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勾股定理，是几何学中一颗璀璨的明珠，是几何学的奠基定理，在高等数学和其他学科学领域有着极为广泛的应用。勾股定理发现最早的人是我国公元前1100年左右的西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，因而勾股定理又称商高定理。成书于公元前1世纪的《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，并系统介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。 有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。这是由于在商高发现勾股定理500多年后，希腊的著名数学家毕达哥拉斯（约公元前580～前500）才发现了这个定理，因此世界上一些国家也称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，大餐迟迟不上桌，贵宾颇有怨言；但善于观察和理解的数学家毕达哥拉斯却凝视脚下排列规则、美丽整齐的方形磁砖，拿出画笔蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。 2000多年来，人们对勾股定理的证明饶有兴趣，由于这个定理重要、基本、贴近生活，以至于平民百姓，帝王总统都热心证明，因而新的证法不断出现，下面笔者向大家介绍几种证明方法。 1、赵爽弦图证明方法：赵爽弦图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的。赵爽图指出：如图3，四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色） 赵爽利用弦图证明勾股定理的思路如下：把边长分别为a、b的两个正方形连在一起，如图1，它的面积是a方＋b方；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形形（黄色），把图（2）中左右两个三角形移到图（2）上面所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形，如图（3），因为图（1）与图（3）的面积相等，因此有a方＋b方＝c方，勾股定理得证。 赵爽的证明别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，因此这个图案（图3）被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。 2、毕达哥拉斯的证明： 图（1）与图（2）都是边长为a＋b的正方形，其面积相等，然左边正方形的面积为 毕达哥拉斯的证明也是巧夺天工。数形结合的典范。 3、美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的证明：如图，把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使C、B、D三点在一条直线上，不难证明梯形ACDE是直角梯形，△ABE是等腰直角三角形，且3个三角形的面积之和等于梯形的面积。即： 勾股定理的证明，还有很多证明方法如： 4、利用几何射影定理证明： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，作CD⊥AB于D， 5、利用切割线定理证明： 在Rt△ABC中，∠C＝90o，设BC＝a，AC＝b，AB＝c 以BC为半径作⊙B交AB于D，交AB的延长线于E 则AC切⊙B于C，由切割线定理得： 6.利用内切圆半径及面积证明 设Rt△ABC中，∠C＝90o，∠A、∠B、∠C对的边分别为a、b、c，内切圆为⊙O，⊙O切BC、AB、AC于D、E、F，则AF＝AE，BE＝BD，CD＝CF，易证CDOF是正方形，设内切圆半径为r，则CD＝CF＝r，∵b＝CF＋AF＝r＋AE，同理：a＝r＋BE， ∴a＋b＝2r＋AE＋BF＝2r＋c，∴a＋b－c＝2r，∴a＋b＝2r＋c， ① 7、三角函数法证明 设Rt△ABC中∠C＝90o∠A、∠B、∠C对的边分别为a、b、c， 则a＝csinA，b＝ccosA， 8、托勒密定理证明 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝a，BC＝b，AB＝c，外接圆为⊙O，延长CO交⊙O于D，连AD、BD，则ACBD为矩形。由托勒密定理得 AC·BD＋AD·BC＝AB·CD，∵AC=BD=a，AD=BC=b，AB=CD=c 勾股定理证明方法颇多。有人统计约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，这足以说明勾股定理深入人心，运用广泛。 |
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