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大衍之數五十和只其四十九之數
學理論及相關數學題
上傳書齋:瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要:卜筮時50蓍只用其49,本文以數學方法說明其理由。“虛一”其實
並無難解之處,其意指蓍雖有50,但只須用其49,即可得最後之餘
蓍數﹝所謂“掛扐”之數﹞總和為13,17,21及25,可以分別代
表老陽、少陰、少陽及老陰。若50蓍全用,則不能得以上四數。
本文亦提及以其他蓍數畫卦之可行性。
關鍵詞:大衍之數、揲蓍、掛扐之數、虛一、分二、掛一、揲四、一變、
二變、三變、掛一、掛法、不掛法、筮儀。
第1節大衍之數只用其四十九之原因和用四十八之
可行性
卜筮時50蓍只用其49,此舉令後世學者大感不解,為何?只用其四十九?
而不全用五十?其中有何特別意義?此所謂?虛一?之步驟是否可以略去?略
去此步驟是否令揲蓍成卦更為緊湊??虛一?看來?多此一舉?,因為五十與
四十九之差異不大,另一方面,五十已是?整齊?之數目,去其一得四十九,
變得非常?不整齊?,最不可解者四十九為奇數,古人一向不喜歡奇而喜歡
耦,但揲蓍畫卦時卻偏偏取去一枝而?只用其四十九?,有整齊之數不用而用
?蹩腳?之數,有自尋煩惱之嫌。宋?朱熹《周易本義?繫辭上傳》曰:
至用以筮,則又止用四十有九,蓋皆出於理,勢之自然,而非人之知力所
能損益也。
朱熹無解釋為何只用49枝而不用50枝,反加深其神祕性,乃?出於理、勢
-2-
之自然?,其意指此數以後人之智力﹝知力﹞不能減或加﹝損益﹞,此說更令
後人迷惑。朱熹一向喜用?理?以表達自然存在之事或物,一些無法解釋、不
必解釋或難以解釋之事或物,皆以?理?概括之,此乃後世所云之?理所當
然?。用49蓍而不用50是為?理?,其中之含義為?無法解釋、不必解釋
或難以解釋?。
至於捨去其一乃?象太極?之說相信始於魏?王弼,此說亦抽象。唐?孔
頴達《周易注疏?卷第十一?繫辭上》曰?
注云:王弼曰:演天地之數,所賴者五十也。其用四十有九,則其一不用
也。不用而用以之通,非數而數以之成,斯易之太極也。四十有九,數之
極也。夫無不可以無明,必因於有,故常於有物之極,而必明其所由之宗
也。
其後宋?朱熹承襲其說,《易學啟蒙?卷下》曰:
大衍之數五十而蓍一根百莖,可當大衍之數者二,故揲蓍之法取五十莖為
一握,置其一不用以象太極,而其當用之策凡四十有九,蓋兩儀體具而未
分之象也。
集說:崔氏憬曰:其用四十有九者,法長陽七七之數也。…捨一不用者以
象太極,虛而不用也。
朱熹解釋大衍之數之基數為一百,一百可作大衍之數二次,故取蓍五十
莖,而五十莖可一手握之。朱熹又依舊說“虛其一以象太極”,故可用之策為
四十有九。
事實上,若果只從哲學、文學或其他領域研究此問題不能得結果,但若果
從數學方面看此問題,則簡單得多,因為用50蓍依?筮儀??四揲?左份及右
份之?策?後,是無法得出?一變?後之總餘數和5或9,只有用49蓍方可得
此結果﹝見下節﹞,故?虛一?之步驟絕不可省略。
上文提及古人只捨去一枝,為何不捨去兩枝﹝或其他數目﹞?筆者相信此
乃由經驗而得。在?大衍之數?50尚未出現之前,先賢如須占卜,首先想到之
問題應為?須多少蓍方合??此應為一個以10為單位之不大不小之數,例如
30、40、50、60、…、100等。絕不會32、43、57、61、…等個位非0之數
目。經過反覆多次研究與實驗後,大概50蓍可以以一手全握﹝見上文《易學啟
蒙?卷下》之說﹞,於是便以50為基數,此乃?大衍之數?之由來。
?大衍之數?只用49無特別原因,目的為令?一變?後餘總數﹝連同從右
份取去一枝之數,稱為?掛一?,注意?虛一?與?掛一?不同﹞為5或9;
?二變?後餘總數﹝連同從右份取去一枝之數﹞為4或8;?三變?後餘總數
﹝連同從右份取去一枝之數﹞亦為4或8;於是?三變?後總餘數之和只有四
種:13、17、21、25。若不除去一枝而用50枝蓍求變,則不能得出上述四數,
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此四數分別代表?老陽?、?少陰?、?少陽?及?老陰?。若無此四數,則
不能成卦。
總言之?大衍之數五十,其用四十有九?並無難解之處,其意為?策或蓍
雖有50,但只須用其49,即可得最後之餘策數﹝所謂‘掛扐’之數﹞總和為
13,17,21及25,可分別代表老陽、少陰、少陽及老陰。?
以上之成卦步驟可參閱筆者之〈《周易》筮法揲蓍成卦之?掛法?及得四象
之概率〉及〈《周易》筮法揲蓍成卦之?不掛法?及得四象之概率〉兩文。
第2節大衍之數用其四十八之可行性
筆者曾經考慮此問題:如果取去2枝,用48枝﹝即大衍之數50,只用其
48,在此情況下乃?虛二?﹞蓍,能不能成卦?答案可以,以下是為揲48蓍之
成卦法。
依筮儀所述,將48枝蓍分成左右兩份,左份蓍數記為4a、4b+1、4c+2
或4d+3﹝a、b、c和d均為小於或等於11之正整數,而b、c、d可以為0﹞。
今以左份蓍數為4a為例,4枝一份地分後必餘4﹝餘數應為0,不取0,取
4﹞。則右份蓍數為48–4a,掛一後為47–4a,4枝一份地分後必餘3。
總餘數=左份蓍餘數+右份蓍餘數+右份蓍之掛一
﹝以後各變皆如此﹞
今以?一變?表為例,將左份蓍4枝一份地分,記下餘數(2)。將右份蓍先
取去一枝﹝掛一﹞(3),又4枝一份地分,又記下餘數(4);再將兩次餘數連同取
去一枝之數相加﹝(2)+(4)+1﹞,記下此總數。此即為?一變?。
?二變?和?三變?可以照步驟實施。現在先列成以下之?一變?表:
﹝若左份蓍數為4a,右份蓍數為48–4a,經?掛一?後數為47–4a,其餘類
推﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數(3)﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)總餘數
(2)+(4)+1
-4-
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
47–4a
47–(4b+1)=46–4b
47–(4c+2)=45–4c
47–(4d+3)=44–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
上表最右方之一欄數字是兩餘數之和﹝第2及第4欄﹞再加上從右份蓍取去
之一枝。從上表可知,?一變?後之餘數非4則8。餘下40或44蓍﹝48減8或
減4,而48是所用之蓍數﹞。依前述進行?二變?,將40或44枝蓍分或兩
份,求其餘數:
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
44枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
43–4a
43–(4b+1)=42–4b
43–(4c+2)=41–4c
43–(4d+3)=40–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
或40枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
39–4a
39–(4b+1)=38–4b
39–(4c+2)=37–4c
39–(4d+1)=36–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
?二變?後之餘數非4則8。此時餘下之蓍總數有三個可能之數:40﹝44–
4﹞、36﹝44–8或40–4﹞、32﹝40–8﹞。依前述方法進行?三變?,將
32、36或40枝蓍分成兩份,其可能情形如下表所列:
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
32枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
31–4a
31–(4b+1)=30–4b
31–(4c+2)=29–4c
31–(4d+3)=28–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
-5-
36枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
35–4a
35–(4b+1)=34–4b
35–(4c+2)=33–4c
35–(4d+1)=32–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
40枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
39–4a
39–(4b+1)=38–4b
39–(4c+2)=37–4c
39–(4d+1)=36–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
第四欄之餘數算出法可參閱一般數學書籍。可見?三變?後之餘數亦為非4
則8。三變之總餘數,可以以下列之樹形圖表示:
4=12(1)三少而為老;陽
4
8=16(2)二少一多而為少陰
4
4=16(3)二少一多而為少陰
8
8=20(4)二多一少而為少陽
⊙
4=16(5)二少一多而為少陰
4
8=20(6)二多一少而為少陽
8
4=20(7)二多一少而為少陽
8
8=24(8)三多而為老陰
?三變?後之總數和有四數:12,16,20和24。若得12,可代表老陽,16
可代表少陰,20可代表少陽,24可代表老陰。
揲蓍卦法則以13、17、21、25四數分別代表?老陽?、?少陰?、?少
陽?及?老陰?,用48策則其總和與用49策剛好少1。
故用48枝蓍一樣可以成卦。故?大衍之數用其四十有九?與?大衍之數
用其四十有八?,一樣是可以成卦﹝見下節之第二類數4n+1﹞。
那麼可否用其他數目之蓍數,例如47、46、45、44、…、或者51、52、
-6-
53、54、…?只要依上述之法算出其總和,看其是否符合條件,符合條件者即
可用﹝詳見下節﹞。
總言之,可用之蓍數應符合下列條件:
1.三變後之總餘數和﹝從樹形圖中可以看出﹞只有四個﹝不能多也不能
少﹞。
2.將此四數由小至大排列,最小者表老陽,其餘依次表少陰、少陽及老
陰。
3.若果總餘數之和少於四個,則不能用。
第3節大衍之數全用其五十﹝用掛一法﹞之結果
現在看看為何50枝蓍不能用﹝即不虛一﹞,以下是為用50蓍之結果。
用50枝蓍來?求變?時,其第一次結果可以列成下表﹝例如第一列:
50–4a–1=49–4a,其餘類推﹞:
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
49–4a
49–(4b+1)=48–4b
49–(4c+2)=47–4c
49–(4d+3)=46–4d
1
0﹝即4﹞
3
2
6
6
6
6
最右欄之總餘數是6,是兩餘數再加上從右份取去之一枝。經過?一變?
後,餘下44﹝以50減6﹞蓍,然後進行?二變?。將44蓍隨意分成左右兩份,
依?一變?時之法,將左份蓍四枝一份而分,將右份蓍取去一枝後亦四枝一份
而分,記下兩份蓍之餘數。將兩次餘數連同已取去一枝之數寫在下表之最右方
欄:
注意所用之蓍數為44。
-7-
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
43–4a
43–(4b+1)=42–4b
43–(4c+2)=41–4c
43–(4d+3)=40–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
從上表可看出,二變後餘總數﹝加上已取去右份之一枝﹞共有2:8、4。經
過?二變?後,餘下40(44–4)或36(44–8)蓍。再進行三變:
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
40枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
39–4a
39–(4b+1)=38–4b
39–(4c+2)=37–4c
39–(4d+3)=36–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
36枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
35–4a
35–(4b+1)=34–4b
35–(4c+2)=33–4c
35–(4d+3)=32–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
從上表可知餘數非4即8。
將各變總數列成如下之樹形圖:
4=14
4
8=18
⊙--------6
4=18
8
8=22
因為只有三數﹝14、18、22﹞,不合符要求。故用50枝蓍不可以畫卦。故
大衍之數50只能用其49就是此原因。
-8-
第4節大衍之數全用其五十﹝不掛一法﹞之結果
亦可能考慮此問題:用50蓍而右份蓍不取去一枝﹝即不掛一﹞,如此又是
否可行?只要看下表即可:
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
50–4a
50–(4b+1)=49–4b
50–(4c+2)=48–4c
50–(4d+3)=47–4d
2
1
0﹝即4﹞
3
6
2
6
6
餘下44(50–6)枝或48枝(50–2),再進行?二變?:
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)
48枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
48–4a
48–(4b+1)=47–4b
48–(4c+2)=46–4c
48–(4d+3)=45–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
或44枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
44–4a
44–(4b+1)=43–4b
44–(4c+2)=42–4c
44–(4d+3)=41–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
餘下蓍數為44(48–4)、40(48–8)或(44–4)或32(44–8)。進行?三
變?:
下表蓍數44與上表蓍數44相同。
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)
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44枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
44–4a
44–(4b+1)=43–4b
44–(4c+2)=42–4c
44–(4d+3)=41–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
40枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
40–4a
40–(4b+1)=39–4b
40–(4c+2)=38–4c
40–(4d+3)=37–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
32枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
32–4a
32–(4b+1)=31–4b
32–(4c+2)=30–4c
32–(4d+3)=29–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
依各變總餘數畫成樹形圖:
4=10(1)三少而為老;陽
4
8=14(2)二少一多而為少陰
2
4=14(3)二少一多而為少陰
8
8=18(4)二多一少而為少陽
⊙
4=14(5)二少一多而為少陰
4
8=18(6)二多一少而為少陽
6
4=18(7)二多一少而為少陽
8
8=22(8)三多而為老陰
從以上之樹形圖可知,總餘數共有四個:10、14、18、22,可分別代表老
陽、少陰、少陽及老陰,理論上可以成卦。至於各餘數出現之次數,餘數14和
18各出現3次,10和22各出現1次。
-10-
因為從右份蓍不取去一枝不符合傳統之揲蓍畫卦法﹝此即所謂?不掛
法?﹞,不作深入探討。
第4節以其他蓍數畫卦之結果
上文談及50枝蓍只用其49枝,便可畫卦,其他數目又是否可用?一數除以
4後,餘數不外四個:0、1、2或3,不妨考慮此四類數:4n、4n+1、
4n+2、4n+3,此四類數除以4後其餘數分別為0、1、2或3,寫成同餘式如
下:
4n≡0(mod4),
4n+1≡1(mod4),
4n+2≡2(mod4),
4n+3≡3(mod4)。
如果畫卦之步驟和以前完全相同﹝依?筮儀?揲蓍法,先取去一枝﹝虛
一﹞,分成兩份後﹝分二﹞又從右份取去一枝﹝掛一﹞,總共減2蓍。此即所
謂?虛一、分二、掛一、揲四?。注意?虛一?與?掛一?之步驟不同,?虛
一?在前,?掛一?在後。
兩份各四枝一份而分﹝揲四﹞,然後求餘數總和,其不同之情形如下:
第一類數:4n﹝取去一枝後餘4n–1枝,即?虛一?。﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)
右份蓍數
﹝取去一枝,即掛一﹞
除以四後之
餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–2–4a
4n–2–(4b+1)=4n–4b–3
4n–2–(4c+2)=4n–4c–4
4n–2–(4d+3)=4n–4d–5
2
1
0﹝即4﹞
3
7
3
7
7
注意以下同餘式:
4n–2–4a≡–2≡–2+4≡2(mod4);
4n–4b–3≡–3≡–3+4≡1(mod4);
4n–4c–4≡–4≡–4+4≡0≡4(mod4);
-11-
4n–4d–5≡–5≡–5+8≡3(mod4)。
經過一變後,餘下4n–1–7枝﹝即4n–8枝,注意4n–1是開始時所用之
蓍數﹞或4n–1–3枝﹝即4n–4﹞枝。依步驟進行?二變?:
左份蓍數除以四後之餘數(2)
右份蓍數
﹝取去一枝,即掛一﹞
除以四後之
餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–4枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–5–4a
4n–5–(4b+1)=4n–4b–6
4n–5–(4c+2)=4n–4c–7
4n–5–(4d+3)=4n–4d–8
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下蓍數為4n–8–4=4n–12、4n–8–8=4n–16或4n–4–4=4n–8、
4n–4–8=4n–12。進行?三變?:
左份蓍數除以四後之餘數(2)
右份蓍數
﹝取去一枝,即掛一﹞
除以四後
之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–16枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–17–4a
4n–17–(4b+1)=4n–4b–18
4n–17–(4c+2)=4n–4c–19
4n–17–(4d+3)=4n–4d–20
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–12枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–13–4a
4n–13–(4b+1)=4n–4b–14
4n–13–(4c+2)=4n–4c–15
4n–13–(4d+3)=4n–4d–16
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
-12-
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
依各變畫成樹形圖:
4=11(1)三少而為老;陽
4
8=15(2)二少一多而為少陰
3
4=15(3)二少一多而為少陰
8
8=19(4)二多一少而為少陽
⊙
4=15(5)二少一多而為少陰
4
8=19(6)二多一少而為少陽
7
4=19(7)二多一少而為少陽
8
8=23(8)三多而為老陰
從上面樹形圖可知,總餘數共有四:11、15、19、23,可分別代表老陽、
少陰、少陽及老陰,有這四個數,理論上可以畫卦。
第二類數:4n+1﹝取去一枝後餘4n枝,即?虛一?。﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–1–4a
4n–1–(4b+1)=4n–4b–2
4n–1–(4c+2)=4n–4c–3
4n–1–(4d+3)=4n–4d–4
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下4n–8枝或4n–4枝,進行?二變?:
-13-
左份蓍數除以4後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–4枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–5–4a
4n–5–(4b+1)=4n–4b–6
4n–5–(4c+2)=4n–4c–7
4n–5–(4d+3)=4n–4d–8
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下蓍數為4n–8–4=4n–12、4n–8–8=4n–16或4n–4–4=4n–8、
4n–4–8=4n–12。進行?三變?:
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–16枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–17–4a
4n–17–(4b+1)=4n–4b–18
4n–17–(4c+2)=4n–4c–19
4n–17–(4d+3)=4n–4d–20
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–12枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–13–4a
4n–13–(4b+1)=4n–4b–14
4n–13–(4c+2)=4n–4c–15
4n–13–(4d+3)=4n–4d–16
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
-14-
依各變畫成樹形圖:
4=12(1)三少而為老;陽
4
8=16(2)二少一多而為少陰
4
4=16(3)二少一多而為少陰
8
8=20(4)二多一少而為少陽
⊙
4=16(5)二少一多而為少陰
4
8=20(6)二多一少而為少陽
8
4=20(7)二多一少而為少陽
8
8=24(8)三多而為老陰
從上面樹形圖可知,總餘數共有四個:12、16、20、24,可分別代表老
陽、少陰、少陽及老陰,所以理論上可以畫卦。注意上面之樹形圖和?大衍之
數四十九,其用四十有八?一樣;可參閱前文。
第三類數:4n+2﹝取去一枝後餘4n+1枝,即?虛一?。﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–4a
4n–(4b+1)=4n–4b–1
4n–(4c+2)=4n–4c–2
4n–(4d+3)=4n–4d–3
0﹝即4﹞
3
2
1
9
5
5
5
餘下蓍數4n+1–9=4n–8或4n+1–5=4n–4。進行?二變?:
-15-
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–4枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–5–4a
4n–5–(4b+1)=4n–4b–6
4n–5–(4c+2)=4n–4c–7
4n–5–(4d+3)=4n–4d–8
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下蓍數為4n–8–4=4n–12、4n–8–8=4n–16或4n–4–4=4n–8、
4n–4–8=4n–12。進行?三變?:
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–16枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–17–4a
4n–17–(4b+1)=4n–4b–18
4n–17–(4c+2)=4n–4c–19
4n–17–(4d+3)=4n–4d–20
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–12枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–13–4a
4n–13–(4b+1)=4n–4b–14
4n–13–(4c+2)=4n–4c–15
4n–13–(4d+3)=4n–4d–16
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
-16-
依各變畫成樹形圖:
4=13(1)三少而為老;陽
4
8=17(2)二少一多而為少陰
5
4=17(3)二少一多而為少陰
8
8=21(4)二多一少而為少陽
⊙
4=17(5)二少一多而為少陰
4
8=21(6)二多一少而為少陽
9
4=21(7)二多一少而為少陽
8
8=25(8)三多而為老陰
從上面樹形圖可知,總餘數共有四個:13、17、21、25,可分別代表老
陽、少陰、少陽及老陰,有四數可以畫卦。
第四類數:4n+3﹝取去一枝後餘4n+2枝,即?虛一?。﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n+1–4a
4n+1–(4b+1)=4n–4b
4n+1–(4c+2)=4n–4c–1
4n+1–(4b+3)=4n–4d–2
1
0﹝即4﹞
3
2
6
6
6
6
上表最右欄總餘數只有一個6,餘下4n+2–6=4n–4枝。進行?二
變?:
-17-
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–4枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–5–4a
4n–5–(4b+1)=4n–4b–6
4n–5–(4c+2)=4n–4c–7
4n–5–(4d+3)=4n–4d–8
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下蓍數為4n–4–4=4n–8、4n–4–8=4n–12。進行?三變?:
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝,即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–12枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–13–4a
4n–13–(4b+1)=4n–4b–14
4n–13–(4c+2)=4n–4c–15
4n–13–(4d+3)=4n–4d–16
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
現將各變總數列成樹形圖:
4=14
4
8=18
⊙------6
4=18
8
8=22
因為只有三數14、18和22,所以不可以畫卦。上面之樹形圖其實和50枝
蓍之樹形圖相同。
故四類數中只有4n、4n+1、4n+2﹝n可以是任何正整數﹞三類數可以
畫卦,而4n+3則不可。因任何數目均可寫成4n、4n+1、4n+2和4n+3之
-18-
形式,換言之,在整數集合中,43之數可以以揲蓍法成卦。以上之結果表列如
下,以清眉目:
數類數類通項﹝大衍之數﹞實際用數﹝虛一後之數﹞能否以揲蓍法成卦
第1類4n4n–1可
第2類4n+14n可
第3類4n+24n+1可
第4類4n+34n+2不可
現將各類數之老陽、少陰、少陽和老陰所代表之數表列如下:
類數類通項﹝大衍之數﹞老陽﹝頻率:1﹞少陰﹝頻率:3﹞少陽﹝頻率:3﹞老陰﹝頻率:1﹞
14n11151923
24n+112162024
34n+213172125
44n+3不能成卦
上表中之?頻率?,即樹形圖中四象所出現之次數。例如49,即
n=12,屬第2類數,經過?虛一、分二、掛一、揲四?後,所得之樹形圖老
陽出現1次,少陰出現3次,少陽出現3次和,老陰出現1次。第1類之老陽
數、少陰數、少陽數和老陰數分別為11、15、19和23,其他2類可以類推。從
上表可知,此四象之代表數乃依大衍之數之增大而遞增。
又從各數遞增之次序看來,第4類數4n+3之老陽、少陰、少陽和老陰數
疑作14、18、22和26,事實並非如此,此類數不能畫卦。
在第3類數中,4n+2中之n如果為12,即得50,是為?大衍之數?,顯
然可以成卦﹝必須依步驟,即須虛一﹞。若n=12,則4n+1=49,在上節談過
48蓍﹝49–1﹞亦可以畫卦。若n=12,則4n+3=51,51–1=50,以前說
過,全用50枝蓍﹝不虛一﹞不可成卦。其他之數目類推。
重複一次,成卦之步驟須古法,即依朱子?筮儀?所云,即?虛一、分
二、掛一和揲四?,若在二變和三變時不?掛一?,所得之結果即不同,上面
之兩表亦不合用。
-19-
至於各類數之所得四象概率本文無算出。
以下為相關之數學題:
【例1】有蓍十朿,數目分別是49、50、51、60、65、83、122、41、162、287
枝,試問何數目不能揲蓍成卦?
解:
將以上各數寫成4n+r之形式,若r=3,則不能揲蓍成卦。
49=4×12+1,可以揲蓍成卦﹝第2類﹞。
50=4×12+2,可以揲蓍成卦﹝第3類﹞。
51=4×12+3,不可以揲蓍成卦﹝第4類﹞。
60=4×12,可以揲蓍成卦﹝第1類﹞。
65=4×16+1,可以揲蓍成卦﹝第2類﹞。
83=4×20+3,不可以揲蓍成卦﹝第4類﹞。
122=4×30+2,可以揲蓍成卦﹝第3類﹞。
41=4×10+1,可以揲蓍成卦﹝第2類﹞。
162=4×40+2,可以揲蓍成卦﹝第1類﹞。
287=4×71+3,不可以揲蓍成卦﹝第4類﹞。
【例2】有蓍12345678779924莖,能否揲蓍成卦?以何數代表四象?
解:
因為此數之個位與十位為24,而24可以被4整除﹝可以以同餘式
証明﹞,故12345678779924可以被4整除,從上表可知屬第1類
數,可以揲蓍成卦。又從上表可知,老陽數、少陰數、少陽數和老
陰數分別為11、15、19和23。
最後一提者為:先哲揲蓍畫卦,為何要?揲四??不?揲二?、?揲
三?、?揲五?或其他數目?答案很簡單,因為揲四可以有四個餘數,而揲二
只有兩個餘數,揲三有三個,揲五有五個,…揲n有n個,皆不符合要求。
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