考不好SAT数学，你可能输在知识点漏洞上

看点  在新SAT的考试中，数学最应该得到重视，因为在满分1600分中，数学单项占50%的计分份额。美国的数学要求和题目的运算难度非常基础，几乎达不到中国的中学数学教育的“低端线”。也正因如此，中国学生“大意失荆州”，期望得到高分的学生往往在数学部分出现疏漏。因此，本文作者美国密歇根州立大学教育学博士王鹤群，将中国学生在新SAT中可能遇到的一些难点和重点进行了详尽的总结。SAT数学系列文章，王博士将带你理清数学知识点，本文为第一篇代数篇。

文 | 王鹤群    编辑 | 李臻

学生在新SAT考试后，往往捶胸顿足的说：“哎，数学又因为马虎丢分了！”那么，我们不妨先看看这个“马虎”到底包括了几个方面和维度。

1

数学相关词汇准备不充分

这个方面看似不起眼，其实是大多数学生SAT数学丢分的主要原因：单词不认识。很简单，如果题目需要你选中一个integer，而你并不知道integer的意思是“整数”，那么这道题目你就不能确保答对。

又如，题目说一个三角形是isosceles,而你碰巧不知道isosceles是“等腰三角形”的意思，那么你将会遗漏两个决定性条件：两条边相等，两个角相等。

再如，如果题目说independent variable和dependent variable之间是linear relationship，而你既不知道independent variable是自变量X，也不知道dependent variable是因变量Y,同时你也不知道linear relationship是线性关系。那么，这句话的实质Y=aX b（一元一次方程）就不可能被你获知了。

由这几个例子可以看出：词汇不稳，丢分最狠。因此，强烈建议广大考生在备考过程中认真牢记数学词汇。

那么，这些数学词汇到何处搜集呢？请用“AMC数学词汇”为关键词上网去搜。你会找到很多数学词汇列表，在此我便不赘述了。

2

数学相关表述没有看懂

这个方面体现了中美的数学教学的差异：中国强调推导和运算，而美国更加注重计算本身的实际意义。新SAT要求考生能够做到“quantitatively literate”，即：能够看懂数学表述。

比方说，绝大多数中国SAT考生都会计算一元一次方程Y=aX b。但是，如下的表述却构成了很多学生的难点：What?is?the?meaning?of?the?slope?in?the?equation?Y=aX b??

事实上，slope斜率是“针对每一个单位的自变量X的增加，因变量Y所产生的变化（增加或者减少）”，即：Slope?means?the?increase/decrease?of?the?dependent?variable?Y?with?respect?to?one?unit?increase?of?the?independent?variable?X.

这个表述的重点目的，是让学生知道数学的实际意义。

比方说，由Y=aX b可以推知其逆函数（又名：反函数）为X=（Y-b）/a。在数学运算上，这两个方程是没有差别的，他们可以计算出一致的结果。但是在数学实际应用含义上，二者却有着明显差别。

表面上看，两个公式的自变量和因变量不同，而恰恰自变量就是日常生活和工作的着手点。自变量是客观生活中我们实际可以直接观察或者调控的变量，同时基于它和因变量之间的关系，我们期待通过自变量的变化来推知因变量的变化。

由此可见，自变量和因变量的关系是“抛砖引玉”，“窥斑见豹”：若自变量是“砖”，则因变量就是“玉”，如果自变量是“斑”，那么因变量就是“豹”。

通过这个比较，学生可以看出：在SAT备考过程中，要逐渐掌握所有计算公式的实际应用含义。会计算仅仅是第一步，第二步是要学会以英文作为载体的数学表述。

3

数学知识体系中有遗漏点

很多学生宁可承认自己数学没有看懂，也不愿意承认自己是不会做某道题目，因为大家都觉得“数学简单”，这时候承认自己不会就有点面子上过不去。

事实上，美国的数学和中国的数学虽然面对同样的知识体系，但是侧重点不一样，遇到陌生题目也在意料之中。

关键是要提前周密准备，不打无准备之仗。因此，本文着重给出新SAT考试中学生需要掌握的知识点，请广大考生认真排查。

代数Algebra

1、一元一次方程/不等式

知识点 ▼

• 例题1：(2016年5月的亚太题目)

Salim?wants?to?purchase?tickets?from?a?vendor?to?watch?a?tennis?match.?The?vendor?charges?a?one-time?service?fee?for?processing?the?purchase?of?the?tickets.?The?equation?T?=?15n? ?12?represents?the?total?amount?T,?in?dollars,?Salim?will?pay?for?n?tickets.?What?does?12?represent?in?the?equation?

A)?The?price?of?one?ticket,?in?dollars

B)?The?amount?of?the?service?fee,?in?dollars

C)?The?total?amount,?in?dollars,?Salim?will?pay?for?one?ticket

D)?The?total?amount,?in?dollars,?Salim?will?pay?for?any?number?of?tickets

解析：第一句话给出的是题目的实际含义和背景。

本题的考点是对于一元一次方程的解释。对于本题的阅读感到吃力的同学，请努力提高数学的阅读理解水平。

• 例题2：(2016年5月的亚太题目)

Snow?fell?and?then?stopped?for?a?time.?When?the?snow?began?to?fall?again,?it?fell?at?a?faster?rate?than?it?had?initially.?Assuming?that?none?of?the?snow?melted?during?the?time?indicated,?which?of?the?following?graphs?could?model?the?total?accumulation?of?snow?versus?time?

解析：“a faster rate”说的是斜率更大，因此在图像表现上更加陡峭。中间停雪阶段的积雪图像应该是与x轴平行的线段。

这种表达在物理的溶解，蒸发，凝华，升华等物态变化上比较常用，也是新SAT考察的一项重点。本题答案为A。做错的同学需要复习相关知识。

• 例题3：

一元一次不等式，包括算法和意义不是中国广大考生的难点，但是新SAT考试中侧重图像表达和理解，因此还是需要展示一下一元一次不等式的图像。

如图，斜着的直线是y=2x-5的图像。那么，y>2x-5的图像就是这条直线的上方，因为针对每一个x值，直线上方的点都能够满足y>2x-5。因此，一元一次方程的图像是一条直线，但是一元一次不等式的图像则是由相应的直线所划定的一片区域。

• 例题4：

一般的ratio的题目比较简单，所以考试的时候会考综合ratio的概念。这里提供一个假设的例子（不是真题，但是真题的难度与此相同）。

某人从A走到B。先用了x小时,a速度从A走到C，然后又用了ｙ小时，b速度从Ｃ走到Ｂ。问：该人从A走到B的平均速度。

解答：速度=距离/时间。这是一个经典的ratio公式。按照这个公式，可以列出如下算式：Speed=(xa yb)/(x y)

当然，这个算式还需要考虑到计算单位的转换，如速度应该转换为时速，才能和小时相乘。而且，如果原文增加了条件，如，在C点做了n分钟的停留，则算式应该变成：Speed=(xa yb)/(x y n/60)

可见，对于ratio的考察，需要学生一定要弄清概念，整合条件，才能得出正确答案。这种题目的干扰项很有趣，很多美国学生会直接用(a b)/2作为平均速度。

• 例题5：

在新SAT真题中考过的复合函数难度级别比较低。因此，我在下文给出一个假设的例子，该例子的难度级别更高一点，有利于学生的备考。

F(x)=ax b,?G(x)=cx d,?求G[F(x)]和F[G(x)]之间的关系。

解：G[F(x)]?=c?F(x) d=?c?(ax b) d=acx cb d

F[G(x)]=?a?G(x) b=a(cx d) b=acx ad b

可见：G[F(x)]-?F[G(x)]=?(c-1)b (1-a)d,?G[F(x)]与F[G(x)]并不直接相等。

以下给出一道复合函数的例子：（Official?Guide上的题目）

A?function?f?satisfies?f?(2)?=?3?and?f?(3)?=?5.?A?function?g?satisfies?g(3)?=?2?and?g(5)?=?6.?What?is?the?value?of?f?(g(3))??

(A)?2?(B)?3?(C)?5?(D)?6?

答案是B。

• 例题6：(Official?Guide例题)

The?stratosphere?is?the?layer?of?the?Earth’s?atmosphere?that?is?more?than?10?kilometers?(km)?and?less?than?50?km?above?the?Earth’s?surface.?Which?of?the?following?inequalities?describes?all?possible?heights?x,?in?km,?above?the?Earth’s?surface?that?are?in?the?stratosphere?

(A)?|x 10|<50

(B)?|x-10|<50

(C)?|x 30|<20

(D)?|x-30|<20

解析：在新SAT中考核的和绝对值有关系的题目大多是衡量一个数轴上的距离。本题x的数值在10到50之间，即：x距离线段10到50的中点30的距离应该在20之内，所以答案应该是D。画图会辅助这类题目的解答。

2、二元一次方程组/不等式

二元一次方程组/不等式是在一元一次方程组/不等式的基础上演化而来，本身没有太多难点。在考试的时候，比较偏重的知识点有：

• 例题10：(2016年5月的亚太题目)

A?laundry?service?is?buying?detergent?and?fabric?softener?from?its?supplier.?The?supplier?will?deliver?no?more?than?300?pounds?in?a?shipment.?Each?container?of?detergent?weighs?7.35?pounds,?and?each?container?of?fabric?softener?weighs?6.2?pounds.?The?service?wants?to?buy?at?least?twice?as?many?containers?of?detergent?as?containers?of?fabric?softener.?Let?d?represent?the?number?of?containers?of?detergent,?and?let?s?represent?the?number?of?containers?of?fabric?softener,?where?d?and?s?are?nonnegative?integers.

Which?of?the?following?systems?of?inequalities?best?represents?this?situation?

解析：本题的重点就是阅读理解。如果理解的不到位，就会选错。本题答案是A，做错的同学需要提高数学相关的阅读理解。

同理，二元一次方程组的另一个易错点是没有认清题目要求。

比方说，大多数学生都会列二元一次方程组来习惯性的求解x,y，但是也许题目最终的要求是x 2y等于多少，这样很多学生因为忽略最终要求就容易出错。因此，二元一次方程组的解题关键，是一定要认真注意结尾的要求问的是什么。

• 例题11：如下图所示：

蓝色直线是y=2x-5,红色直线是y=0.5x 15。满足这个二元一次方程组的解是蓝红两条直线的交点（40/3，65/3）。

如果是二元一次不等式，则满足条件的值为相应的区域。

比方说：满足y>2x-5的点落在蓝色直线的上方，而满足y<0.5x 15的点落在红色直线的下方。

因此，同时满足这个二元一次方程组的点应该落在两条直线交点左下方的上红下蓝的夹角之内。

3、一元二次方程/不等式

一元二次方程是新SAT数学的考试重点，也是一些学生会开始感觉到难度的题目。其知识点的重点是factoring，因式分解。以下列出知识点。

• 例题15：（OfficialGuide上的题目）

4、幂函数/指数函数/对数函数

对于幂函数和指数函数的基本运算，新SAT强调的是如下知识点：

• 例题17：

In ?planning? maintenance ?for? a? city’s ?infrastructure,?a?civil?engineer?estimates?that,?starting?from?the?present,?the?population?of?the?city?will?decrease?by?10?percent?every?20?years.?If?the?present?population?of?the?city?is?50,000,?which?of?the?following?expressions?represents?the?engineer’s?estimate?of?the?population?of?the?city?t?years?from?now?

解析：这道题目虽然考的是人口减少，但是其本质就是银行的复利问题。答案是D。

题目的真正难点是：计算单位要一致。题目中说：每20年减少10%，?则计算年代的单位应该是20年而不是单独的一年。因此，t年的计数单位应该是t/20，而不能直接是t.

• 例题18：（Official?Guide?上的题目）

A?radioactive?substance?decays?at?an?annual?rate?of?13?percent.?If?the?initial?amount?of?the?substance?is?325?grams,?which?of?the?following?functions?f?models?the?remaining?amount?of?the?substance,?in?grams,?t?years?later?

解析：这道题答案是A。

从公式上看，这道题的自变量貌似是t，因此看起来像是指数函数。但是它的本质和幂函数里面的复利计算没有什么差别。

这种题目的真正难点是：计算单位要一致。比方说，这道题目里面的t如果不是years,而是months，那么指数部分就不能是t,?而应该是t/12。Annual?rate一定要和years这两个变量的计算单位要一致。

5、三角函数

三角函数的第一大拦路虎是单词，如trigonometry；?这部分的生词建议学生多多准备。其知识点如下：

• 例题19：(Official Guide上的题目)

解析：由sinα=cos(90-α)知道，K一定是90度，即答案C，π/2。本题考核的是三角函数的基本知识。

6、虚数的计算

7、数论的基本运用

说起数论，貌似很高深的意思。但是新SAT中考核的数论都是中国学生初中以前接触到的很基础的知识。

比方说，要区分质数(prime?number)、合数(composite?number)。知道2是最小的质数，唯一是偶数的质数，质数是除了1和它本身，不含有其他因子的自然数。因此，当看到这样一道题目的时候，就应该知道如何计算：

What’s?the?sum?of?the?four?prime?numbers--?x,?y,?x-y?and?x y?

解析：当看到four?prime?numbers就要知道，这里大多数都应该是奇数。

而如果x,y都是奇数，则x-y和x y应该都是偶数。因为数论中清晰的表明：“奇数加减奇数得到偶数，偶数加减偶数得到偶数，偶数加减奇数得到奇数”。

因为在所有的prime?numbers中，只能有一个偶数，故“x,y都是奇数”这个假设不成立，因此x和y中必然有个2。因为x-y是prime?number，所以y=2。

再进一步，y=2时，x-2,?x,?x 2是三个连续的奇数，这其中必然有一个可以被3整除（数论中有“三个连续的自然数中，有一个可以被3整除”。

由此可以推导出：“三个连续的奇数中，有一个可以被3整除”【不会这个推导证明的同学，可以去找你的老师补习了】）。

那么，只能让x-2=3，既满足被3整除，又满足prime?number的条件。因此，这四个prime?numbers变成了2,3,5,7，他们的和是17。

这里先不给出例题，留出空间，让学生可以多学习一下数论的实际应用。

8、其他

有的代数题目，貌似没有归在任何类别里面，其实只要灵活变通，答案自现。比方说：

（清晰版点击查看大图）

解析：这道题的公式非常复杂，是中国房贷中用到的“等额本息”的还款公式。

然而，题目的要求却非常简单。“gives?P?in?terms?of?m,?r,?and?N”本身就是一个移项的要求。答案是B.

小结：

上文主要总结了新SAT在代数部分会考到的题目的要点和特征。有关于其他的考点和相关特征，将会在后续的文章中继续总结。希望对于广大考生有所助益。