递归算法详解

知识cm 2017-03-16

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递归算法详解

C语言通过运行时堆栈来支持递归的调用，在我们刚接触递归的时候，国内很多教材都采用求阶乘和菲波那契数列来描述该思想，就如同深受大家敬爱的国产的C语言程序设计，老谭也用了阶乘来描述递归，以至于很多新手一看见阶乘就理所当然的认为是递归，坑了不少人，说实在的，描述这个思想还是可以，但是利用递归求阶乘可是没有一点好处，递归解决菲波那契数列效率更是低得惊人，这点是显而易见的！废话不多说，接下来我们进入正题！（不过说实话，我很讨厌接下来这些太理论的东西，说到底就是那么个意思，大家懂就好了，也可以当看看故事！我主要说的就是各种各样递归的实例）

1：递归算法的思想

递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。然后递归调用函数（或过程）来表示问题的解。在C语言中的运行堆栈为他的存在提供了很好的支持，过程一般是通过函数或子过程来实现。

递归算法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。

2：递归算法的特点：

递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。

递归算法解决问题的特点：

(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。

(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

3：递归算法的要求

递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：

一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；

二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；

三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。

4：各式各样利用递归的问题

1：首先看看那些传统的问题吧，如使用递归来解决斐波那契数列的第n个数是多少？（开始从1开始）

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print?

#include <iostream>
using namespace std;
int Fib(int index);
int main(int argc, char* argv[])
{
cout<<Fib(12)<<endl;
system("pause");
return 0;
}
int Fib(int index)
{
if(index==1 || index==2)
return index;
else
return Fib(index-1) + Fib(index-2); //开始递归调用
}

写程序的时候我测试了一下，假如要第100个数字，那时间可不知道等了多久，调用函数达到了上千次，速度太慢，对于这种情况，我们对比一下不使用的递归的时候时间消耗，这里只需要多加一个函数即可

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print?

#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;
int Fib2(int index);
int Fib1(int index);
int main(int argc, char* argv[])
{
clock_t start,finish;
cout<<"不使用递归:"<<endl;
start = clock();
cout<<"所得结果为 "<<Fib2(40)<<endl;
finish = clock();
cout<<"时间消耗为 "<<finish - start<<"毫秒"<<endl;
cout<<endl;
cout<<"使用递归:"<<endl;
start = clock();
cout<<"所得结果为 "<<Fib1(40)<<endl;
finish = clock();
cout<<"时间消耗为 "<<finish - start<<"毫秒"<<endl;
system("pause");
return 0;
}
int Fib1(int index)
{
if(index==1 || index==2)
return index;
else
return Fib1(index-1) + Fib1(index-2); //开始递归调用
}
int Fib2(int index)
{
if(index == 1 || index ==2)
return index;
int *array = new int [index+1];
array[1]=1; //第0个元素没有使用
array[2]=2;
for(int i=3;i<=index;++i)
array[i] = array[i-1] + array[i-2];
return array[index];
}

运行结果：

结果显而易见，差距太明显，在这里我们同时求第40个斐波那契数字比较时间消耗，所以大家可以看到递归的时间消耗是非常严重，而且效率非常低下，上面已经说了，在可以不用递归的时候尽量不用，那么递归是不是一无是处勒？答案是否定的，在很多程序设计大赛中，有很多题用一般的思路是很难解的，或者是过程繁琐，如果适当的利用递归，结果将事半功倍！！！

2:递归的汉诺塔

这个程序以及说明在分治算法那一节已经说了,递归和分治通常都是结合在一起使用的,一次次的缩小范围,而且子问题和原问题具有相同的结构!　　这里我直接把汉诺塔代码拷贝过来，就不多说了！

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print?

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
static int count = -1;
void move(char x,char y); // 对move函数的声明
void hanoi(int n,char one,char two,char three) ;// 对hanoi函数的声明\
int main()
{
int m;
printf("请输入一共有多少个板子需要移动:");
scanf("%d",&m);
printf("以下是%d个板子的移动方案:\n",m);
hanoi(m,'A','B','C');
system("pause");
return 0;
}
void hanoi(int n,char one,char two,char three) // 定义hanoi函数
// 将n个盘从one座借助two座,移到three座
{
if(n==1)
move(one,three);
else
{
hanoi(n-1,one,three,two); //首先把n-1个从one移动到two
move(one,three); //然后把最后一个n从one移动到three
hanoi(n-1,two,one,three); //最后再把n-1个从two移动到three
}
}
void move(char x,char y) // 定义move函数
{
count++;
if( !(count%5) )
printf("\n");
printf("%c移动至%c ",x,y);
}

３：兔子繁殖问题（递归实现）

一对小兔子一年后长成大兔子，一对大兔子每半年生一对小兔子，大兔子的繁殖期为４年，兔子的寿命为６年，假定第一年年初投放了一对小兔子，请编程实现，第Ｎ年年末总共有多少只兔子，Ｎ由键盘输入！

解析，这个题目比较好懂，也就是一对小兔子前一年长大，然后每半年产一对小兔子，持续４年，然后最后一年不生殖了，再过一年死亡，题目看似简单，其实要想递归起来可不是那么容易的，大家可以想一下！

代码如下：

4：整数的划分问题

将一个整数分解为若干个整数之和的形式，比如 n = n1+n2+n3+n4··········！不同划分的个数称为N的划分数。

例如对于6而言：

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3;3+2+1;3+1+1+1;

2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1 一共有6种！

1、 q(n,1) = 1 ，n>=1 ;
当最大加数不大于1时，任何正整数n只有一种表示方式：n = 1+1+……+1 。n个1的和。
2、q( n,m ) = q( n,n )，n<=m; 最大加数不能大于n。
3、 q( n,n ) = 1 + q( n , n-1 ); 正整数的划分由n1=n和n1<=n的划分组成。
4、q( n,m ) = q( n,m-1 )+q( n-m,m ), n>m>1；正整数n的最大加数不大于m的划分由 n1=m的划分和n1<m的划分组成。

现在可以依据这个递推原理写出程序：

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print?