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再談《洞極》之揲蓍法及其相關之
數學題
上傳書齋：瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要：關子明即關朗，相傳著《易傳》及《洞極真經》﹝二書可能同一書﹞，
後人認為乃阮逸所著，其書內容以二十七象為主，本文詳述其揲蓍
成象﹝卦﹞法，其要點為用45策，分為三刻，即分為三份﹝三
刻﹞，每刻三策一份而分之﹝三揲之﹞，不滿三策者為餘數。將第
一刻所揲之次數加第二刻所揲之次數，再加第三刻所揲之次數，其
和再乘以3，即得“三劃之數”，若得39，即得弌畫________；，
若得42，即得弍畫______；若得45，即得弎畫______。有
此準則，即可以此法畫二十七象。
關鍵詞：關子明、洞極真經、二十七象、阮逸、易學象數論、黃宗羲、胡
一桂、周易啟蒙翼傳、弌、弍、弎、三劃之數。
第1節關子明易傳簡介
本文乃筆者另文《關子明易或《洞極》說及其揲蓍法》之補充。
關子明即關朗，相傳著《易傳》及《洞極真經》﹝《洞極真經》可簡稱為《洞
極》，二書可能同一書﹞。
元?胡一桂《周易啟蒙翼傳?卷外篇?洞極真經》有較詳盡之記載。
胡一桂，生於公元1247年，時為南宋宋理宗趙昀淳祐七年，卒年不詳。字
-2-
庭芳，徽州婺源梅田（今江西上饒婺源）人。胡玉齋方平之子，宋鄉貢進士。精
於易學。南宋景定五年（1264年）十八歲，鄉薦於禮部，不第，退而講學於鄉里，
遠近者皆師之，號“雙湖先生”。其學源於其父胡方平，治朱熹易學。宋亡，入
元不仕。
《周易啟蒙翼傳》又稱為《周易發明啟蒙翼傳》，其《外篇》有《關氏洞極》
篇，此篇即詳述《洞極真經》。
其後清?黃宗羲撰《易學象數論?卷四》亦提及《洞極真經》，《易學象數
論》部分內容可能承襲《周易啟蒙翼傳》。
《易學象數論?卷四》記關子明易學有兩種，一為《易傳》，一為《洞極真
經》。《易學象數論》又引陳師道言關子明《易傳》乃阮逸所著，但陳師道無提
及《洞極真經》，故黃宗羲認為《易傳》與《洞極真經》可能合而為一。《易學
象數論》稱之為《洞極》，分成兩篇：《洞極一》及《洞極二》。
《洞極》內容以二十七象為主，但欠缺詳細說明，原因可能為原書殘缺甚至
亡佚，故歷朝學者談之者甚少。另一方面，《易傳》可能非關子明所著，仍後人
偽託，故難以入易學之主流，元?胡一桂視《洞極》為易支流之支流，外之又外，
與正統之易相去遠矣。
第2節關子明易之揲蓍法
相信關子明易亦以占卜為主，故先須畫卦﹝關子明卦稱為“象”或
“極”﹞，其畫卦法仍以揲蓍法為主，但與周易占之揲蓍法迥然不同。
雖然關子明易後人認為屬偽書﹝或曰關子明祖傳之典籍﹞，但其揲蓍成卦法
合理，仍值得深入探討。
關子明畫卦用45策，此乃《洛書》九數之和。依下文所述之步驟可畫出其
二十七象中之一象。
元?胡一桂《周易啟蒙翼傳?卷外篇?洞極真經》有此記載：
極數
子曰：天一，地二，人三；天四，地五，人六；天七，地八，人九。三極之
數四十五，天有十二﹝一、四、七﹞；地有十五﹝二、五、八﹞；人有十八
﹝三、六、九﹞。審其數而畫之，三十有九則弌﹝除天地人六數外，有三十
九數歸之於天﹞，四十有二則弍﹝除人三數外有四十二歸之地﹞，四十有五
-3-
則弎﹝《洛書》全數歸之於人﹞。生之策百一十七﹝三畫計三十九﹞，育之
策百二十六﹝三畫計四十二﹞，資之策百三十五﹝三畫計四十五﹞，遺其餘
則三百有六十，當期之日﹝愚計三策之數，本甚不合，遺其餘七、六、五然
後合三百六十之數，《易》計乾坤之策三百六十，不如是也，未敢以為然﹞
顯冥之道盡矣。
括號內文字相信乃胡一桂之注文，“愚”乃胡一桂之謙稱。
關子明易《極數篇》略更改《繫辭?上傳》之數以配合其說。此篇介紹求極
數之法，因天一，地二，人三；天四，地五，人六；天七，地八，人九。其和為
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，亦為故“三極”之數為45，此45亦為所
用之策數。此處之三極為天、地、人，亦稱為三才。
筆者稱39為弌之數，42為弍之數，45為弎之數，統稱為“三劃之數”。
依以上引文所云，此三數之來源非常簡單：
1.《洛書》九數和–天地人數=45–6=39。
2.《洛書》九數和–人數=45–3=42。
3.全取《洛書》九數和=45。
所得“三劃之數”數目正確，但無說明理由﹝見以下之說明﹞，相信其為湊
合之說法，故胡一桂曰“愚計三策之數，本甚不合”，因不知其來源也。
以下為三極之數表：
三極數表
三極洛書數三數三才所表事物洛書數和
生1弌天
日月星辰12生4弍天
生7弎天
育2弌地
山川草木15育5弍地
育8弎地
資3弌人
戎狄禽魚18資6弍人
資9弎人
生之策=3×39=117，育之策=3×42=126，及資之策=3×45=135。
-4-
《極數篇》曰：生之策百一十七，育之策百二十六，資之策百三十五，三策
總數=117+126+135=378。
又378–(5+6+7)=378–18=360。此乃一年之大約日數。
《易學象數論?卷四?洞極二》曰：
《極數篇》曰：“天一，地二，人三；天四，地五，人六；天七，地八，人
九。三極之數四十五，天有十二，地有十五，人有十八，審其數而畫之，三
十有九則弌，四十有二則弍，四十有五則弎。生之策百一十七，育之策百二
十六，資之策百三十五，遺其餘七六五，然後合三百有六十。當期之日，顯
冥之道盡矣。”。
上述同書同章云：
胡廷芳云：“三策之數，本甚不合，遺其餘七六五，然後合三百六十之數，
未敢以為然。”楊止菴云：“意其揲當用四十九策而虛三，如揚雄之法；而
掛一不用，以九揲左手之策，視其所得之策而定畫焉。右則不揲，自三十有
九至三百有六十，當期之日，其說多牽強不可通。”
胡廷芳即胡一桂。楊止菴認為關子明之揲策法不可行，其法可能用49策，
虛三，即46策，再掛一，即用45策，隨意分成兩份，分別以左手及右手持之，以
九數揲左手之策，“視其所得之策而定畫”大概指其所餘之策，所餘之策必為
1，或2、或3、或4、或5、或6、或7、或8、或9﹝即0﹞，但如何定弌、
弍及弎則無詳細說明。注意右手所持之策則不揲，但相信此說不合關子明易之揲
蓍法，故楊止菴所云“意其揲當用四十九策而虛三，如揚雄之法；而掛一不用，
以九揲左手之策…”有誤。
上述同書同章又云：
某按：後人不得其解，而《洞極》之蓍法亡矣。間嘗推之而復得，用四十五
策分為三刻，不掛，每刻以三揲之，不滿三為餘，若三刻各餘二者為三十九，
則弌畫_______；若三刻各餘一者，若一刻餘一，一刻餘二，一刻無餘者，
為四十二，則弍畫____；若三刻各無餘者為四十五，則弎畫______，
是為初畫。復合全策，如前法者二，是為二畫，三畫而極成矣。三極之數，
四十五者即策數也。天有十二（一、四、七），地有十五（二、五、八），
人有十八（三、六、九）者，合天地人得四十五，以明策數之故。
以上引文最重要之部分為：
間嘗推之而復得，用四十五策分為三刻，不掛，每刻以三揲之，不滿三為
餘，…。
黃宗羲之說法可行，“推之而復得”相信用功夫不少。此乃“關子明揲蓍
法”之要點。“不掛”指“不掛一”，指不取去其中一策。以揲蓍法作易占則須
“掛一”。
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文意指39之數可表弌，42之數可表弍及45之數可表弎，此乃“三劃之
數”。本文主要指出其來源。
關子明畫卦要點為用45策，分為三刻，即分為三份﹝三刻﹞，每刻三策一
份而分之﹝三揲之﹞，不滿三策者為餘數。
以下理論涉及數學上之同餘式。
第一種情形：
若每刻皆餘2，即第一刻之策數為3a+2，第二刻之策數為3b+2，第三
刻之策數為3c+2，而a、b及c乃三刻之策所揲之次數，即每刻之策數除以3
所得之商。
顯然三刻之和為45，即3a+2+3b+2+3c+2=45
3(a+b+c)+6=45
3(a+b+c)=45–6=39。
此乃39數之來源，是為弌畫﹝今用劃﹞數，即每刻之策數除以3所得之
商之和再乘以3。若每刻皆餘2，即得39﹝即三商之和為13﹞，是為弌之數，
則得弌畫________。注意6乃三刻經揲後之總餘數，即2+2+2，亦即上文
所云之“天地人數”。
第二種情形甲：
若每刻皆餘1，即第一刻之策數為3a+1，第二刻之策數為3b+1，第三
刻之策數為3c+1，同樣a、b及c乃三刻之策所揲之次數，即每刻之策數除
以3所得之商。
三刻之和亦為45，即3a+1+3b+1+3c+1=45
3(a+b+c)+3=45
3(a+b+c)=45–3=42。
此乃42數之來源，是為弍畫數，即每刻之策數除以3所得之商之和再乘
以3。若每刻皆餘1，即得42之數﹝即三商之和為14﹞，是為弍之數，則得
弍畫______。注意3乃三刻經揲後之總餘數，即1+1+1，亦即上文所云
之“人數”。
第二種情形乙：
若一刻餘1，一刻餘2，一刻餘0﹝不必依此次序，總之三刻之餘數乃0、
1、2即可﹞，即其中一刻之策數為3a+0，其中一刻之策數為3b+1，其中一
刻之策數為3c+2，a、b及c定義同上。
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三刻之和亦為45，即3a+0+3b+1+3c+2=45
3(a+b+c)+3=45
3(a+b+c)=45–3=42。
此乃42數之第二種方法之來源，即若其中一刻餘0，其中一刻餘1，其中
一刻餘2，亦可得42之數﹝即三商之和亦為14﹞，是為弍之數，亦得弍畫
______。注意3乃三刻經揲後之總餘數，即0+1+2，亦即上文所云之“人
數”。
第三種情形：
若每刻皆無餘，即第一刻之策數為3a，第二刻之策數為3b，第三刻之
策數為3c，a、b及c乃三刻之策所揲之次數，即每刻之策數除以3所得之商。
顯然三刻之和為45，即3a+3b+3c=45
3(a+b+c)=45。
此乃45數之來源，即每刻之策數除以3所得之商之和再乘以3。若每刻
皆餘0，即得45﹝即三商之和為15﹞，是為弎畫數，則得弎畫______。注
意3乃三刻經揲後之總餘數，即0+0+0，亦即上文所云之“《洛書》全數歸
之”。
以上只有三種情形，不多也不少，故可畫成關子明易之“象”或“極”。
故關子明易之揲蓍法可歸納如下：
1.將45策分成三份。
2.每份三策一份而分之，若每份之餘數皆為2，即得策數39，是為
弌之數，得弌畫________。
3.若每份之餘數皆為1，即得策數42，是為弍之數，則得弍畫
______。
若一份餘1，一份餘2，一份餘0﹝不必依此次序﹞，亦得策數42，
亦為弍之數，亦得弍畫______。
若每份之餘數皆為0，即得策數45，是為弎之數，則得弎畫
______。
4.依3之準則即可得一象之初爻﹝從下至上之第一爻﹞。
將以上步驟重複二次，即可畫成關子明易之“一象”。
有無其他情況出現？因第一刻與第二刻之餘數可以變化，但第三刻之餘數則
倚賴第一刻與第二刻之餘數而定，故其自由度﹝degreesoffreedom﹞為2，即第
-7-
一刻與第二刻之餘數可以預先設定。
下表以第一刻及第二刻之餘數以算出第三刻餘數，第一刻及第二刻前之括號
內之數為餘數，以下共九種情形：
三刻餘數表
序
號第一刻第二刻第三刻第三刻變形
第三
刻餘
數
依序
三刻
餘數
1(0)3a(0)3b45–3a–3b3(15–a–b)0000
2(0)3a(1)3b+145–3a–3b–13(15–a–b)–12012
3(0)3a(2)3b+245–3a–3b–23(15–a–b)–21021
4(1)3a+1(0)3b45–3a–3b–13(15–a–b)–12102
5(1)3a+1(1)3b+145–3a–3b–23(15–a–b)–21111
6(1)3a+1(2)3b+245–3a–3b–1–23(15–a–b–1)0120
7(2)3a+2(0)3b45–3a–3b–23(15–a–b)–21201
8(2)3a+2(1)3b+145–3a–3b–1–23(15–a–b–1)0210
9(2)3a+2(2)3b+245–3a–3b–2–23(15–a–b–1)–12222
第二、三欄宜注意數學上之同餘式，故可得第六欄之第三刻餘數：
3a≡3b≡0≡(mod3)，3a+1≡3b+1≡1(mod3)，
3a+2≡3b+2≡2(mod3)。
第五欄亦如是：
3(15–a–b)≡3(15–a–b–1)≡0(mod3)，
3(15–a–b)–1≡–1≡2(mod3)及
3(15–a–b)–2≡–2≡1(mod3)。
以下為續上表：
續三刻餘數表
序
號第一刻第二刻
第三刻
餘數
依序三
刻餘數
三劃之
數劃象
1(0)3a(0)3b000045弎______
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2(0)3a(1)3b+1201242弍______
3(0)3a(2)3b+2102142弍______
4(1)3a+1(0)3b210242弍______
5(1)3a+1(1)3b+1111142弍______
6(1)3a+1(2)3b+2012042弍______
7(2)3a+2(0)3b120142弍______
8(2)3a+2(1)3b+1021042弍______
9(2)3a+2(2)3b+2222239弌______
故第三刻變形後可得第三刻餘數。
1.故第一刻與第二刻之餘數同為0，則第三刻之餘數必為0﹝不可能為1
或2﹞。
2.第一刻與第二刻之餘數為0及1，則第三刻之餘數必為2﹝不可能為
1或0﹞。
3.第一刻與第二刻之餘數為0及2，則第三刻之餘數必為1﹝不可能為
2或0﹞。
4.同2。
5.第一刻與第二刻之餘數同為1，則第三刻之餘數必為1﹝不可能為0
或2﹞。
6.第一刻與第二刻之餘數為1及2，則第三刻之餘數必為0﹝不可能為
1或2﹞。
7.同3。
8.同6。
9.第一刻與第二刻之餘數同為2，則第三刻之餘數必為2﹝不可能為1
或0﹞。
以上九種情況可歸納為四種：
(0,0,0)畫______。
(0,1,2)畫________，(0,1,2)不必依序。
(1,1,1)畫________。
(2,2,2)畫__________。
注意(0,1,2)與(1,1,1)皆畫________，故以上只有三種爻。
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從以上之結果可知，若知第一和第二刻之餘數，第三刻實在不必再揲，只須
查閱上表即可知其餘數，亦可知其所代表之劃﹝弌、弍或弎﹞。
為方便起見，筆者稱以上之法為“關子明揲蓍法”。
但得以上三種爻之概率不同，得弌______之概率為91，得弍______
之概率為97，得弎______之概率亦為91，如下表所示：
三種劃概率表
序
號
第一刻
餘數
第二刻
餘數
第三刻
餘數
依序
三刻
餘數
概率劃象
三種
劃概
率
10000001/9弎______1/9
20120121/9弍______
30210211/9弍______
41021021/9弍______
51111111/9弍______7/9
61201201/9弍______
72012011/9弍______
82102101/9弍______
92222221/9弌______1/9
總概率1
從上表可知得弍______之概率97過大，得弌______及得
弎______之概率91則過小，欠平均。原則上，得各種劃之概率相同為最佳，
即每種劃之概率均為31。
下表指出得二十七象之概率：
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二十七象概率表
序號象名象圖概率積
1生91×91×917291
2萌91×97×9772949
3息
91
×91×977297
4華
97
×91×9772949
5茂
91
×91×917291
6止
97
×91×9772949
7安
97
×97×9172949
8
燠或作
、91
×91×917291
9實
91
×97×917297
10資
91
×91×917291
11用
91
×91×917291
12達
91
×91×917291
-11-
13興
91
×91×977297
14紊
91
×91×977297
15悖
97
×97×9172949
16靜91×97×9772949
17平
91
×91×977297
18序
97
×91×917297
19育
97
×97×97729343
20和
91
×97×917297
21塞
91
×97×917297
22作
91
×91×917291
23
或
煥、渙97
×91×917297
24幾
97
×91×917297
25抑
91
×91×917291
-12-
26冥
9
7×91×917297
27通91×97×917297
總數7291×729=1
以上之總概率和為：
8×7291+12×7297+6×72949+729343=7291(8+84+294+343)
=7291×729
=1。
總概率和為1之意思指以“關子明揲蓍法”畫象，必可畫得其中一象。
又從上表可知，得生、茂、、資、用、達、作、抑之概率為最小，皆為
7291，共八象。得育之概率729343為最大，只有一象。
得概率7297之象為息、實、興、紊、平、序、和、塞、渙、幾、冥、通，
共十二象。
得概率72949之象為萌、華、止、安、悖、靜，共六象。
若每種劃之概率皆為31，則得以上二十七象每象之概率皆相同，即
31×31×31=271。
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第3節關子明易之揲蓍法及相關數學題
以下為相關之數學題，以作第2節之補充：
【例1】今以“關子明揲蓍法”畫27象之爻，試求得三種爻﹝三種劃﹞弌、
弍及弎之概率。
解：
設P(弌)為得“弌”之概率，P(弍)為得“弍”之概率，及P(弎)為得
“弎”之概率。從以上〈三種劃概率表〉可知：
P(弌)=91，P(弍)=97，P(弎)=91。注意三種劃之概率和為1。
因為P(弍)之概率最大，故得三劃皆“弍”之概率最大，此象為育，
其概率為729343。得P(弌)與P(弎)之概率最小，故一象只含弌、或
弎或式與弎之合併所得之概率最小，皆為7291。
【例2】今將45策分成三份﹝刻﹞，每份三策一份而分之，若每刻皆餘2，試
証每刻之策數除以3所得之商﹝取整數﹞之和必為13。此“商”即
三策一份而分之份數，下同。
解：
依題意可知即第一刻策數為3a+2，第二刻之策數為3b+2，第三刻
之策數為3c+2，而a、b及c乃三刻之策所揲之次數，即每刻之策
數除以3所得之商。
顯然三刻之和為45，即3a+2+3b+2+3c+2=45
3(a+b+c)+6=45
39=3(a+b+c)
13=a+b+c。
答：每刻之策數除以3所得之商﹝取整數﹞之和必為13。此數可表
弌畫________。
【例3】今將45策分成三份﹝刻﹞，每份三策一份而分之，若每刻皆餘1，試
証每刻之策數除以3所得之商﹝取整數﹞之和必為14。
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解：
依題意可知即第一刻策數為3a+1，第二刻之策數為3b+1，第三刻
之策數為3c+1，而a、b及c乃三刻之策所揲之次數，即每刻之策
數除以3所得之商。
顯然三刻之和為45，即3a+1+3b+1+3c+1=45
3(a+b+c)+3=45
42=3(a+b+c)
14=a+b+c。
答：每刻之策數除以3所得之商﹝取整數﹞之和必為14。此數可表
弍畫______。
【例4】今將45策分成三份﹝刻﹞，每份三策一份而分之，若一刻餘1，一刻
餘2，一刻餘0﹝不必依此次序，總之三刻之餘數乃0、1、2即可﹞，
試証每刻之策數除以3所得之商﹝取整數﹞之和必為14。
解：
依題意可知即其中一刻之策數為3a+0，其中另一刻之策數為
3b+1，其中第三刻之策數為3c+2。
顯然三刻之和為45，即3a+0+3b+1+3c+2=45
3(a+b+c)+3=45
42=3(a+b+c)
14=a+b+c。
答：每刻之策數除以3所得之商﹝取整數﹞之和必為14。此數亦可
表弍畫______。此題可與上題比較。
【例5】今將45策分成三份﹝刻﹞，每份三策一份而分之，若每刻皆無餘，試
証每刻之策數除以3所得之商﹝取整數﹞之和必為15。
解：
依題意可知即第一刻策數為3a，第二刻之策數為3b，第三刻之策數
為3c，而a、b及c乃三刻之策所揲之次數，即每刻之策數除以3所
得之商。
顯然三刻之和為45，即3a+3b+3c=45
3(a+b+c)=45
15=a+b+c。
答：每刻之策數除以3所得之商﹝取整數﹞之和必為15。此數可表
弎畫______。
-15-
依以上四題可知三劃之數可化簡為13、14與15。
【例6】今將45策分成三份﹝刻﹞，每份三策一份而分之，若第一刻無餘，求
得弌、弍或弎之概率。
解：
從以上之〈三種劃概率表〉可重列下表：
第一刻
餘數
第二刻
餘數
第三刻
餘數
依序
三刻
餘數
概率劃象
兩種
劃概
率
0000001/3弎______1/9
0120121/3弍______
2/3
0210211/3弍______
得弌之概率為0，因為得弌之三刻餘數必各為2。
因為第二及第三刻之餘數可能為(0,0)，(1,2)或(2,1)，以上各概率
為31，前者得弎，後二者得弍，故得弎之概率為31，得弍之概率為32。
注意，本題之結果乃基於第一刻之餘數為0。
【例7】今將45策分成三份﹝刻﹞，每份三策一份而分之，若第一刻餘數為1，
求得弌、弍或弎之概率。
解：
從以上之〈三種劃概率表〉可重列下表：
第一刻
餘數
第二刻
餘數
第三刻
餘數
依序
三刻
餘數
概率劃象概率
1021021/9弍______
1111111/9弍______1
1201201/9弍______
得弌及弎之概率為0，因為得弌之三刻餘數必各為2，得弎之三刻餘
數必各為0。
因為第二及第三刻之餘數可能為(0,2)，(1,1)或(2,0)，以上各概率
-16-
為31，但三種情形皆可得弍，故得弍之概率為1。注意，本題之結果
乃基於第一刻之餘數為1。
【例8】今將45策分成三份﹝刻﹞，每份三策一份而分之，若第一刻餘數為2，
求得弌、弍或弎之概率。
解：
從以上之〈三種劃概率表〉可重列下表：
第一刻
餘數
第二刻
餘數
第三刻
餘數
依序
三刻
餘數
概率劃象
兩種
劃概
率
2012011/9弍______
2/3
2102101/9弍______
2222221/9弌______1/3
得弎之概率為0，因為得弎之三刻餘數必各為0。
因為第二及第三刻之餘數可能為(0,1)，(1,0)或(2,2)，以上各概率
為31，唯前二者得弍，最後者得弌，故得弌之概率為31，得弍之概率
為32。注意，本題之結果乃基於第一刻之餘數為2。
【例9】今將45策分成三份﹝刻﹞，一份20策，一份13策，一份12策，
試求每份揲三後之餘數及三劃之數。
解：
第一刻20策餘數為2，商為6；
第二刻13策餘數為1，商為4；
第三刻12策數餘數為0，商為4。
三刻之餘數為2,1,0，其商之和為6+4+4=14，
其三劃之數為3×14=42，此為弍之數，則得弍畫
______。
【例10】今將45策分成三份﹝刻﹞，一份20策，一份14策，一份11策，
-17-
試求每份揲三後之餘數及三劃之數。
解：
第一刻20策餘數為2，商為6；
第二刻14策餘數為2，商為4；
第三刻11策數餘數為2，商為3。
三刻之餘數為2,2,2，其商之和為6+4+3=13，
其三劃之數為3×13=39，此為弌之數，則得弌畫________。
【例11】今將45策分成三份﹝刻﹞，一份18策，一份12策，一份15策，
試求每份揲三後之餘數及三劃之數。
解：
第一刻18策餘數為0，商為6；
第二刻12策餘數為0，商為4；
第三刻15策數餘數為0，商為5。
三刻之餘數為6,4,5，其商之和為6+4+5=15，
其三劃之數為3×15=45，此為弎之數，則得弎畫______。
【例12】今將45策分成三份﹝刻﹞，一份19策，一份13策，另一份亦為13
策，試求每份之餘數及三劃之數。
解：
第一刻19策餘數為1，商為6；
第二刻13策餘數為1，商為4；
第三刻13策數餘數為1，商為4。
三刻之餘數為1,1,1，其商之和為6+4+4=14，
其三劃之數為3×14=42，此為弍之數，則得弍畫
______。此題宜與【例9】比較。
【例13】今以“關子明揲蓍法”畫象，試求得生﹝從下至上，下同，弌弌弌﹞、
萌﹝弌弍弍﹞、息﹝弌弎弍﹞、育﹝弍弍弍﹞之概率。
解：
-18-
因P(弌)=91，P(弍)=97，P(弎)=91﹝見上文﹞。
得每一劃均為獨立事件，故得一象之概率乃其三劃之概率之積。設P(X)
表得X之概率，於是：
P(生)=91×91×91=7291。
P(萌)=91×97×97=72949。
P(息)=91×91×97=7297。
P(育)=97×97×97=729343。
其餘可類推。
【例14】今將45策分成三份﹝刻﹞，一份r策，一份s策，試求得得弌、
弍或弎之概率。
解：
若要得弌，r與s之餘數必為2，r之餘數為2之概率為31，s之
餘數為2之概率亦為31，r與s之餘數同為2之概率為31×31=
91。故得弌之概率為91，即P(弌)=91。
若要得弎，r與s之餘數必為0，r之餘數為0之概率為31，s之
餘數為0之概率亦為31，r與s之餘數同為0之概率為31×31=
91。故得弎之概率為91，即P(弎)=91。
得弍之概率為1–P(弌)–P(弎)=1–91–91=97，即P(弍)=97。
本例可與【例1】比較。
【例15】今將45策分成三份﹝刻﹞，其中兩份策數相同，經三揲後試証第三
份之餘數必與第一、二份相同。
解：
若第一、二份經三揲後無餘數，可設第一、二份皆有3r策，第三份
-19-
有45–3r–3r策，即45–6r=3(15–2r)，即可整除3而無餘數。
若第一、二份經三揲後餘數為1，可設第一、二份皆有3s+1策，第
三份有45–3s–1–3s–1策，即45–6s–2，依同餘式可知：
45–6s–2≡–2≡1(mod3)。即其餘數亦為1。
若第一、二份經三揲後餘數為2，可設第一、二份皆有3t+2策，第
三份有45–3t–2–3t–2策，即45–6t–4，依同餘式可知：
45–6t–4≡–4≡2(mod3)。即其餘數亦為2。
別解：
依第6頁〈三刻餘數表〉第七欄可知，只有以下三種情形成立：000、
111及222，若其中兩份之策數相同，其揲後之餘數必相同，若兩餘
數相同，第三餘數必相同。
証畢。
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