趣味折纸：折椭圆，双曲线，抛物线看看

梦泽赤子 2017-03-26

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折椭圆，双曲线，抛物线看看

(2016-01-23 16:38:32)

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一、用纸折椭圆

如图3，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？（高中数学选修2-1第49页、选修1-1第42页A组第7题）

折椭圆，双曲线，抛物线看看

解：如图，连接QA

另解：（折纸法）

取一个圆纸片，圆心为O．在圆内取定一点A．将圆片的边缘向圆内折叠，使圆片的边缘通过定点A，或者说使圆片边缘上的一点P与定点A重合．每取一点P折一次就得一折痕(如图1)．当点P在圆周上取得足够多且密时，所得的众多折痕就显现出一个椭圆的轮廓．它和所有的折痕直线都相切(见图2)．

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这个椭圆以圆心O和定点A为它的两个焦点，已知圆的半径是它的长轴长．用上述方法折得的所有折痕，恰好组成该椭圆的切线族．

二、用纸折双曲线

如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？（高中数学选修2-1第62页、选修1-1第54页A组第5题）

解：如图4，连接QA

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图4

另解：（折纸法）

在纸上画一个圆(圆心为O)，在圆外取一定点A，把点A分别折到圆周的不同点上，每折一次即在纸上得一折痕．当折叠的次数足够多．折痕足够密时，纸上就显现出一个双曲线的轮廓(见图5)．该双曲线以圆心O和定点A为其焦点，其头轴长为已知圆O的半径．该双曲线与每一条折痕都相切．所有的折痕直线组成了双曲线的切线族．

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三、用纸折抛物线

取一矩形纸片，一个长边的中点为F，对边长a．将点F分别折到对边a的不同点上，每折一次就得到一条折痕，当折的次数足够多，折痕足够密时，纸上就显现出一条抛物线的轮廓(见图6)，该抛物线以定点A为其焦点，定直线a为其准线．它与每一条折痕都相切．所有的折痕直线组成该抛物线的切线族．

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“折纸法”学数学可以启迪学生的智慧，激发学生的学习兴趣，使他们在学习抽象的数学中得到一种学习的乐趣。

“折纸”-----让圆锥曲线教学变得“精彩纷呈”

发表时间：2012-10-26 来源：《中学课程辅导*教学研究》2012年16期作者：唐利军

[导读] 网络德育不仅是以人为本的大德育观有效实施的重要手段，而且是以人为本的大德育观的重要内容。

唐利军
摘要：荷兰数学家弗赖登塔尔曾经反复强调：“学习数学的唯一正确的方法就是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或者创造出来，教师的任务是引导学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”通过折纸活动引导学生探究椭圆、双曲线及抛物线的定义及其内涵，充分体现了新课标的精神——以学生为主体，吸引学生动手实践、自主探索、合作交流。
关键词：折纸；问题；探究；类比
        苏教版教材《选修1-1》第二章第一节是通过平面去截一个圆锥得出圆锥曲线的定义，笔者认为，首先，这种教学情境对空间画图和想象能力要求相当高，学生很难理解；其次，教师把原本很生动、有趣的知识探索过程给省略了，取而代之的是把圆锥曲线的概念直接“抛”给学生，这样会让学生觉得索然无味。考虑到新教材习题中特别增加了一类“操作题”，这就为学生提供了动手操作的素材，为学生体验数学知识的创造过程提供了可能，并能极大地提高学生学习数学的兴趣，培养了学生的动手能力、思考能力和创新能力。为了利用好这一课本资源，同时降低学生学习圆锥曲线的门槛，这就要求我们在课堂教学中重视学生的动手操作和观察思考层面的训练，从而加深学生对数学概念内在本质的理解，提升课堂教学的功效。下面笔者就如何用课本上的“折纸”操作题引导学生自主探索“椭圆”、“双曲线”简述一下自己的实施过程：
        一、当场折纸，激发兴趣
        师：同学们经常做物理、化学、生物实验，可是你们做过数学实验吗？
        生：没有。
        师：那么，今天我们一起来做一个数学实验。(参照苏教版《选修》P29第6题)
请同学们把课前发给你的印有定圆F1的圆形纸片拿出来，按照以下步骤操作：第一步：在圆F1 内部任取不同于圆心F1的一点F2(图1)；第二步：在圆F1上任取一点P1，然后将纸片对折，使得点P1与点F2重合，然后将纸片展开，用铅笔把折痕:画出来(图2)；第三步：再在圆F1上任取其他点，按照步骤二多操作几次，就可以画出一系列折痕，这些折痕将衬托出一个非常漂亮的图形，大家想知道是什么图形吗？接下来请同学们自己动手折纸，画出折痕，看谁画的又快又好。
        (教师巡视，帮助动手困难的学生，5分钟后，用实物投影展示学生的作品)
        师：我们来看看甲同学的作品(图3)，你能看出来这些折痕衬托的是什么图形吗？究竟是什么原因造成了这样的结果？
        生：折痕太少。
        师：那么我们来看乙同学的作品(图4)，画的非常漂亮，大家能看出折痕衬托出什么图形了吗？
        生：椭圆。

        师：乙同学画的图精确吗？怎样才能做到精确无误呢？
        生：不精确。应该取遍圆周上的所有点才会非常精确。
         师：说的不错，但是要想取遍圆周上所有的点，这个工作量非常大，远非我们人力所能及，接
下来我们就借助《几何画板》工具，让电脑来帮助我们演示作图(图5)。
        二、问题引领，探究本质
        师：从电脑作图的结果来看，我们一眼就能看出所有的折痕衬托出的是一个椭圆的形状。肯定有同学会有这样的疑惑：为什么衬托出的中间的空白部分恰好是一个椭圆呢？为了解决这个问题，我们不妨研究其中的一条折痕。我们在圆F1上任取一点P1，然后把折痕L加粗显示出来(图6)，思考下列问题……
        师：折痕L与线段P1F2之间是什么关系？为什么？
        生：因为沿着折痕L对折后，点P1与点F2重合，故折痕L是线段P1F2的垂直平分线。
        师：线段垂直平分线上的点有什么性质？
        生：到线段两端的距离相等。
        师：很好，假设折痕L与圆F1的半径F1P1相交于点P，那么你能得出什么结论？
        生：PP1=PF2
        师：你能否求出PF1+PF2=的值？这个结果有何特点？
        生：PF1+PF2=PF1+PP1=F1P1,而F1P1是圆F1的半径，是一个常数。
        师：如果我另换一条其他的折痕，这个结果会改变吗？
        生：不变。
        师：如果在折痕L上除点P外任取一点Q，将QF1+QF2的值与PF1+PF2的值进行比较，你有何发现？
        生：由三角形任意两边之和大于第三边可知：QF1+QF2=QF1+QP1>F1P1
        师：非常好，根据QF1+QF2不是定值可知点Q不在椭圆上，即折痕L与椭圆只有一个交点P，折痕其实是该空白部分椭圆的一条切线，同理，每一条折痕都是该椭圆的切线，这无数条切线包围住椭圆，也就衬托出了椭圆的轮廓，这就是我们用折纸法折出椭圆的原理所在。这节课我们就一起来研究椭圆及其标准方程。（板书课题）我们已经通过折纸实验，体会到了椭圆的形成过程及原理。既然点P在椭圆上运动，你能否尝试着概括一下什么是椭圆？
        生：平面内，与两个定点F1、F2的距离之和是一个常数的点的轨迹叫椭圆。
        师：如果我们把这个常数记为2a，你能用一个数学表达式表示出来吗？
        生：PF1+PF2=2a
        师：很好，如果我们把定点F1、F2之间的距离记作2c，则2a和2c的大小关系如何？
        生：2a>2c。
        师：在刚才折纸的第一步中，“在圆F1内部任取不同于圆心F1的一点F2”说明了怎样的事实？
        生：说明F1F2>0，即c>0。
        师：我们再来欣赏丙同学和丁同学的作品（图7）。你能发现这两个椭圆和刚才乙同学画的椭圆有什么地方不一样？
        生：扁平程度不一样。
        师：这我就奇怪了。我发给大家的都是同样大小的圆形纸片，具有相同的圆心和相同的半径，可是为什么折出来的椭圆扁平程度却不一样？这又是什么原因造成的？
        生：是由定点F2的位置不同造成的。
        师：非常好，定点F2的位置改变会引起椭圆什么性质的改变呢？这是我们下一节课要研究的内容。如果我把圆F1的半径变大，定点F2在圆F1内的位置保持不变，那么折纸得到的椭圆形状又将如何？作为思考题，请同学们课后研讨。众所周知，解析几何的本质就是以坐标系为基本工具，用代数的方法去解决几何问题。为了全面了解椭圆的各种性质，我们还要来研究椭圆的方程。那么接下来我们就来推导其标准方程（以下过程略）。
        三、类比椭圆，自主探究
        师：前面我们通过折纸了解了椭圆的形成过程及其原理，今天我们继续通过折纸来探究其他的曲线。(参照苏教版《选修》P42第9题)请同学们把课前发给你的印有定圆F1的白纸拿出来，按照以下步骤操作：第一步：在圆F1外任取一定点F2(图1)；第二步：在圆F1上任取一点P1，然后将纸片对折，使得点P1与点F2重合，并且留下一条折痕(图2)；第三步：连接P1和F1，并且延长，交折痕于点M1(图3)；第四步：再在圆F1上任取其他的点，然后按照步骤步重复次，便可得到一个点列M1、M2、M3、…，这些点列能够连成一个漂亮的曲线。接下来请同学们迅速动手折纸，画出曲线，看谁画的又快又好。

(教师巡视，帮助动手困难的学生，5分钟后，用实物投影展示学生的作品)
师：甲同学将点列连成的图形是开口向左的一支曲线（图4），乙同学得到的图形是开口向右的一支曲线（图5），咦，怎么会不同呢？丙同学怎么连成了两支曲线（图6）？丁同学为什么也连成了两支曲线（图7）？

        师：除此以外，还有没有同学连成了其他的图形？全都拿上来，这些不同的图形到底哪个正准确呢？
        生：丙和丁的准确。
        师：那么，甲、乙两个同学所代表的这一类图形为什么不够全面呢？我们对比这四个同学的作图痕迹，发现甲和乙同学在圆F1上取点时，把所取的点都密集在圆F1的一段弧上，不像丙和丁同学那样在圆F1的四周都取了点。那么，丙和丁同学的结果是否就不具有片面性？我们知道，对于取点作图问题，取的点越多，作出来的图像就越精确。但是要想取遍圆周上所有点，这个工作量太大，我们还是借助于电脑来绘图。（图8）
        类比推导椭圆定义的推导过程，请同学们带着下面一系列问题自主探究：
        问题1：折痕与线段P1F1之间是什么关系？
        问题2：回忆刚才折纸的过程，思考对于双曲线左支上的任意一点M1（图9）,M1F2-M1F1的值是多少？该结果有何特点？
        问题3：在左支上另取一点，该结果是否会改变？
        问题4：如果在右支上任取一点M2，则M2F2-M2F1的值是多少？该结果有何特点？
        问题5：那么对于双曲线上任意一点M，则Mf2-Mf1结果有何特点？
        问题6：类比椭圆的定义，你能否尝试着双概括一下双曲线的定义？
        问题7：如果把这个常数记作2a,你能否用一个数学表达式表示出来？
        问题8：如果我们把定点F1、F2之间的距离记作2c，则2a和2c的大小关系如何？（注意与椭圆的区别）
        问题9：我们再来看一下刚才丙和丁同学的作品，虽然他们画的都是两支曲线，但是还是有细微的差别，你能看出来有什么不一样的地方吗？
        问题10：我发给大家的是同样大小的白纸，在相同的地方印有相同大小的圆，可是为什么折出来的双曲线开口程度却不一样？这是什么原因造成的？
        问题11：如果把圆F1的半径变大，定点F2在圆外的位置保持不变，那么折纸得到的双曲线形状又将如何？
        师：通过前面椭圆的学习，我们知道要研究曲线所具有的性质必须通过研究其方程来得到。请你类比前面推导椭圆标准方程的过程，尝试着推导双曲线的标准方程(以下过程略)。
        四、触类旁通，活学活用
        新课标的教材编写特别注重知识的系统性，对于抛物线的教学引入也
可以用折纸的背景。类比前面椭圆和双曲线的推导过程，该探究过程完全可
以放手，让学生去独立完成(参照苏教版《选修》P46第9题)(图10)，将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开纸片，得到一条折痕L（为了看清楚，可以把直线L画出来）．这样继续下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它们形成何种曲线？(具体实施过程不再赘述)
        众所周知，知识来源于实践，数学知识更是如此。对于某些数学概念，若能由学生亲自动手操作，通过观察、分析、比较、归纳，进而行成数学概念，这样可以让学生从中体验获取数学知识的乐趣，养成动手和思考的良好的学习习惯。因此笔者认为，在平时的课堂教学中若能适当地让学生自主地去动手操作，再经过教师的引导、点拔和提示，能使学生从被动地接受教师灌输的状态中解脱出来，充分发挥学生的积极性、主动性，使所获得的知识更加深刻和牢固，并对养成学生的动手能力、对知识的探索拓展、独立思考能力等都大有裨益。