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3．微积分的创立 微积分主要起源于对以下实际问题的研究：（1）图形的面积、体积和曲线的弧长，（2）曲线的切线与函数的极值。人们在寻求图形的面积、体积和曲线的弧长问题上出现了求和过程，导致了积分学的产生；而在求作曲线的切线问题和求函数的极值问题时导致了微分学的产生。 （1）微积分的酝酿，主要发生于17世纪上半叶。自然科学，特别是天文（开普勒三大定律的发表）、力学（伽利略的有关工作，弹道抛射角）等领域在此期间所发生的一系列重大事件。所面临的数学困难，使微积分学的基本问题成为人们空前关注的焦点。该时期几乎所有的科学大师都在致力于寻求新的数学工具，特别是描述运动与变化的无穷小算法。 解析几何的诞生则给微分学问题的研究带来了代数方法。笛卡尔曾用一种所谓的“圆法”来求曲线的切线，费马也提出了一种求极值的代数方法。巴罗的“微分三角形”把切线看作割线的极限位置。 （2）微积分的创立，经过了半个世纪的酝酿，牛顿和莱布尼兹出场了。时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。在此过程中，他们共同分享着这份伟大的荣耀。 牛顿的“流数术”： 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他正在剑桥大学学习。1665年11月，牛顿发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》著称，它是历史上第一篇系统的微积分文献。 《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文：《分析学》（1669）、《流数法》（1671）、《求积术》（1691）。它们真实再现了牛顿创建微积分学说的思想历程。 牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》之中。因此该书也成为数学史上的划时代著作。 《自然哲学的数学原理》被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动，声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一全新数学工具的威力。 莱布尼兹的微积分： 1684年莱布尼兹发表了他的微分学论文《一种求极大值和极小值及切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。这篇论文虽然仅有六页，且叙述得乏味含糊，但却具有划时代的意义--莱布尼兹创立微积分。 4．微积分的发展与完善 18世纪微积分最重大的进步应归于欧拉。他于1748年出版的《无限小分析引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的分析学符号，对分析表述的规范化起了重要作用。此外，伯努利家族、克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德等，也为微积分及其应用做出了卓越贡献。 5．代数学的新生 在18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时的数学家们面临着一系列数学自身产生的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：
在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避。从而导致19世纪代数学、几何学上的变革，以及微积分基础的建立。 （1）代数方程的可解性与群的发现 中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程的求根问题；文艺复兴时期的欧洲数学家们继承了这一传统，但又有所突破。他们成功地解决了三次和四次代数方程的求根问题。到了19世纪初，数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。 基本问题：五次或更高次的代数方程的根式解 即在n > 5时，对于形如xn + a1xn–1 + …+ a n–1x + an = 0的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。 1770年拉格朗日在《关于代数方程解的思考》中猜测“不可能用根式解四次以上方程”，1824年，挪威的年青数学家阿贝尔发表论文《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，证明了该猜测。 一位同样年青的法国数学家伽罗瓦（1811-1832 ）提出了“伽罗瓦群”。伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件（即方程的群是可解群）时，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要条件。 伽罗瓦攻克的难题虽然是三百年前的老问题，但他的思想却远远超出了他的时代。伽罗瓦关于群的发现工作，可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。 群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算使得该集合满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。 群概念的划时代意义在于：代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象“对象”的运算关系，一方面，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上与数的概念获得了统一。 为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。 （2）从四元数到超复数 四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后，19世纪代数学最重大的事件。四元数是推广平面复数系结构的产物。 爱尔兰数学家哈密顿发明四元数。在哈密顿建立四元数的同时，一位德国数学家格拉斯曼发明了超复数。 （3）布尔代数 19世纪中后叶，代数学还开拓了另一个完全不同的领域，即布尔代数--逻辑代数 （4）代数数论 在19世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，高斯在1801年发表了他的《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。 |
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