·技巧聚焦·
◇
江苏
刘新春
高考数学试题中，渗透各种数学思想和方法，体
现以考查“三基”为重点的导向，知识覆盖面广，题型
灵活多变
．
解答选择题的基本要求是准确、迅速
．
不局
限于直接法，灵活运用各种方法以求达到准确、迅速
解题的目的，要多想少算，甚至不算
．
１
排除法
从题设条件出发，逐步剔除干扰项，从而得出正
确的判断，此法也称为排除法
．
例
１
（
２０１１
年江西卷）如图
１
，一个“凸轮”放置
于直角坐标系
ｘ
轴上方，其“底端”落在原点
Ｏ
处，一
顶点及中心
Ｍ
在
ｙ
轴正半轴上，它的外围由以正三
角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段
等弧组成
．
图１
今使“凸轮”沿
ｘ
轴正向滚动前进，在滚动过程中
“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断
移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高
点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为
（
）
．
随着转动，
Ｍ
的位置会先变高，当三角形的
顶点转到最底端时，
Ｍ
最高，排除
Ｃ
、
Ｄ
选项，
而最高点的高度始终与旋转开始前相同，因此排除
Ｂ
，选
Ａ．
２
特值法
根据题干或选择支的表述，通过选取满足题设条
件的特殊值、特殊式、特殊方程、特殊曲线，达到肯定
一支或否定三支的目的，称为特值法
．
此法是解选择
题的常用方法
．
例
２
已知
α
、
β
∈
（
０
，
π
２
），则有（
）
．
Ａｃｏｓ
（
α＋
β
）
＞ｃｏｓα＋ｃｏｓ
β
；
Ｂｃｏｓ
（
α＋
β
）
＜ｃｏｓα＋ｃｏｓ
β
；
Ｃｃｏｓ
（
α＋
β
）
＞ｓｉｎα＋ｓｉｎ
β
；
Ｄｃｏｓ
（
α＋
β
）
＜ｓｉｎα＋ｓｉｎ
β
常规思路是先展开
ｃｏｓ
（
α＋
β
），再分别以正
弦或余弦函数为主，讨论其系数的值的范
围
．
过程繁冗、费时
．
如取
α＝
β
＝
π
４
，返代入各选项中
迅速淘汰
Ａ
、
Ｃ．
再取
α＝
β
＝５°
，则
α＋
β
＝１０°
，显然
Ｂ
被淘汰，故选
Ｄ．
３
代入法
将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得
正确的判断
．
即将各选择项分别作为条件，去验证命
题，能使命题成立的选择项就是应选的答案
．
例
３
已知
ａ
、
ｂ
、
ｃ
为
△ＡＢＣ
的
３
个内角
Ａ
、
Ｂ
、
Ｃ
的对边，向量
ｍ＝
（
槡３
，
－１
），
ｎ＝
（
ｃｏｓＡ
，
ｓｉｎＡ
）
．
若
ｍ⊥ｎ
，且
ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝ｃｓｉｎＣ
，则角
Ａ
、
Ｂ
的大小
分别为（
）
．
Ａ
π
６
，
π
３
；
Ｂ
２π
３
，
π
６
；
Ｃ
π
３
，
π
６
；
Ｄ
π
３
，
π
３
本题在求角
Ｂ
时，可将各选项分别代入验证
可知
Ｃ＝
π
２
．Ｂ＝
π
６
．
选
Ｃ．
代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题
．
若
能据题意确定代入顺序，则能较快提高解题速度
．
４
数形结合法
根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形
状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论的方法叫
数形结合法，也称图形法
．
例
４
若
ｆ
（
ｘ
）为
Ｒ
上的奇函数，且在（
－∞
，
０
）
内是增函数，又
ｆ
（
－２
）
＝０
，则
ｘｆ
（
ｘ
）
＜０
的解集为
（
）
．
Ａ
（
－２
，
０
）
∪
（
０
，
２
）；
０１
·技巧聚焦·
Ｂ
（
－∞
，
－２
）
∪
（
０
，
２
）；
Ｃ
（
－∞
，
－２
）
∪
（
２
，
＋∞
）；
Ｄ
（
－２
，
０
）
∪
（
２
，
＋∞
）
图２
因为
ｆ
（
ｘ
）是
Ｒ
上的奇
函数，且在（
－∞
，
０
）内
是增函数，
ｆ
（
－２
）
＝０
，所以作
出函数
ｆ
（
ｘ
）在（
－∞
，
０
）及（
０
，
＋∞
）内的大致图象如图
２
，从
图中可以看出
ｆ
（
ｘ
）
＜０
的解集
为（
－２
，
０
）
∪
（
０
，
２
），故选
Ａ．
５
估算法
估算是用于解答选择题的一种简捷方法，它是指
通过大体估值、合理猜想或特殊验证等手段，准确、迅
速地选出答案的方法
．
充分体现了小题小做的解题策
略
．
在近几年高考的“多想少算”命题思想中，“估算
法”更是解决此类问题的有效途径
．
例
５
若
△ＡＢＣ
的内角
Ａ
满足
ｓｉｎ２Ａ＝
２
３
，则
ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡ＝
（
）
．
Ａ
槡１５
３
；
Ｂ－
槡１５
３
；
Ｃ
５
３
；
Ｄ－
５
３
ｓｉｎ２Ａ＝２ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝
２
３
＞０
，又
Ａ
是
△ＡＢＣ
的内角，所以
ｓｉｎＡ＞０
，
ｃｏｓＡ＞０
，
所以
０＜ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡ＝槡２ｓｉｎ
（
Ａ＋
π
４
）
≤槡２．
又
槡１５
３
＜
４
３
＜槡２
，结合选择项，可知选
Ａ．
６
类比法
解题的关键是审清题意，紧扣题给信息，避免盲
目添加条件
．
例
６
设
Ｓ
是至少含有
２
个元素的集合，在
Ｓ
上
定义了一个二元运算“
＊
”（即对任意的
ａ
，
ｂ∈Ｓ
，对于
有序元素对（
ａ
，
ｂ
），在
Ｓ
中有唯一确定的元素
ａ＊ｂ
与
之对应），若对任意的
ａ
，
ｂ∈Ｓ
，有
ａ＊
（
ｂ＊ａ
）
＝ｂ
，则对
任意的
ａ
，
ｂ∈Ｓ
，下列等式中不恒成立的是（
）
．
Ａ
（
ａ＊ｂ
）
＊ａ＝ａ
；
Ｂ
［
ａ＊
（
ｂ＊ａ
）］
＊
（
ａ＊ｂ
）
＝ａ
；
Ｃｂ＊
（
ｂ＊ｂ
）
＝ｂ
；
Ｄ
（
ａ＊ｂ
）
＊
［
ｂ＊
（
ａ＊ｂ
）］
＝ｂ
用
ｂ
代替题目给定的运算式中的
ａ
，同时用
ａ
代替题目给定的运算式中的
ｂ
，我们不难知
道
Ｂ
是正确的；用
ｂ
代替题目给定的运算式中的
ａ
，我
们又可以导出选项
Ｃ
的结论；而用
ｂ
代替题目给定的
运算式中的
ａ
，我们也能得到
Ｄ
是正确的
．
综上选
Ａ．
７
构造法
当遇到一些用常规方法很难解决的问题时，不妨
构造适当的图形、方程、等式、函数来给以辅助，促使
问题转化，使原来隐晦不清的关系和性质在构造中清
晰地展现出来，从而简洁地解决问题
．
例
７
设函数
ｙ＝ｆ
（
ｘ
）定义在实数集上，则函数
ｙ＝ｆ
（
ｘ－１
）与函数
ｙ＝ｆ
（
１－ｘ
）的图象关于（
）
．
Ａ
直线
ｙ＝１
对称；
Ｂ
直线
ｙ＝０
对称；
Ｃ
直线
ｘ＝０
对称；
Ｄ
直线
ｘ＝１
对称
构造特殊函数
ｙ＝ｆ
（
ｘ
）
＝ｘ
２
，则函数
ｙ＝ｆ
（
ｘ－１
）
＝
（
ｘ－１
）
２
，
其对称轴为
ｘ＝１
，函数
ｙ＝ｆ
（
１－ｘ
）
＝
（
１－ｘ
）
２
＝
（
ｘ－１
）
２
，
对称轴也为
ｘ＝１
，所以
ｙ＝ｆ
（
ｘ－１
）与
ｙ＝ｆ
（
１－ｘ
）
的图象关于直线
ｘ＝１
对称
．
故选
Ｄ．
８
极限法
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变
．
应
用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运
算，降低解题难度，优化解题过程
．
例
８
用长度分别为
２
、
３
、
４
、
５
、
６
（单位：
ｃｍ
）的
５
根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折
断），能够得到的三角形的最大面积为（
）
．
Ａ槡８５ｃｍ
２
；
Ｂ槡６１０ｃｍ
２
；
Ｃ槡３５５ｃｍ
２
；
Ｄ２０ｃｍ
２
周长是定值
２０
，当其高或底趋向于零时其形
状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，
只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状
接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为
７
、
７
、
６
，
因此易知最大面积为
槡６１０ｃｍ
２
，选
Ｂ．
从以上可看出，在数学选择题的求解中，选择恰
当的方法，能起到事半功倍的效果，对于培养学生创
造性思维能力也大有好处
．
（作者单位：江苏省南通第一中学）
１１
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