位置关系是内含．
考向极坐标方程及其应用
例3[2015·课标全国卷]在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρR)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积．
[解](1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.
极坐标方程及其应用的类型及解题策略
(1)求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程．
(2)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．
(3)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度.
【变式训练3】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(2)设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝1，θ1＝，
设Q(ρ2，θ2)，则由解得ρ2＝3，θ2＝，所以|PQ|＝2.
核心规律
如何解决极坐标问题
(1)解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐标化为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标.
(2)极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式：
.
(3)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称.
满分策略
极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正方向重合；取相同的长度单位.
(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
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