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高数上习题答案
2017-02-13 | 阅:  转:  |  分享 
  
作业1

1、填空题:

1)的定义域为;

2)的定义域为;

3)设,则;

4)的周期为;

5)的反函数为。

2、设对任意实数,均有,且,证明:。

证明:取则有。两边平方得





3、判定下列函数的奇偶性

1)

解:因为



所以此函数为奇函数。

2)

解:当时,,;

当时,,;

所以此函数为奇函数。

4、设为定义在内的奇函数,若在内单调增加,证明:在内也点调增加。

证明:对于任给的,且,我们有,因为在内单调增加,所以。又因为为定义在内的奇函数,所以,即在内也点调增加。

5、设的定义域为,求函数的定义域。

解:的定义域为,的定义域为

当时,即时,的定义域为空集;

当时,即时,的定义域为

6、设,,求。

解:

作业2

1、观察下列数列的变化趋势,写出它们的极限:

1)

2)

3)

2、用数列极限定义证明

1)

证明:



取,当时,恒有

所以

2)

证明:,无妨设



取,当时,恒有

所以。

3、若,证明。并举例说明:如果数列有极限,但数列未必有极限。

证明:,因为,所以存在,当时,恒有



此时恒有



所以。

例:,但不存在。

4、设数列有界,又,证明:。

证明:因为有界,所以存在正数,对任给的有



对任给的,由于,一定存在,当时,恒有



此时恒有



(注意也可以取到任意下的正数)

因此。

5、设两个数列有相同的极限,求证:若,则。

证明:,

因为,所以存在,当时,恒有



又因为,所以存在,当时,恒有



取,当时



(注意也可以取到任意下的正数)



所以

作业3

1、根据函数极限的定义证明:

1)

证明:



取,当时,恒有

所以

2)

证明:



无妨设,则有



取,当时,恒有

所以

2、设,研究在处的左极限、右极限及当时的极限。

解:1)

,当时



取,当时,恒有



所以

2)

,当时



取,当时,恒有



所以

3)因为,所以。

3、证明:若及时,函数的极限都存在且都等于,则。

证明:

因为,所以存在,当时,恒有



又因为,所以存在,当时,恒有



取,则当时,恒有



所以。

4、试给出时函数的局部有界性定理,并加以证明。

解:如果,则存在和,当时,恒有。

下面给予证明。

取,因为,所以一定存在,当时,恒有





只需取,命题结论得证。

5、如果时,函数的极限存在。证明:的极限是唯一的。

证明:既要证明:如果数是函数当时的极限,则一定有。

假设。无妨设,取。因为,所以存在正数,当时有



又因为,因此存在正数,当时有



取,当时有



这是一个矛盾,从而证明成立。



作业4

1、根据无穷小的定义证明:

1)当时为无穷小

证明:



取,当时,恒有

所以当时为无穷小。

2)当时为无穷小

证明:



取,当时,恒有

所以当时为无穷小

2、根据无穷大的定义证明:当时为无穷大。

证明:对于任给的



取,当时,恒有

所以当时为无穷大。

3、利用无穷小的性质,说明当时为无穷小。

解:因为,利用性质:有界量与无穷小的积还是无穷小,我们有当时为无穷小。

4、设时,,(为有限数)。试证明下列各式:

1)

证明:对于任给,因为,所以存在,当时,

恒有

又因为,对于,一定存在,当时,恒有



取,当时



所以

2)

证明:因为,所以只需证明

类似1)中证明,可得为时的无穷大,由无穷大与无穷小的关系

时,为无穷小,又因为,利用极限的性质,是局

部有界的,因此也是局部有界的。根据无穷小与有界量的积还是无穷小,所以

。再利用极限与无穷小的关系有

5、函数在区间是否有界?当时,此函数是否为无穷大?为什么?

证明:1)在区间无界。

如果函数在区间上有界则存在正常数,使得对于任给的,都有,而我们只要取

,则有,这是一个矛盾,

所以函数在区间上无界。

2)当时,不是无穷大。

如果,即对于任意的正数,都存在,当时

都有。而当我们取时,则有

这是一个矛盾,所以时,不是无穷大。

作业5

1、求

解:原式

2、求

解:原式

3、求

解:原式

4、求

解:原式

5、求

解:因为,根据无穷小与有界量的积还是无穷小有



6、设,求的值。

解:





又因为,所以;



另一方面





所以。

7、设当时,。问

1)当时,是否必为无穷大?

解:不一定,例,但不是无穷大。

2)当时,有无可能?

解:有可能,例,但



作业6

1、填空

1)2)

3)4)

2、求下列极限

1)

解:原式

2)

解:原式

3)

解:原式

3、用极限存在准则证明:

证明:因为,,由夹逼准则,有。

4、求极限

解:因为



由夹逼准则

5、证明:数列的极限存在,并求出其极限。

证明:用单调有界准则证明极限存在。设此数列为,则有

显然,如果,则,由数学归

纳法,有。

又因为,此数列是单调增

的,所以此数列极限存在,我们设,则由可得

,解得。

第一章自测解答

1、选择题

1)设数列满足,则下列断言正确的是(D)

A、若发散,则必发散B、若无界,则必有界

C、若有界,则必为无穷小D、若为无穷小,则必无穷小

注意B、是错的。如

2)设数列的通项为,则当时,是(D)

A、无穷大量B、无穷小量C、有界变量D、无界变量

3)设对任意的,总有,且,则

(D)

A、存在且为零B、存在但不一定为零C、一定不存在D、不一定存在

例:取,,但不存在。

2、求下列极限

1)

解:原式

2)

解:此题要用洛必达法则计算。

3)

解:用夹逼准则计算,因为





所以

4)

解:原式

5)

解:原式

3、设,求的值。

解:,

4、已知当时,与是等价无穷小,求的值。

解:,。

5、求曲线的渐近线

解:,水平渐近线;

,铅直渐近线

无斜渐近线

6、证明:当时,变量是无界的,但不是无穷大。

解:1)如果当时,变量是有界,即存在,当时,。但我们取,显然,



这是一个矛盾,所以,当时,变量是无界的。

2)如果当时,变量是无穷大,即对于任给的(任意大),总存在,当时,恒有。但我们取,显然,



这也是一个矛盾,所以,当时,变量不是无穷大。

7、求函数



在区间内的间断点,并判定其类型。

解:是此函数在区间内的间断点。







所以,是第二类间断点;可去间断点。

作业7

1、求下列极限

1)

解:原式

2)

解:原式

3)

解:原式

4)

解:原式

5)

解:原式

2、当时,确定下列无穷小关于的阶数

1)

解:,所以,当时,关

于的阶数为。

2)

解:,所以,当时,关于的阶数为。

3、证明:若,且存在,则。

证明:

由,我们有,且存在,所以



作业8

1、求下列函数的间断点,并指出其类型

1)

解:,有两个间断点,其中,是可去间断点,当时,令,则在处连续;是无穷间断点。

2)

解:时此函数的跳跃间断点。

3)

解:此函数有两个间断点。是无穷间断点;因为,所以是跳跃间断点。

2、讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类型。

解:,是此函数的间断点,它们都是跳跃间断点。

3、确定的值,使函数。

解:当时,函数都是连续的,所以我们主要考虑处的连续性。







当时,此函数处处连续。

4、证明:若函数在点处连续且,则存在的某一个邻域,当

时,。

证明:因为函数在点处连续且,所以由极限的局

部保号性,存在存在的某一个邻域,当时,。

5、求下列极限

1)

解:原式

2)

解:原式

3)

解:原式

4)

解:原式



6、设:是定义在上的单调增函数,,存在。证明:

在点连续。

证明:设,如果

取,因为,所以存在,使得,当时有





当时,有,这与是定义在上的单调增函数矛盾;

如果

取,因为,所以存在,使得,当时有





当时,有,这与是定义在上的单调增函数矛盾。

所以,即在点连续。

7、证明:方程至少有一个正根,并且不超过。

证明:在闭区间上考虑函数,显然在上连续;

如果,就是满足要求的根;

如果,由零点定理,至少存在一点使得,就是满足要求的根。

8、设函数对于闭区间上任意两点恒有,其中为正常数,且,证明:至少存在一点,使得。

证明:对于任取的,,因为时,,我们只要取,当时一定有



所以,所以在上连续。

,因为时,,我们只要取,当时一定有



所以在处右连续,同理可证在处左连续,所以在上连续,又因为,由零点定理,至少存在一点,使得。

9、若在区间上连续,且存在,试证明是区间上的有界函数。

证明:因为存在,由极限的局部有界性,存在,当时有,

,又由在区间上连续,所以在区间上连续,由最

大值最小值定理,在区间上有界,即存在,对任给的有

。取,对任给的有



所以是区间上的有界函数。

作业8

1、求下列函数的间断点,并指出其类型

1)

解:,有两个间断点,其中,是可去间断点,当时,令,则在处连续;是无穷间断点。

2)

解:时此函数的跳跃间断点。

3)

解:此函数有两个间断点。是无穷间断点;因为,所以是跳跃间断点。

2、讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类型。

解:,是此函数的间断点,它们都是跳跃间断点。

3、确定的值,使函数。

解:当时,函数都是连续的,所以我们主要考虑处的连续性。







当时,此函数处处连续。

4、证明:若函数在点处连续且,则存在的某一个邻域,当

时,。

证明:因为函数在点处连续且,所以由极限的局

部保号性,存在存在的某一个邻域,当时,。

5、求下列极限

1)

解:原式

2)

解:原式

3)

解:原式

4)

解:原式



6、设:是定义在上的单调增函数,,存在。证明:

在点连续。

证明:设,如果

取,因为,所以存在,使得,当时有





当时,有,这与是定义在上的单调增函数矛盾;

如果

取,因为,所以存在,使得,当时有





当时,有,这与是定义在上的单调增函数矛盾。

所以,即在点连续。

7、证明:方程至少有一个正根,并且不超过。

证明:在闭区间上考虑函数,显然在上连续;

如果,就是满足要求的根;

如果,由零点定理,至少存在一点使得,就是满足要求的根。

8、设函数对于闭区间上任意两点恒有,其中为正常数,且,证明:至少存在一点,使得。

证明:对于任取的,,因为时,,我们只要取,当时一定有



所以,所以在上连续。

,因为时,,我们只要取,当时一定有



所以在处右连续,同理可证在处左连续,所以在上连续,又因为,由零点定理,至少存在一点,使得。

9、若在区间上连续,且存在,试证明是区间上的有界函数。

证明:因为存在,由极限的局部有界性,存在,当时有,

,又由在区间上连续,所以在区间上连续,由最

大值最小值定理,在区间上有界,即存在,对任给的有

。取,对任给的有



所以是区间上的有界函数。



作业9

1、填空题

1)且,则;

2)设,则;

3)设函数在点处可导,则,;

4)过定点且与曲线相切的直线方程为;

5),则,。

2、按导数的定义求函数在点出的导数。

解:



3、设函数,其中在处连续,求。

解:

因为在处连续,所以

上式。

4、设在处连续,且,求曲线在点处的切线方程。

解:因为在处连续,,又因为

,所以。

,其中

曲线在点处的切线方程为

5、为使函数在点处可导,常数应取何值。

解:1)由在处连续有



2)由在处可导有





所以。

6、证明函数在处连续,但不可导。

证明:因为

所以,即在处连续;

又因为,所以在处不可导。

作业10

1、填空题

1)若函数,则;

2)设曲线与都通过点,且在点处有公切线,

则,,;

3)若为可导函数,且,则,



4)设,则;

5)曲线在横坐标处的切线方程为,法线方程为。

2、求下列函数的导数

1)

解:

2)

解:

3)

解:

4)

解:

5)

解:

6)

解:

3、在下列各题中,设可导,求。

1)

解:

2)

解:

4、求下列函数的导数:

1)

解:

2)

解:

3)

解:

4)

解:

5)

解:

6)

解:

7)

解:

5、求函数的导数。

解:1)当时



2)当时

,因为,

所以在处不可导。

6、设,已知,求

解:令,则





所以

7、设互为反函数,可导,且,而



求。

解:令,当时,





作业11

1、填空题

1)设函数由方程确定,则

2)曲线上对应于处的法线方程是

3)设,其中可导,且,则

4)设,则



2、求下列方程所确定的隐函数的导数

1)

解:方程两边关于求导得:。

2)

解:方程两边关于求导得:。



3、求椭圆在点处的切线方程和法线方程。

解:两边关于求导得:。切线方程为:;法线方程:。

4、已知曲线方程为,求此曲线在所对应点处的切线方程。

解:两边关于求导得:

当时,,,所求切线方程为:

5、求下列函数的导数

1)

解:方法一、

方法二、两边取对数得



两边关于求导得:



2)

解:两边取对数得:



两边关于求导得:



6、求下列参数方程所确定函数的导数

1)

解:

2)

解:

7、求三叶玫瑰线上对应于点处的切线方程(直角坐标形式)。

解:,

当时,,

切线方程为:。

作业12

1、填空题

1)设函数由方程确定,则

2)曲线上对应于处的法线方程是

3)设,其中可导,且,则

4)设,则



2、求下列方程所确定的隐函数的导数

1)

解:方程两边关于求导得:。

2)

解:方程两边关于求导得:。



3、求椭圆在点处的切线方程和法线方程。

解:两边关于求导得:。切线方程为:;法线方程:。

4、已知曲线方程为,求此曲线在所对应点处的切线方程。

解:两边关于求导得:

当时,,,所求切线方程为:

5、求下列函数的导数

1)

解:方法一、

方法二、两边取对数得



两边关于求导得:



2)

解:两边取对数得:



两边关于求导得:



6、求下列参数方程所确定函数的导数

1)

解:

2)

解:

7、求三叶玫瑰线上对应于点处的切线方程(直角坐标形式)。

解:,

当时,,

切线方程为:。

作业13

1、填空题

1)设,则

2)设,

3)设,则

4)设二阶可导,且其一阶导数、二阶导数均不为零,其反函数为,则



5)已知函数由方程确定,则

2、求下列函数的二阶导数

1)

解:,

2)

解:,



3)

解:,

3、求下列函数的阶导数的一般表达式

1)

解:,

……



2)

解:





…………



4、求下列方程所确定的隐函数的二阶导数

1)

解:方程两边关于求导得:





2)

解:方程两边关于求导得:



5、求下列参数方程确定的函数的二阶导数

1)

解:



2)(其中存在且不为零)

解:



6、设且存在,是确定常数的值。

解:由存在可得存在且在处连续。由连续性有



所以。

由存在我们有,而





所以。

当时,,当时,。

所以

由存在我们有,而





所以。

作业14

1、填空题

1)设,则

2)设,

3)设,则

4)设二阶可导,且其一阶导数、二阶导数均不为零,其反函数为,则



5)已知函数由方程确定,则

2、求下列函数的二阶导数

1)

解:,

2)

解:,



3)

解:,

3、求下列函数的阶导数的一般表达式

1)

解:,

……



2)

解:





…………



4、求下列方程所确定的隐函数的二阶导数

1)

解:方程两边关于求导得:





2)

解:方程两边关于求导得:



5、求下列参数方程确定的函数的二阶导数

1)

解:



2)(其中存在且不为零)

解:



6、设且存在,是确定常数的值。

解:由存在可得存在且在处连续。由连续性有



所以。

由存在我们有,而





所以。

当时,,当时,。

所以

由存在我们有,而





所以。

作业15

1、求下列极限

1)

解:原式

2)

解:原式

3)

解:原式

4)

解:原式



5)

解:原式

6)

解:原式



7)

解:原式

2、已知有一阶连续的导数,且,求极限

解:

3、设在处二阶可导,求常数的值,使处可导,并求的值。

解:可导一定连续,由连续性有,因此极限一定存在,所以(因为可导一定连续)







4、设,是证明导函数在处连续。

证明:当时,

当时,





作业16

1、写出在处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式。

解:





2、写出带拉格朗日余项的阶麦克劳林公式。

解:





3、写出在处带皮亚诺余项的阶泰勒公式。

解:





4、利用泰勒公式计算下列极限

1)

解:因为



原式

2)

解:因为

原式

5、若在二阶可导,且最小值。求证:在内存在一点,使。

证明:设在处取得最小值,则(费马定理)。由泰勒公式,我们有,其中在之间,,当时,

其中在之间,所以。

作业17

1、填空题

1)设在上连续,在内可导,且在内除两点的导数为零外,其他各点的导数都为负值,则在上的最大值为。

2)设常数,函数在内有零点个。

3)函数的单调增区间是单调减区间是

4)设方程在区间上有唯一实根,则常数的取值范围是



2、确定下列函数的单调区间

1)

解:

+ 0 — 0 + 0 — ( ( ( ( 此函数的单调增区间为;单调减区间为

2)

解:

— 0 + ( ( 此函数的单调增区间为;单调减区间为

3、求下列函数的极值

1)

解:

当时,;当时,不存在。

+ 不存在 — 0 + ( 极大值 ( 极小值 ( 当时,函数取得极小值,极小值为;当时,函数取得极大值,

极大值为。

2)

解:,此函数不存在极值点。

4、求下列函数的最大值、最小值

1)

解:,解此方程得

当时,;当时,,当时,,所以函数

在上最大值为,最小值为。

2)

解:

当时,,当时,,所以函数在上的最大

值为,最小值为。

3)

解:,

可能取得最值的点只有

当或时,;当时,,当时,

当时,,所以函数在的最大值为,最小值

为。

5、证明下列不等式

1)当时,

证明:考虑函数,,当时,,所以当

时,是递减函数,对于有



2)当时,

证明:考虑函数,

当时,,所以,当时,,即



3)当,时,。

证明:设,,当时,。

,因为,函数在区间

上的最大值为,最小值为。所以当时有



6、设在上有二阶导数,且。试证明:方程在内有唯一的实根。

证明:1)唯一性。任取,对函数在区间上运用拉格朗日中值定理,至少存在一点使得



由于是任意取的,所以在上单调递减。如果在内有根也只能有唯一的实根。

2)存在性。只需找一点使得。无妨先取一点,对函数在区间上运用拉格朗日中值定理,至少存在一点使得



当时,即时,有,根据零点定理,当

时,在上至少有一个实根。

7、已知函数对一切满足方程,若在某一点处取得极值,试问它是极大值还是极小值?并证明之。

解:是极小值。由已知可得有二阶导数。若在某一点处取得极值,则有,因为函数对一切满足方程,所以(这是因为时,;当时,)。

8、试求内接于半径为的球的最大体积圆柱体的高。

解:设此圆柱体的高为,体积为,则





解得。所以,内接于半径为的球的最大体积圆柱体的高为。

9、已知在点的邻域内有定义,且,证明:当时,在处有极小值;当时,在处有极大值。

证明:1)当时,因为,由极限的保号性,存在的一个去心邻域内有,所以,在处有极小值。

2)当时,因为,由极限的保号性,存在的一个去心邻域内有,所以,在处有极大值。

作业18

1、填空题

1)若曲线的拐点为,则常数,。

2)曲线的渐近线方程为。

3)设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值

范围为。

4)曲线有个拐点。

2、计算下列函数图形的凹凸性及拐点

1)

解:

在区间函数下凸;在区间函数上凸,点是拐点。

2)

解:

在区间函数上凸;在区间函数下凸;在区间函数上图。点为拐点。

3、证明下列不等式

1)

证明:考虑函数,因为,当时,此曲

线是下凸的,所以,对任意的,及有





2)

证明:考虑函数,因为,当时,此曲线是

下凸的,所以,对任意的,及有







4、描绘向下列函数的图像

1)

解:①此函数定义域,既不是奇函数也不是偶函数,并且不是周期

函数

②判定函数的单调性和凹凸性





- - - 0 + - - 0 + + + + 此函数在区间单调递增;在区间上单调递减。在区间上上凸;在区间上下凸。

③求渐近线

因为,所以此曲线有水平渐近线,铅直渐近线

④作图



2)

解:①此函数定义域,是奇函数,但不是周期函数

②判定函数的单调性和凹凸性



+ 0 - - - 0 + - - - 0 + + + 此函数在区间单调递增;在区间上单调递减。在区间上上凸;在区间上下凸。

③求渐近线

因为,

所以此曲线有斜渐近线

④作图



5、设在点三阶可导,,,求证:点是

曲线的拐点。

证明:无妨设,根据导数的定义



由极限的保号性存在的去心邻域内有。当时,,所以;当时,,所以;根据拐点的定义,点是曲线的拐点。同理可证的情形。

作业18

1、填空题

1)若曲线的拐点为,则常数,。

2)曲线的渐近线方程为。

3)设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值

范围为。

4)曲线有个拐点。

2、计算下列函数图形的凹凸性及拐点

1)

解:

在区间函数下凸;在区间函数上凸,点是拐点。

2)

解:

在区间函数上凸;在区间函数下凸;在区间函数上图。点为拐点。

3、证明下列不等式

1)

证明:考虑函数,因为,当时,此曲

线是下凸的,所以,对任意的,及有





2)

证明:考虑函数,因为,当时,此曲线是

下凸的,所以,对任意的,及有







4、描绘向下列函数的图像

1)

解:①此函数定义域,既不是奇函数也不是偶函数,并且不是周期

函数

②判定函数的单调性和凹凸性





- - - 0 + - - 0 + + + + 此函数在区间单调递增;在区间上单调递减。在区间上上凸;在区间上下凸。

③求渐近线

因为,所以此曲线有水平渐近线,铅直渐近线

④作图



2)

解:①此函数定义域,是奇函数,但不是周期函数

②判定函数的单调性和凹凸性



+ 0 - - - 0 + - - - 0 + + + 此函数在区间单调递增;在区间上单调递减。在区间上上凸;在区间上下凸。

③求渐近线

因为,

所以此曲线有斜渐近线

④作图



5、设在点三阶可导,,,求证:点是

曲线的拐点。

证明:无妨设,根据导数的定义



由极限的保号性存在的去心邻域内有。当时,,所以;当时,,所以;根据拐点的定义,点是曲线的拐点。同理可证的情形。

第二章自测题

1、填空题

1)设周期函数在上可导,周期为4,且满足条件

则曲线在点处的切线斜率为。

2)设,则。

3)设曲线在点处的切线与轴相交于点,则



4)设函数由方程所确定,则曲线在点处

的法线方程为。

5)若曲线拐点的横坐标为,则。

2、已知,其中,具有连续二阶导数,且。

1)求常数的值,使在处连续;

2)求。

解:1)

2)当时,

当时,



3、设在的一个邻域内具有二阶导数,且

1)求和;2)

解:1)因为













所以

2)

4、求下列导数

1)设,求

解:

2)设函数由所确定,求

解:利用一阶微分的不变性计算,方程组两边微分得





,当时,利用原方程可得或,

或。

5、设在区间上连续,在上可导,证明:在内至少存在一点使



证明:在区间上对函数运用拉格朗日中值定理,在内至少存在一点使得





6、讨论方程的实根的个数。

解:设,讨论在定义域内的单调性

,当时递减;当时,递增。

实际上,是最大值。

1)当时,,方程只有一个零点;

2)当时,,方程无解;

3)当时,,方程有两个解

7、设在上具有二阶导数,,其中都是非负常数,是内任一点。证明:。

证明:利用泰勒公式



(1)

(2)









作业20

1、利用定积分的几何意义,填写下列定积分的值

1)。

2)。

3)。

4)。

2、比较下列各组定积分的大小(填写不等号)

1);

2);

3)。

3、利用定积分定义计算

解:



4、将极限表示成定积分。

解:





5、估计定积分的值

解:在上,所以



6、利用定积分的性质求下列极限

1)

解:利用积分中值定理,至少存在一点使得



2)

解:利用积分中值定理,至少存在一点使得



作业21

1、计算下列各导数

1)。

2)。

3)。

4)。

2、计算下列定积分

1)。

2)。

3)。

4)设,则。

3、求下列极限

1)

解:原式

2)

解:原式

4、设,求在上的表达式,并讨论在上的连续性。

解:当时,

当时,

,在上连续。

5、设在内连续,在内可导,且。证明:函数

在内满足

证明:对于任意的



利用积分中值定理,至少存在一点使得



在区间上对函数运用拉格朗日中值定理,至少存在一点

使得

所以

6、设在内连续,且,记,求证:

1);2)方程在内有且仅有一个根。

证明:1)

2)唯一性:因为,所以在内单调增加,方程在

只能有一个根。

存在性:,,由零点定理,

方程在必有一个根。

作业22

1、填空题

1)设是连续函数,则;;

;。

2)设是的两个不同的原函数,且,则



3)若的导数为,则的所有的原函数为。

2、演算下列不定积分,并填上答案:

1)。

2)。

3)。

4)。

5)。

3、计算下列不定积分

1)

解:原式

2)

解:原式

3)

解:原式

当时,

当时,

4)

解:原式

4、计算下列定积分

1)

解:原式



2)设,求。

解:



5、计算下列各题

1)已知是的一个原函数,求。

解:

2)已知的一个原函数为,求。

解:



所以。





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(本文系爱康学斋首藏)