深度神经网络（DNN）模型与前向传播算法

关不住的心 2017-02-20

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　　　　深度神经网络（Deep Neural Networks，以下简称DNN）是深度学习的基础，而要理解DNN，首先我们要理解DNN模型，下面我们就对DNN的模型与前向传播算法做一个总结。

1. 从感知机到神经网络

　　　　在感知机原理小结中，我们介绍过感知机的模型，它是一个有若干输入和一个输出的模型，如下图:

　　　　输出和输入之间学习到一个线性关系，得到中间输出结果：

z = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} x_{i} + b

　　　　接着是一个神经元激活函数:

s i g n (z) = {\begin{cases} ? 1 & z < 0 \\ 1 & z \geq 0 \end{cases}

　　　　从而得到我们想要的输出结果1或者-1。

　　　　这个模型只能用于二元分类，且无法学习比较复杂的非线性模型，因此在工业界无法使用。

　　　　而神经网络则在感知机的模型上做了扩展，总结下主要有三点：

　　　　1）加入了隐藏层，隐藏层可以有多层，增强模型的表达能力，如下图实例，当然增加了这么多隐藏层模型的复杂度也增加了好多。

　　　　2）输出层的神经元也可以不止一个输出，可以有多个输出，这样模型可以灵活的应用于分类回归，以及其他的机器学习领域比如降维和聚类等。多个神经元输出的输出层对应的一个实例如下图，输出层现在有4个神经元了。

　　　　3）对激活函数做扩展，感知机的激活函数是 $s i g n (z)$ ,虽然简单但是处理能力有限，因此神经网络中一般使用的其他的激活函数，比如我们在逻辑回归里面使用过的Sigmoid函数，即：

f (z) = \frac{1}{1 + e^{? z}}

　　　　还有后来出现的tanx, softmax,和ReLU等。通过使用不同的激活函数，神经网络的表达能力进一步增强。对于各种常用的激活函数，我们在后面再专门讲，请关注www.llsffx.com。

2. DNN的基本结构

　　　　上一节我们了解了神经网络基于感知机的扩展，而DNN可以理解为有很多隐藏层的神经网络。这个很多其实也没有什么度量标准, 多层神经网络和深度神经网络DNN其实也是指的一个东西，当然，DNN有时也叫做多层感知机（Multi-Layer perceptron,MLP）, 名字实在是多。后面我们讲到的神经网络都默认为DNN。

　　　　从DNN按不同层的位置划分，DNN内部的神经网络层可以分为三类，输入层，隐藏层和输出层,如下图示例，一般来说第一层是输出层，最后一层是输出层，而中间的层数都是隐藏层。

　　　　层与层之间是全连接的，也就是说，第i层的任意一个神经元一定与第i+1层的任意一个神经元相连。虽然DNN看起来很复杂，但是从小的局部模型来说，还是和感知机一样，即一个线性关系 $z = \sum w_{i} x_{i} + b$ 加上一个激活函数 $σ (z)$ 。

　　　　由于DNN层数多，则我们的线性关系系数 $w$ 和偏倚 $b$ 的数量也就是很多了。具体的参数在DNN是如何定义的呢？

　　　　首先我们来看看线性关系系数 $w$ 的定义。以下图一个三层的DNN为例，第二层的第4个神经元到第三层的第2个神经元的线性系数定义为 $w_{24}^{3}$ 。上标3代表线性系数 $w$ 所在的层数，而下标对应的是输出的第三层索引2和输入的第二层索引4。你也许会问，为什么不是 $w_{42}^{3}$ , 而是 $w_{24}^{3}$ 呢？这主要是为了便于模型用于矩阵表示运算，如果是 $w_{24}^{3}$ 而每次进行矩阵运算是 $w^{T} x + b$ ，需要进行转置。将输出的索引放在前面的话，则线性运算不用转置,即直接为 $w x + b$ 。总结下，第 $l ? 1$ 层的第k个神经元到第 $l$ 层的第j个神经元的线性系数定义为 $w_{j k}^{l}$ 。注意，输入层是没有 $w$ 参数的。

　　　　再来看看偏倚 $b$ 的定义。还是以这个三层的DNN为例，第二层的第三个神经元对应的偏倚定义为 $b_{3}^{2}$ 。其中，上标2代表所在的层数，下标3代表偏倚所在的神经元的索引。同样的道理，第三个的第一个神经元的偏倚应该表示为 $b_{1}^{3}$ 。同样的，输入层是没有偏倚参数 $b$ 的。

3. DNN前向传播算法数学原理

　　　　在上一节，我们已经介绍了DNN各层线性关系系数 $w$ ,偏倚 $b$ 的定义。假设我们选择的激活函数是 $σ (z)$ ，隐藏层和输出层的输出值为 $a$ ，则对于下图的三层DNN,利用和感知机一样的思路，我们可以利用上一层的输出计算下一层的输出，也就是所谓的DNN前向传播算法。

　　　　对于第二层的的输出 $a_{1}^{2}, a_{2}^{2}, a_{3}^{2}$ ，我们有：

a_{1}^{2} = σ (z_{1}^{2}) = σ (w_{11}^{2} x_{1} + w_{12}^{2} x_{2} + w_{13}^{2} x_{3} + b_{1}^{2})

a_{2}^{2} = σ (z_{2}^{2}) = σ (w_{21}^{2} x_{1} + w_{22}^{2} x_{2} + w_{32}^{2} x_{3} + b_{2}^{2})

a_{3}^{2} = σ (z_{3}^{2}) = σ (w_{31}^{2} x_{1} + w_{32}^{2} x_{2} + w_{33}^{2} x_{3} + b_{3}^{2})

　　　　对于第三层的的输出 $a_{1}^{3}$ ，我们有：

a_{1}^{3} = σ (z_{1}^{3}) = σ (w_{11}^{3} a_{1}^{2} + w_{12}^{3} a_{2}^{2} + w_{13}^{3} a_{3}^{2} + b_{3}^{3})

　　　　将上面的例子一般化，假设第 $l ? 1$ 层共有m个神经元，则对于第 $l$ 层的第j个神经元的输出 $a_{j}^{l}$ ，我们有：

a_{j}^{l} = σ (z_{j}^{l}) = σ (\sum_{k = 1}^{m} w_{j k}^{l} a_{k}^{l ? 1} + b_{j}^{l})

　　　　其中，如果 $l = 2$ ,则对于的 $a_{k}^{1}$ 即为输入层的 $x_{k}$ 。

　　　　从上面可以看出，使用代数法一个个的表示输出比较复杂，而如果使用矩阵法则比较的简洁。假设第 $l ? 1$ 层共有m个神经元，而第 $l$ 层共有n个神经元，则第 $l$ 层的线性系数 $w$ 组成了一个 $n \times m$ 的矩阵 $W^{l}$ , 第 $l$ 层的偏倚 $b$ 组成了一个 $n \times 1$ 的向量 $b^{l}$ , 第 $l ? 1$ 层的的输出 $a$ 组成了一个 $m \times 1$ 的向量 $a^{l ? 1}$ ，第 $l$ 层的的未激活前线性输出 $z$ 组成了一个 $n \times 1$ 的向量 $z^{l}$ , 第 $l$ 层的的输出 $a$ 组成了一个 $n \times 1$ 的向量 $a^{l}$ 。则用矩阵法表示，第l层的输出为：

a^{l} = σ (z^{l}) = W^{l} a^{l ? 1} + b^{l}

　　　　这个表示方法简洁漂亮，后面我们的讨论都会基于上面的这个矩阵法表示来。

4. DNN前向传播算法

　　　　有了上一节的数学推导，DNN的前向传播算法也就不难了。所谓的DNN的前向传播算法也就是利用我们的若干个权重系数矩阵 $W$ ,偏倚向量 $b$ 来和输入值向量 $x$ 进行一系列线性运算和激活运算，从输入层开始，一层层的向后计算，一直到运算到输出层，得到输出结果为值。

　　　　输入: 总层数L，所有隐藏层和输出层对应的矩阵 $W$ ,偏倚向量 $b$ ，输入值向量 $x$

　　　　输出：输出层的输出 $a^{L}$

　　　　1）初始化 $a^{1} = x$

　　　　2) for $l = 2$ to $L$ , 计算：

a^{l} = σ (z^{l}) = W^{l} a^{l ? 1} + b^{l}

　　　　最后的结果即为输出 $a^{L}$ 。

5. DNN前向传播算法小结

　　　　单独看DNN前向传播算法，似乎没有什么大用处，而且这一大堆的矩阵 $W$ ,偏倚向量 $b$ 对应的参数怎么获得呢？怎么得到最优的矩阵 $W$ ,偏倚向量 $b$ 呢？这个我们在讲DNN的反向传播算法时再讲。而理解反向传播算法的前提就是理解DNN的模型与前向传播算法。这也是我们这一篇先讲的原因。