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开普勒的行星运动三定律说：行星的轨道是椭圆的，太阳位于椭圆的焦点之一；行星运行的时候，有恒定的扇形面积速度，如果把行星和太阳之间拉一条线，那么，单位时间这根线扫过的面积就是常数；行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的立方。椭圆轨道，简直是奇想，突破了哥白尼日心说的圆轨道。面积速度，不知道开普勒是怎么想出这种概念来的，公司管理量化能找到这么牛逼的指标吗？周期的平方正比于椭圆长半轴的立方，这是什么鬼？今天大数据计算机也不可能有智能找出这个关系呀。开普勒可以说是牛顿之前最天才的科学家。开普勒不仅仅是天才，而且也很伟大。开普勒的母亲在1620年被判决为巫婆，那时候的欧洲巫婆是大逆不道。他自己由于支持宗教改革被驱逐出教会。可以说他和他家人都受到政治迫害。正所谓天将降大任于斯人也，在他潦倒破落之时，他确写着一本情怀宽阔的著作，名为《和谐的世界》，比和谐社会还要高一档次。 开普勒从天量天文观测数据中归纳出来了三大定律，而牛顿则以微积分和力学定律演绎推导出行星轨道，完全解释了开普勒这三大定律。 牛顿力学之美，令科学家和工程师所倾倒。热力学不就是蒸汽引擎气缸里的蒸汽的物理规律吗，蒸汽不就是一大堆水分子吗，每个水分子都满足牛顿力学运动方程，对吧？如果每个分子的运动都能够描述，那么，所以这些分子的运动的集会效应就应该是热力学。显然，科学家们希望用牛顿力学去解析演绎出熵和温度这些实验归纳出来的概念及其之间的定律和方程。 不过，要用牛顿方程求解蒸汽引擎中蒸汽分子的运动几乎是绝望的企图。一升气体里有10的23次方那么多的分子，把那么多分子的相互作用用牛顿力学方程去求解，即便是今天的超级计算机也无法完成。不要说10的23次方个分子难以求解，实际上，经典力学对三体问题尚且束手无策，无法得到精确解析解。 于是，物理学出现一个新的分支，叫做统计力学。统计力学把这些气体分子看成是满足牛顿力学的粒子，但却不去求解这些分子的具体运动。显微镜底下，科学家观测到分子的运动基本没有什么规则可寻，每个分子的运动看上去都和醉鬼走路一样，左歪右斜，进退无据，科学家称之为布朗运动，就是随机运动。物理学家说，我们各种可能的随机运动统计一下，就可以得出热力学的定律了。他们还真成功了。 讲到随机，必须要讲讲几率。我们说蒸汽机气缸里边的分子们，他们有各种各样的可能的状态，每一种可能的状态都有一定的几率出现。我们用P(i)指代气体处于第i种状态的几率。几率为1表述肯定发生的事件，1就是百分百。几率为0就是不可能发生的事件。把所有可能的几率求和必然为1，因为气体总要处于某种状态，这是肯定的事件。于是有方程P(1)+P(2)+P(3)+……+P（穷尽所有可能）=∑P(i) = 1.这个方程叫做归一化方程，∑是数学中求和的符号。几率必须满足归一化方程，因此每一个P都必须小于1。比如说，抛一个硬币，面朝上的几率P(上）等于二分一，面朝下的几率P(下）等于二分一，两个几率之和为1。 统计力学没能用牛顿力学方程求解系统的特性，但是，它赋予热力学以牛顿古典粒子的图像。有了统计力学以后，气体的压力就是气体分子碰撞器壁统计结果，碰撞满足作用力和反作用力大小相等方向相反的牛顿第三定律；气体温度对应于气体分子平均动能，温度越高表面物体内部分子动能越大；而熵与系统可能的状态数量相关。 统计力学中熵的公式是：S = -k∑P(i)Ln[P(i)]， 其中 k是一个常数，叫做玻尔兹曼常数， ln是自然对数。 大家要记住这个公式，因为我们以后讲的信息的时候回与这个公式再次相遇。我们在【熵不减原理】讲到，不可逆过程熵是增加的，那么一个过程熵增加到什么时候停止增加呢？就是达到热力学平衡的时候。比如把半杯热水倒入半杯冷水中，最后得到一杯不冷不热的水。这个不冷不热就是达到了热力学平衡，达到热力学平衡就是熵极大的状态。 我们用抛硬币来简单说明一下这个熵极大问题。 硬币落地有两种可能状态，熵为S = - k [ P（上）ln P（上）+ P （下）ln P（下）] 如果街边骗钱的作假，使得硬币落地总是面朝上，那么P（上）=1，P（下）=0，ln1=0，S=0.即在系统状态只有确定的一个的时候，熵等于零。当然，作弊不能做得那么绝，有可能作弊者把硬币做得P(上) = 0.75, P(下) = 0.25, 那么，可以计算出熵等于0.562k。如果我们对硬币的熵求极大值，可以得到P(上) = P(下) = 0.5, 熵等于0.693k。即可能各种状态的几率相等对应于熵极大，这是孤立体系的平衡态的熵。 如果可能的状态数目为 N， 等几率就表达为 P = (1/N)，我们有 S = -k∑P(i)Ln[P(i)] = -k∑(1/N)ln(1/N)=kln(N)∑(1/N)=kln(N) 孤立体系的熵等于可能的状态数的自然对数乘以k。 换句话说，孤立体系可能的状态数越多，熵就越大。热力学中讲的熵，是一个很神秘的概念，统计力学揭开了熵的神秘的面纱，把熵和系统可能的状态数目联系了起来。 当然，绝对的孤立体系是不存在的。如啤酒瓶里的啤酒是一个体系，它至少和瓶壁有相互作用以保持其压力，它还和地球引力有作用，还和宇宙射线有作用。 真实的体系都不是孤立体系，所以，系统各种可能状态的几率也可以不是等几率，把各种约束条件考虑进去，然后对熵求极大值，就可以得到系统的几率分布函数。例如对于气体，在地球重力作用下，对熵求极大值，就可以得到气体随高度的分布函数，越往高空走，气体越稀薄，上来青藏高原呼吸就可能会困难。这个气体密度分布函数是指数型的。对熵求极大值，还可以演绎推导各种热力学方程，最著名的当属理想气体方程 PV=kNT， 其中 P是气体压力， V是气体体积， k是玻尔兹曼常数， N是气体的分子数目， T是气体温度。和热力学气体方程完全一致。 熵的概念很快被应用到其他学科，如高能物理，化学反应，破解生命之谜，等等。熵极大原理如此神通广大，令物理学家无比自豪，他们把熵的概念推广应用到金融，社会，宇宙等等应有尽有的领域，使得熵的概念成为流行文化话语。大浪淘沙，鱼龙混杂，熵概念的传播夹杂了许多误解和滥用。要理清熵的概念，我们还需要讨论和熵相关的各种话题。 土鳖扛铁牛。 |
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