王令隽:克鲁斯科变换与數學創造論的发端

私有资料 2017-02-19

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684 克鲁斯科变换与數學創造論的发端

王令隽

我们知道，爱因斯坦引力场方程复杂得非常难解。他本人就没有找到一个解。不久，施瓦兹查尔德找到了一个边界条件最简单条件下的解，就是一个球对称质量的引力场。它给出的时空间隔平方为：

（1）

这里G为万有引力常数，M为球体质量，r 和 t 为半径和时间，q 和 f 为极角和方位角。上面的公式中用的是“自然单位系统”。在这种单位系统里，光速和普朗克衡量都定义为一。所以公式里看不到光速c。这样式子比较简洁方便。

从公式（1）可以明显看出，当半径 r = 2 GM 时，第二项的分母为零，时空间隔或度规张量无穷大发散，整个解没有意义，这是数学常识。这个特殊的半径值叫施瓦兹查尔德半径，是施瓦兹查尔德解的一个奇点。在这个半径以内的物体，即使速度等于光速也没有足够的能量克服引力而飞出，即使光子也不能飞出这个区域，所以这个区域叫“黑洞”。

但是，没有光子飞出而一片黑暗并不是施瓦兹查尔德“黑洞”的最重要的特征。“黑洞”最重要，最本质的特征是时空翻转。因为如果r < 2 GM，公式（1）的第一项和第二项会改变符号，因此空间坐标微分 dr 变为时间坐标微分；而时间坐标微分 dt 和 dq, df 一起构成三维空间坐标微分。如果测量不到时空翻转，就不能说已经测量到了黑洞。黑暗只是表面的现象。宇宙中看不见的物体多得很，质量特别大密度特别高的物体也多得很（比如白矮星，中子星）。除非你能证明某一天体中时间和空间翻转了，否则就不能说已经观察到了黑洞。正如摸到了一根柱子，不能说已经摸到象了。

施瓦兹查尔德解在奇点无穷发散是爱因斯坦引力方程的一个根本性的困难。所以拥护相对论的理论家们便想尽办法挽救。1960年代，克鲁斯科(Kruskal)提出一个说法。他说爱因斯坦场方程的解之所以会无穷发散，是因为坐标系选择得不好。如果我们选择一个适当的坐标系，便可以消除这个奇点。他提出以下的坐标变换，把时空坐标(r,t)变换到一对没有物理意义的抽象的数学坐标(u,v)，叫做克鲁斯科坐标：

(r > r_s ) (2a)

(r < r_s ) (2b)

其中 r_s = 2GM 是施瓦兹查尔德半径。

逆变换为：

(r > r_s) (3a)

(r < r_s) (3b)

将这一变换画成图像，就得到克鲁斯科变换的图像（圖1）。

从图1中我们看到克鲁斯科变换的几个特征：

1）空间的原点 r = 0 从一个几何点变成了一条最上面的抛物线。（其实是一个四维曲面。别忘了极角和方位角坐标。）

2）施瓦兹查尔德半径被变换到了 u – v 坐标系中的两条对角线。但是并没有消失。

3）整个时空宇宙占据了u-v 坐标系中以对角线 u= -v 为界的右上方和以抛物线 r = 0 为界的下面所界定的区域。

4）施瓦兹查尔德半径以内的区域变换到了两条对角线以上，原点抛物线以下的区域II。

5）施瓦兹查尔德半径以外的空间变换到了两条对角线右面的区域I。

从图表上我们看到，克鲁斯科变换并没有把施瓦兹查尔德半径变掉，而是变成了u – v 坐标系中的两条对角线。u-v 坐标系没有物理意义。真正有物理意义的是r - t 坐标。时空坐标系中度规是否发散是可以观测到的物理现象。一个无穷发散的物理现象不应该仅凭坐标系的选择而消除，这是常识，也是常理。克鲁斯科认为一个坐标变换就可以改变物理现象，是对相对性原理的根本违反。

克魯斯科變換不是1-1對應的變換。從公式（3）可以看出，如果u 和v 同時乘以一個負號， r 和 t 的數值不變。也就是說，公式（2）也可以寫成：

(r > r_s ) (4a)

(r < r_s ) (4b)

其逆變換同樣是公式（3）。如果把變換（4）畫成圖表，就是一張由圖1繞原點(u=o,v=o)旋轉180度的同樣的圖。整個宇宙充滿對角綫 u = -v 的左下方，而對角綫 u = -v 的右上方是空白。這兩個圖應該是等價的。選取哪一個只是個人喜好的問題。

可是克魯斯科認爲不應該只選一個，而是兩個圖應該同時存在。將公式（2）和（4）同時畫在一個圖表上，就成了圖2。这张图叫做“最大施瓦兹查尔德几何”（Maximal Schwarzschild Geometry）。

克鲁斯科以两条對角綫为界将 u-v空间分为 I, II, III, IV 四个区域（见图2）。区域 I 和II 属于一个宇宙，区域 III 和IV 属于另一个宇宙。所以克鲁斯科通过一个坐标变换，一下子就变出了两个宇宙。他的理由是，只有同时保存两个宇宙，才能保持“拓扑完备性”。也就是说，他把曲面的某种拓扑性质置于物理现实之上，创造了另一个额外的宇宙。拓扑创造世界，拓扑创造宇宙。

注意了，虽然在u-v空间中这两个宇宙在对角线u = -v 的两边，在现实的 (r,t) 时空中却是重叠的。也就是说，当这个宇宙中的情侣们在同窗共读之时，另外一个宇宙的好汉们可能正在血溅鸳鸯楼。他们的身体和刀枪和我们的身体可以互相重叠穿透，但是您感觉不到疼痛，也看不见他们的身影。但是拓扑学家们却可以将两个宇宙的时空坐标精确地画在图表之中，分析其中的奇怪现象。数学家的“物理学”就是这么容易，这么神奇。

克鲁斯科解释说，区域 II 是黑洞，与之对应的另一个宇宙中的区域 IV 是白洞，是这个宇宙的黑洞的时间反演。他把 v 坐标认定为 u – v 坐标系中的时间。最上面和最下面的两条双曲线是球体质量的中心 (r = 0)。和质量中心 (r = 0) 相切的两条水平线分别是 v = -1 和v = 1。这两条水平线之间的区域叫做“虫洞”，又叫时空隧道，施瓦兹查尔德喉管。人们可以通过这个“虫洞”以超光速从一个宇宙走到另一个宇宙。

1963年，科尔 (Kerr) 找到了爱因斯坦引力场方程的另一个解，适用于旋转的球对称场。科尔解当然也有无穷大发散的问题。如果用克鲁斯科变换如法炮制，则会变出无穷多个宇宙。数学家们创造宇宙就这么容易。

在“最大科爾幾何”(Maximal Kerr Geometry)中，旋转球体的半径居然可以为负数！宇宙的质量也可以为负数！在半径为负数的一些区域，世界綫会是封闭的曲线，也就是说，现在的事情慢慢发展会回到过去。这就是“时光倒流”，“时间旅行”的始俑。克魯斯科變換是理論物理中一個里程碑性的工作。除了因果律的倒转以外，他还在幾個方面立下了先例：

1）時空觀上的第二次革命。愛因斯坦首先颠覆了经典的時空观，将时间和空间從絕對自變量變成了速度的因變量，从时空独立变成了时空相关。但是爱因斯坦的相对论至少还尽量保存时间和空间的物理意义。差别仅在于爱因斯坦延缓和洛仑兹缩短的差别。克魯斯科变换实现了时空的第二次革命，使時間和空間完全退化成了數學方程式裏的參數，被剝奪了任何物理意義。克魯斯科用v 坐標作为時間，取代了现实的时间。v 时间在现实世界没有任何物理意义。

2）克鲁斯科开了数学创造论的先河。从此，数学家们以几何图形的性质（比如拓扑完整性）作为大自然规律的基础，将之置于物理基本定律和科学逻辑（比如宇宙不能创生）之上，可以在草稿纸上创造多重宇宙，创造白洞黑洞虫洞等等。理论物理研究完全变成了数学游戏，与现实世界根本绝缘。

3）技术上，将拓扑学引进到理论物理的时空研究和宇宙学中。理论物理成了应用拓扑学的分支。近年名噪一时的弦论和膜论是这种哲学思想体系的延伸。

以“拓扑完备性”为由创造多重宇宙之荒唐可以用一个极为简单的例子说明：

如果已知一個球體的體積是（4p/3) 立方米，它的半徑是多少呢？我們可以根據球體體積的公式求解：

（5）

（6）

我們找到了半徑 r的三個解，一個為實數，兩個為複數。一個合格的數學老師，應該告訴他的學生，複數解沒有物理意義，必须丢掉。因爲我們在設定方程式（5）之前已經知道，球的半徑一定是一個實數。可是如果有一個老師說，只保留一個實數，方程式的解就是不完備的。爲了保持解的完備性，三個解都必須保留。實數解屬於我們的宇宙，其他兩個複數解屬於另外兩個宇宙，這是多重宇宙的數學證明。和持這種哲學的數學家能討論物理嗎？排除沒有物理意義的解，不是解方程工作的一部分嗎？

自克魯斯科以後，數學家們在草稿紙上創造宇宙就成了家常便飯了。宇宙，從經典物理中包羅世間萬事萬物的實體蛻變成了拓撲流性（manifold）；理論物理蛻變成了應用拓撲學；時間和空間蛻變成了毫無實質意義的數學參數。時間可以變成空間，空間可以變成時間，因果律可以倒轉，時間可以是由實時間和虛時間組成的兩維空間。等等等等，不一而足。

我曾經和一位比我高兩輩的德高望重的數學前輩聊起理論物理中的怪現狀。他說，它曾經搞過一段理論物理，後來退下來了，因爲他“沒有物理思想”。像克魯斯科這樣的數學家的“物理思想”，“常人”怎麽能有？也只有克魯斯科，霍金，彭儸斯這樣的數學家才會有。

數學是高尚的，偉大的。理論物理沒有數學絕對不行。牛頓和麥克斯韋都是數學巨匠。但是牛頓和麥克斯韋的數學從來都是為解決現實中的物理問題所用的工具。可是近代的一些數學家似乎忘記了這一點，不是把數學當作解決物理問題的工具，而是把數學當作對現實世界實行專政的工具。他們強行要求對他們的數學參量賦予物理意義（比如克魯斯科的v 時間），而剝奪真正物理量的物理意義（比如時間和空間）。他們可以根據“拓撲完備性”而枪毙物质守恒定律而創造多重宇宙。他們可以在圖表上划兩條綫就創造时空隧道而建立宇宙閒的超光速旅行。他們因爲時空綫閉合就宣稱時間可以倒轉。古今中外的獨裁者中，還找不出一個如此專斷，如此蠻不講理的獨裁者。

數學專政的另一個表現是，數學家們用高深的數學筑起了一道紫禁城，防備學術界的反叛。没有比大内高手还要高强的武艺，是不敢随便闯入应用拓扑学的殿堂的。你要質疑他們的理論嗎？你就得先看懂他們的數學。如果你看不懂，他們的理論就自然正確。所以他們以“90%的科學家院士看不懂”他們的理論而驕傲，以此作爲他們理論正確的雄辯。

克魯斯科想出他的變換，動機也许是很可愛的，那就是想為愛因斯坦場方程的解的無窮發散找一個出路以挽救广义相对论。克魯斯科變換所引出來的一系列荒唐概念恰恰證明了這條出路是走不通的。無窮發散的解揭示了愛因斯坦廣義相對論的一個本質困難。這種本質困難是不可能通過數學變換解決的。正確的態度是應該從這種本質問題的嚴重性進行反思，看看理論本身是否有问题，是否無懈可擊。這一科學研究的經典態度被相對論的維護者們忘記了。他們使出渾身解數，狼奔豕突，無論如何也要找到維護相對論的辦法。爲此他們可以追加任意多任意荒唐的假定，不惜使創造論起死回生，不惜違背因果律。這種遇到理論難題從來不知道反思，而是一味地追加荒唐假定的做法，已經成了近代物理學界的一種潛規則，一种时尚，一種文化。