修正线性单元（Rectified linear unit，ReLU）
Rectified linear unit
在神经网络中，常用到的激活函数有sigmoid函数f(x)=11+exp(?x)、双曲正切函数f(x)=tanh(x)，今天要说的是另外一种activation function，rectified linear function，f(x)=max(0,x)，
The rectifier is, as of 2015, the most popular activation function for deep neural networks
它的特点是被认为是more biologically plausible than widely used logistic sigmoid or hyperbolic tangent（双曲正切 tanh）,就是说更加符合神经元信号激励原理。采用了rectified linear function作为activation function的unit被称为rectified linear unit。它的一个平滑解析函数为f(x)=ln(1+ex)，被称之为softplus function，softplus的微分就是logistic function：f′(x)=ex/(ex+1)=1/(1+e?x)。另外一种函数叫做softmax function或者normalized exponential是logistic function的一个泛化，如下：
σ(z)j=ezj∑Kk=1ezk for j=1,...,K.
the softmax function常被用来various probabilistic multiclass classification methods 比如multinomial logistic regression，multiclass linear discriminant analysis, naive Bayes classifiers and artificial neural networks等。在Andrew Ng的机器学习课程中，softmax regression中就用到了softmax function。这里点一下说明。当然本文的重点还是在rectified linear function上。
有几种变体：
noisy ReLUs
可将其包含Gaussian noise得到noisy ReLUs，f(x)=max(0,x+N(0,σ(x)))，常用来在机器视觉任务里的restricted Boltzmann machines中。
leaky ReLUs
允许小的非零的gradient 当unit没有被激活时。
f(x)={x0.01xif x>0otherwise
Advantages
- Biological plausibility：单边，相比于反对称结构（antisymmetry）的tanh
- Sparse activation：基本上随机初始化的网络，只有有一半隐含层是处于激活状态，其余都是输出为0
- efficient gradient propagation：不像sigmoid那样出现梯度消失的问题
- efficient computation：只需比较、乘加运算。
使用rectifier 作为非线性激活函数使得深度网络学习不需要pre-training，在大、复杂的数据上，相比于sigmoid函数等更加快速和更有效率。
标准的sigmoid输出不具备稀疏性，需要通过惩罚因子来训练一堆接近于0的冗余数据，从而产生稀疏数据，比如L1，L2或者student-t作为惩罚因子，进行regularization。而ReLU为线性修正，是purelin的折线版，作用是如果计算输出小于0，就让它等于0，否则保持原来的值，这是一种简单粗暴地强制某些数据为0的方法，然而经实践证明，训练后的网络完全具备适度的稀疏性，而且训练后的可视化效果和传统pre-training的效果很相似。这说明了ReLU具备引导适度稀疏的能力。
从函数图形上看，ReLU比sigmoid更接近生物学的激活模型。
实际测量数据：纵坐标轴是神经元的放电速率(Firing Rate)；横轴是毫秒(ms)
基于生物学的数学规则化激活模型(LIF)
(Softplus是ReLU的圆滑版，公式为：g(x)=log(1+e^x)，从上面的结果看，效果比ReLU稍差)
ReLU在经历预训练和不经历预训练时的效果差不多，而其它激活函数在不用预训练时效果就差多了。ReLU不预训练和sigmoid预训练的效果差不多，甚至还更好。
相比之下，ReLU的速度非常快，而且精确度更高。
因此ReLU在深度网络中已逐渐取代sigmoid而成为主流。
ReLU导数(分段)：
x <= 0时，导数为0
x > 0时，导数为1
早期多层神经网络如果用sigmoid函数或者hyperbolic tangent作为激活函数，如果不进行pre-training的话，会因为gradient vanishing problem而无法收敛。
而预训练的用处：规则化，防止过拟合；压缩数据，去除冗余；强化特征，减小误差；加快收敛速度。而采用ReLu则不需要进行pre-training。
实践应用
在应用中，把除了最外层输出用的sigmoid函数的其他所有用到sigmoid函数的地方全都改为ReLu函数，同时梯度也改为ReLu的，然后把学习速率调低。
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