作业1
1、填空题:
1)的定义域为;
2)的定义域为;
3)设,则;
4)的周期为;
5)的反函数为。
2、设对任意实数,均有,且,证明:。
证明:取则有。两边平方得
3、判定下列函数的奇偶性
1)
解:因为
所以此函数为奇函数。
2)
解:当时,,;
当时,,;
所以此函数为奇函数。
4、设为定义在内的奇函数,若在内单调增加,证明:在内也点调增加。
证明:对于任给的,且,我们有,因为在内单调增加,所以。又因为为定义在内的奇函数,所以,即在内也点调增加。
5、设的定义域为,求函数的定义域。
解:的定义域为,的定义域为
当时,即时,的定义域为空集;
当时,即时,的定义域为
6、设,,求。
解:
作业2
1、观察下列数列的变化趋势,写出它们的极限:
1)
2)
3)
2、用数列极限定义证明
1)
证明:
取,当时,恒有
所以
2)
证明:,无妨设
取,当时,恒有
所以。
3、若,证明。并举例说明:如果数列有极限,但数列未必有极限。
证明:,因为,所以存在,当时,恒有
此时恒有
所以。
例:,但不存在。
4、设数列有界,又,证明:。
证明:因为有界,所以存在正数,对任给的有
对任给的,由于,一定存在,当时,恒有
此时恒有
(注意也可以取到任意下的正数)
因此。
5、设两个数列有相同的极限,求证:若,则。
证明:,
因为,所以存在,当时,恒有
又因为,所以存在,当时,恒有
取,当时
(注意也可以取到任意下的正数)
所以
作业3
1、根据函数极限的定义证明:
1)
证明:
取,当时,恒有
所以
2)
证明:
无妨设,则有
取,当时,恒有
所以
2、设,研究在处的左极限、右极限及当时的极限。
解:1)
,当时
取,当时,恒有
所以
2)
,当时
取,当时,恒有
所以
3)因为,所以。
3、证明:若及时,函数的极限都存在且都等于,则。
证明:
因为,所以存在,当时,恒有
又因为,所以存在,当时,恒有
取,则当时,恒有
所以。
4、试给出时函数的局部有界性定理,并加以证明。
解:如果,则存在和,当时,恒有。
下面给予证明。
取,因为,所以一定存在,当时,恒有
只需取,命题结论得证。
5、如果时,函数的极限存在。证明:的极限是唯一的。
证明:既要证明:如果数是函数当时的极限,则一定有。
假设。无妨设,取。因为,所以存在正数,当时有
又因为,因此存在正数,当时有
取,当时有
这是一个矛盾,从而证明成立。
作业4
1、根据无穷小的定义证明:
1)当时为无穷小
证明:
取,当时,恒有
所以当时为无穷小。
2)当时为无穷小
证明:
取,当时,恒有
所以当时为无穷小
2、根据无穷大的定义证明:当时为无穷大。
证明:对于任给的
取,当时,恒有
所以当时为无穷大。
3、利用无穷小的性质,说明当时为无穷小。
解:因为,利用性质:有界量与无穷小的积还是无穷小,我们有当时为无穷小。
4、设时,,(为有限数)。试证明下列各式:
1)
证明:对于任给,因为,所以存在,当时,
恒有
又因为,对于,一定存在,当时,恒有
取,当时
所以
2)
证明:因为,所以只需证明
类似1)中证明,可得为时的无穷大,由无穷大与无穷小的关系
时,为无穷小,又因为,利用极限的性质,是局
部有界的,因此也是局部有界的。根据无穷小与有界量的积还是无穷小,所以
。再利用极限与无穷小的关系有
5、函数在区间是否有界?当时,此函数是否为无穷大?为什么?
证明:1)在区间无界。
如果函数在区间上有界则存在正常数,使得对于任给的,都有,而我们只要取
,则有,这是一个矛盾,
所以函数在区间上无界。
2)当时,不是无穷大。
如果,即对于任意的正数,都存在,当时
都有。而当我们取时,则有
这是一个矛盾,所以时,不是无穷大。
作业5
1、求
解:原式
2、求
解:原式
3、求
解:原式
4、求
解:原式
5、求
解:因为,根据无穷小与有界量的积还是无穷小有
6、设,求的值。
解:
又因为,所以;
另一方面
所以。
7、设当时,。问
1)当时,是否必为无穷大?
解:不一定,例,但不是无穷大。
2)当时,有无可能?
解:有可能,例,但
作业6
1、填空
1)2)
3)4)
2、求下列极限
1)
解:原式
2)
解:原式
3)
解:原式
3、用极限存在准则证明:
证明:因为,,由夹逼准则,有。
4、求极限
解:因为
由夹逼准则
5、证明:数列的极限存在,并求出其极限。
证明:用单调有界准则证明极限存在。设此数列为,则有
显然,如果,则,由数学归
纳法,有。
又因为,此数列是单调增
的,所以此数列极限存在,我们设,则由可得
,解得。
第一章自测解答
1、选择题
1)设数列满足,则下列断言正确的是(D)
A、若发散,则必发散B、若无界,则必有界
C、若有界,则必为无穷小D、若为无穷小,则必无穷小
注意B、是错的。如
2)设数列的通项为,则当时,是(D)
A、无穷大量B、无穷小量C、有界变量D、无界变量
3)设对任意的,总有,且,则
(D)
A、存在且为零B、存在但不一定为零C、一定不存在D、不一定存在
例:取,,但不存在。
2、求下列极限
1)
解:原式
2)
解:此题要用洛必达法则计算。
3)
解:用夹逼准则计算,因为
所以
4)
解:原式
5)
解:原式
3、设,求的值。
解:,
4、已知当时,与是等价无穷小,求的值。
解:,。
5、求曲线的渐近线
解:,水平渐近线;
,铅直渐近线
无斜渐近线
6、证明:当时,变量是无界的,但不是无穷大。
解:1)如果当时,变量是有界,即存在,当时,。但我们取,显然,
这是一个矛盾,所以,当时,变量是无界的。
2)如果当时,变量是无穷大,即对于任给的(任意大),总存在,当时,恒有。但我们取,显然,
这也是一个矛盾,所以,当时,变量不是无穷大。
7、求函数
在区间内的间断点,并判定其类型。
解:是此函数在区间内的间断点。
,
所以,是第二类间断点;可去间断点。
作业7
1、求下列极限
1)
解:原式
2)
解:原式
3)
解:原式
4)
解:原式
5)
解:原式
2、当时,确定下列无穷小关于的阶数
1)
解:,所以,当时,关
于的阶数为。
2)
解:,所以,当时,关于的阶数为。
3、证明:若,且存在,则。
证明:
由,我们有,且存在,所以
。
作业8
1、求下列函数的间断点,并指出其类型
1)
解:,有两个间断点,其中,是可去间断点,当时,令,则在处连续;是无穷间断点。
2)
解:时此函数的跳跃间断点。
3)
解:此函数有两个间断点。是无穷间断点;因为,所以是跳跃间断点。
2、讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类型。
解:,是此函数的间断点,它们都是跳跃间断点。
3、确定的值,使函数。
解:当时,函数都是连续的,所以我们主要考虑处的连续性。
当时,此函数处处连续。
4、证明:若函数在点处连续且,则存在的某一个邻域,当
时,。
证明:因为函数在点处连续且,所以由极限的局
部保号性,存在存在的某一个邻域,当时,。
5、求下列极限
1)
解:原式
2)
解:原式
3)
解:原式
4)
解:原式
6、设:是定义在上的单调增函数,,存在。证明:
在点连续。
证明:设,如果
取,因为,所以存在,使得,当时有
当时,有,这与是定义在上的单调增函数矛盾;
如果
取,因为,所以存在,使得,当时有
当时,有,这与是定义在上的单调增函数矛盾。
所以,即在点连续。
7、证明:方程至少有一个正根,并且不超过。
证明:在闭区间上考虑函数,显然在上连续;
如果,就是满足要求的根;
如果,由零点定理,至少存在一点使得,就是满足要求的根。
8、设函数对于闭区间上任意两点恒有,其中为正常数,且,证明:至少存在一点,使得。
证明:对于任取的,,因为时,,我们只要取,当时一定有
所以,所以在上连续。
,因为时,,我们只要取,当时一定有
所以在处右连续,同理可证在处左连续,所以在上连续,又因为,由零点定理,至少存在一点,使得。
9、若在区间上连续,且存在,试证明是区间上的有界函数。
证明:因为存在,由极限的局部有界性,存在,当时有,
,又由在区间上连续,所以在区间上连续,由最
大值最小值定理,在区间上有界,即存在,对任给的有
。取,对任给的有
所以是区间上的有界函数。
作业8
1、求下列函数的间断点,并指出其类型
1)
解:,有两个间断点,其中,是可去间断点,当时,令,则在处连续;是无穷间断点。
2)
解:时此函数的跳跃间断点。
3)
解:此函数有两个间断点。是无穷间断点;因为,所以是跳跃间断点。
2、讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类型。
解:,是此函数的间断点,它们都是跳跃间断点。
3、确定的值,使函数。
解:当时,函数都是连续的,所以我们主要考虑处的连续性。
当时,此函数处处连续。
4、证明:若函数在点处连续且,则存在的某一个邻域,当
时,。
证明:因为函数在点处连续且,所以由极限的局
部保号性,存在存在的某一个邻域,当时,。
5、求下列极限
1)
解:原式
2)
解:原式
3)
解:原式
4)
解:原式
6、设:是定义在上的单调增函数,,存在。证明:
在点连续。
证明:设,如果
取,因为,所以存在,使得,当时有
当时,有,这与是定义在上的单调增函数矛盾;
如果
取,因为,所以存在,使得,当时有
当时,有,这与是定义在上的单调增函数矛盾。
所以,即在点连续。
7、证明:方程至少有一个正根,并且不超过。
证明:在闭区间上考虑函数,显然在上连续;
如果,就是满足要求的根;
如果,由零点定理,至少存在一点使得,就是满足要求的根。
8、设函数对于闭区间上任意两点恒有,其中为正常数,且,证明:至少存在一点,使得。
证明:对于任取的,,因为时,,我们只要取,当时一定有
所以,所以在上连续。
,因为时,,我们只要取,当时一定有
所以在处右连续,同理可证在处左连续,所以在上连续,又因为,由零点定理,至少存在一点,使得。
9、若在区间上连续,且存在,试证明是区间上的有界函数。
证明:因为存在,由极限的局部有界性,存在,当时有,
,又由在区间上连续,所以在区间上连续,由最
大值最小值定理,在区间上有界,即存在,对任给的有
。取,对任给的有
所以是区间上的有界函数。
作业9
1、填空题
1)且,则;
2)设,则;
3)设函数在点处可导,则,;
4)过定点且与曲线相切的直线方程为;
5),则,。
2、按导数的定义求函数在点出的导数。
解:
3、设函数,其中在处连续,求。
解:
因为在处连续,所以
上式。
4、设在处连续,且,求曲线在点处的切线方程。
解:因为在处连续,,又因为
,所以。
,其中
曲线在点处的切线方程为
5、为使函数在点处可导,常数应取何值。
解:1)由在处连续有
2)由在处可导有
所以。
6、证明函数在处连续,但不可导。
证明:因为
所以,即在处连续;
又因为,所以在处不可导。
作业10
1、填空题
1)若函数,则;
2)设曲线与都通过点,且在点处有公切线,
则,,;
3)若为可导函数,且,则,
;
4)设,则;
5)曲线在横坐标处的切线方程为,法线方程为。
2、求下列函数的导数
1)
解:
2)
解:
3)
解:
4)
解:
5)
解:
6)
解:
3、在下列各题中,设可导,求。
1)
解:
2)
解:
4、求下列函数的导数:
1)
解:
2)
解:
3)
解:
4)
解:
5)
解:
6)
解:
7)
解:
5、求函数的导数。
解:1)当时
2)当时
,因为,
所以在处不可导。
6、设,已知,求
解:令,则
所以
7、设互为反函数,可导,且,而
求。
解:令,当时,
作业11
1、填空题
1)设函数由方程确定,则
2)曲线上对应于处的法线方程是
3)设,其中可导,且,则
4)设,则
2、求下列方程所确定的隐函数的导数
1)
解:方程两边关于求导得:。
2)
解:方程两边关于求导得:。
3、求椭圆在点处的切线方程和法线方程。
解:两边关于求导得:。切线方程为:;法线方程:。
4、已知曲线方程为,求此曲线在所对应点处的切线方程。
解:两边关于求导得:
当时,,,所求切线方程为:
5、求下列函数的导数
1)
解:方法一、
方法二、两边取对数得
两边关于求导得:
2)
解:两边取对数得:
两边关于求导得:
6、求下列参数方程所确定函数的导数
1)
解:
2)
解:
7、求三叶玫瑰线上对应于点处的切线方程(直角坐标形式)。
解:,
当时,,
切线方程为:。
作业12
1、填空题
1)设函数由方程确定,则
2)曲线上对应于处的法线方程是
3)设,其中可导,且,则
4)设,则
2、求下列方程所确定的隐函数的导数
1)
解:方程两边关于求导得:。
2)
解:方程两边关于求导得:。
3、求椭圆在点处的切线方程和法线方程。
解:两边关于求导得:。切线方程为:;法线方程:。
4、已知曲线方程为,求此曲线在所对应点处的切线方程。
解:两边关于求导得:
当时,,,所求切线方程为:
5、求下列函数的导数
1)
解:方法一、
方法二、两边取对数得
两边关于求导得:
2)
解:两边取对数得:
两边关于求导得:
6、求下列参数方程所确定函数的导数
1)
解:
2)
解:
7、求三叶玫瑰线上对应于点处的切线方程(直角坐标形式)。
解:,
当时,,
切线方程为:。
作业13
1、填空题
1)设,则
2)设,
3)设,则
4)设二阶可导,且其一阶导数、二阶导数均不为零,其反函数为,则
5)已知函数由方程确定,则
2、求下列函数的二阶导数
1)
解:,
2)
解:,
3)
解:,
3、求下列函数的阶导数的一般表达式
1)
解:,
……
2)
解:
…………
4、求下列方程所确定的隐函数的二阶导数
1)
解:方程两边关于求导得:
2)
解:方程两边关于求导得:
5、求下列参数方程确定的函数的二阶导数
1)
解:
2)(其中存在且不为零)
解:
6、设且存在,是确定常数的值。
解:由存在可得存在且在处连续。由连续性有
所以。
由存在我们有,而
所以。
当时,,当时,。
所以
由存在我们有,而
所以。
作业14
1、填空题
1)设,则
2)设,
3)设,则
4)设二阶可导,且其一阶导数、二阶导数均不为零,其反函数为,则
5)已知函数由方程确定,则
2、求下列函数的二阶导数
1)
解:,
2)
解:,
3)
解:,
3、求下列函数的阶导数的一般表达式
1)
解:,
……
2)
解:
…………
4、求下列方程所确定的隐函数的二阶导数
1)
解:方程两边关于求导得:
2)
解:方程两边关于求导得:
5、求下列参数方程确定的函数的二阶导数
1)
解:
2)(其中存在且不为零)
解:
6、设且存在,是确定常数的值。
解:由存在可得存在且在处连续。由连续性有
所以。
由存在我们有,而
所以。
当时,,当时,。
所以
由存在我们有,而
所以。
作业15
1、求下列极限
1)
解:原式
2)
解:原式
3)
解:原式
4)
解:原式
5)
解:原式
6)
解:原式
7)
解:原式
2、已知有一阶连续的导数,且,求极限
解:
3、设在处二阶可导,求常数的值,使处可导,并求的值。
解:可导一定连续,由连续性有,因此极限一定存在,所以(因为可导一定连续)
4、设,是证明导函数在处连续。
证明:当时,
当时,
作业16
1、写出在处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式。
解:
2、写出带拉格朗日余项的阶麦克劳林公式。
解:
3、写出在处带皮亚诺余项的阶泰勒公式。
解:
4、利用泰勒公式计算下列极限
1)
解:因为
原式
2)
解:因为
原式
5、若在二阶可导,且最小值。求证:在内存在一点,使。
证明:设在处取得最小值,则(费马定理)。由泰勒公式,我们有,其中在之间,,当时,
其中在之间,所以。
作业17
1、填空题
1)设在上连续,在内可导,且在内除两点的导数为零外,其他各点的导数都为负值,则在上的最大值为。
2)设常数,函数在内有零点个。
3)函数的单调增区间是单调减区间是
4)设方程在区间上有唯一实根,则常数的取值范围是
。
2、确定下列函数的单调区间
1)
解:
+ 0 — 0 + 0 — ( ( ( ( 此函数的单调增区间为;单调减区间为
2)
解:
— 0 + ( ( 此函数的单调增区间为;单调减区间为
3、求下列函数的极值
1)
解:
当时,;当时,不存在。
+ 不存在 — 0 + ( 极大值 ( 极小值 ( 当时,函数取得极小值,极小值为;当时,函数取得极大值,
极大值为。
2)
解:,此函数不存在极值点。
4、求下列函数的最大值、最小值
1)
解:,解此方程得
当时,;当时,,当时,,所以函数
在上最大值为,最小值为。
2)
解:
当时,,当时,,所以函数在上的最大
值为,最小值为。
3)
解:,
可能取得最值的点只有
当或时,;当时,,当时,
当时,,所以函数在的最大值为,最小值
为。
5、证明下列不等式
1)当时,
证明:考虑函数,,当时,,所以当
时,是递减函数,对于有
2)当时,
证明:考虑函数,
当时,,所以,当时,,即
3)当,时,。
证明:设,,当时,。
,因为,函数在区间
上的最大值为,最小值为。所以当时有
6、设在上有二阶导数,且。试证明:方程在内有唯一的实根。
证明:1)唯一性。任取,对函数在区间上运用拉格朗日中值定理,至少存在一点使得
由于是任意取的,所以在上单调递减。如果在内有根也只能有唯一的实根。
2)存在性。只需找一点使得。无妨先取一点,对函数在区间上运用拉格朗日中值定理,至少存在一点使得
当时,即时,有,根据零点定理,当
时,在上至少有一个实根。
7、已知函数对一切满足方程,若在某一点处取得极值,试问它是极大值还是极小值?并证明之。
解:是极小值。由已知可得有二阶导数。若在某一点处取得极值,则有,因为函数对一切满足方程,所以(这是因为时,;当时,)。
8、试求内接于半径为的球的最大体积圆柱体的高。
解:设此圆柱体的高为,体积为,则
解得。所以,内接于半径为的球的最大体积圆柱体的高为。
9、已知在点的邻域内有定义,且,证明:当时,在处有极小值;当时,在处有极大值。
证明:1)当时,因为,由极限的保号性,存在的一个去心邻域内有,所以,在处有极小值。
2)当时,因为,由极限的保号性,存在的一个去心邻域内有,所以,在处有极大值。
作业18
1、填空题
1)若曲线的拐点为,则常数,。
2)曲线的渐近线方程为。
3)设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值
范围为。
4)曲线有个拐点。
2、计算下列函数图形的凹凸性及拐点
1)
解:
在区间函数下凸;在区间函数上凸,点是拐点。
2)
解:
在区间函数上凸;在区间函数下凸;在区间函数上图。点为拐点。
3、证明下列不等式
1)
证明:考虑函数,因为,当时,此曲
线是下凸的,所以,对任意的,及有
2)
证明:考虑函数,因为,当时,此曲线是
下凸的,所以,对任意的,及有
4、描绘向下列函数的图像
1)
解:①此函数定义域,既不是奇函数也不是偶函数,并且不是周期
函数
②判定函数的单调性和凹凸性
- - - 0 + - - 0 + + + + 此函数在区间单调递增;在区间上单调递减。在区间上上凸;在区间上下凸。
③求渐近线
因为,所以此曲线有水平渐近线,铅直渐近线
④作图
2)
解:①此函数定义域,是奇函数,但不是周期函数
②判定函数的单调性和凹凸性
,
+ 0 - - - 0 + - - - 0 + + + 此函数在区间单调递增;在区间上单调递减。在区间上上凸;在区间上下凸。
③求渐近线
因为,
所以此曲线有斜渐近线
④作图
5、设在点三阶可导,,,求证:点是
曲线的拐点。
证明:无妨设,根据导数的定义
由极限的保号性存在的去心邻域内有。当时,,所以;当时,,所以;根据拐点的定义,点是曲线的拐点。同理可证的情形。
作业18
1、填空题
1)若曲线的拐点为,则常数,。
2)曲线的渐近线方程为。
3)设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值
范围为。
4)曲线有个拐点。
2、计算下列函数图形的凹凸性及拐点
1)
解:
在区间函数下凸;在区间函数上凸,点是拐点。
2)
解:
在区间函数上凸;在区间函数下凸;在区间函数上图。点为拐点。
3、证明下列不等式
1)
证明:考虑函数,因为,当时,此曲
线是下凸的,所以,对任意的,及有
2)
证明:考虑函数,因为,当时,此曲线是
下凸的,所以,对任意的,及有
4、描绘向下列函数的图像
1)
解:①此函数定义域,既不是奇函数也不是偶函数,并且不是周期
函数
②判定函数的单调性和凹凸性
- - - 0 + - - 0 + + + + 此函数在区间单调递增;在区间上单调递减。在区间上上凸;在区间上下凸。
③求渐近线
因为,所以此曲线有水平渐近线,铅直渐近线
④作图
2)
解:①此函数定义域,是奇函数,但不是周期函数
②判定函数的单调性和凹凸性
,
+ 0 - - - 0 + - - - 0 + + + 此函数在区间单调递增;在区间上单调递减。在区间上上凸;在区间上下凸。
③求渐近线
因为,
所以此曲线有斜渐近线
④作图
5、设在点三阶可导,,,求证:点是
曲线的拐点。
证明:无妨设,根据导数的定义
由极限的保号性存在的去心邻域内有。当时,,所以;当时,,所以;根据拐点的定义,点是曲线的拐点。同理可证的情形。
第二章自测题
1、填空题
1)设周期函数在上可导,周期为4,且满足条件
则曲线在点处的切线斜率为。
2)设,则。
3)设曲线在点处的切线与轴相交于点,则
。
4)设函数由方程所确定,则曲线在点处
的法线方程为。
5)若曲线拐点的横坐标为,则。
2、已知,其中,具有连续二阶导数,且。
1)求常数的值,使在处连续;
2)求。
解:1)
2)当时,
当时,
3、设在的一个邻域内具有二阶导数,且
1)求和;2)
解:1)因为
,
所以
2)
4、求下列导数
1)设,求
解:
2)设函数由所确定,求
解:利用一阶微分的不变性计算,方程组两边微分得
,当时,利用原方程可得或,
或。
5、设在区间上连续,在上可导,证明:在内至少存在一点使
证明:在区间上对函数运用拉格朗日中值定理,在内至少存在一点使得
即
6、讨论方程的实根的个数。
解:设,讨论在定义域内的单调性
,当时递减;当时,递增。
实际上,是最大值。
1)当时,,方程只有一个零点;
2)当时,,方程无解;
3)当时,,方程有两个解
7、设在上具有二阶导数,,其中都是非负常数,是内任一点。证明:。
证明:利用泰勒公式
(1)
(2)
得
作业20
1、利用定积分的几何意义,填写下列定积分的值
1)。
2)。
3)。
4)。
2、比较下列各组定积分的大小(填写不等号)
1);
2);
3)。
3、利用定积分定义计算
解:
4、将极限表示成定积分。
解:
5、估计定积分的值
解:在上,所以
6、利用定积分的性质求下列极限
1)
解:利用积分中值定理,至少存在一点使得
2)
解:利用积分中值定理,至少存在一点使得
。
作业21
1、计算下列各导数
1)。
2)。
3)。
4)。
2、计算下列定积分
1)。
2)。
3)。
4)设,则。
3、求下列极限
1)
解:原式
2)
解:原式
4、设,求在上的表达式,并讨论在上的连续性。
解:当时,
当时,
,在上连续。
5、设在内连续,在内可导,且。证明:函数
在内满足
证明:对于任意的
利用积分中值定理,至少存在一点使得
在区间上对函数运用拉格朗日中值定理,至少存在一点
使得
所以
6、设在内连续,且,记,求证:
1);2)方程在内有且仅有一个根。
证明:1)
2)唯一性:因为,所以在内单调增加,方程在
只能有一个根。
存在性:,,由零点定理,
方程在必有一个根。
作业22
1、填空题
1)设是连续函数,则;;
;。
2)设是的两个不同的原函数,且,则
。
3)若的导数为,则的所有的原函数为。
2、演算下列不定积分,并填上答案:
1)。
2)。
3)。
4)。
5)。
3、计算下列不定积分
1)
解:原式
2)
解:原式
3)
解:原式
当时,
当时,
4)
解:原式
4、计算下列定积分
1)
解:原式
2)设,求。
解:
5、计算下列各题
1)已知是的一个原函数,求。
解:
2)已知的一个原函数为,求。
解:
而
所以。
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