数学爱好者
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MingShiDianJin
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错例门诊
指数函数与对数函数是函数这一章的重点内
容,也是学习中的一个难点内容,初学这部分知识
如果没有掌握指数函数与对数函数的图象与性质,
常会出现各种各样的错误,下面就错误所在进行分
类辨析.
一、求解函数值域中的错误
例1已知函数f(x)=log
2
x+3(x∈[1,8]),则函
数y=[f(x)]
2
+f(x
2
)的最大值是.
错解因为x∈[1,8],故log
2
x∈[0,3],
y=[f(x)]
2
+f(x
2
)=(log
2
x+3)
2
+(log
2
x
2
+3)=log
2
2x+
8log
2
x+12=(log
2
x+4)
2
-4,
而log
2
x+4∈[4,7],则(log
2
x+4)
2
-4∈[12,45],
所以y=[f(x)]
2
+f(x
2
)的最大值为45.
辨析函数f(x)的定义域为[1,8],则f(x
2
)的
定义域应为[1,22
"
],上面的解法忽视了定义域
的变化,从而扩大了值域.
正解函数y=[f(x)]
2
+f(x
2
)的定义域是由
1≤x≤8
1≤x
2
≤
$
8
%1≤x≤22"确定,所以y=[f(x)]
2
+f(x
2
)=
(log
2
x+4)
2
-4,而log
2
x∈[0,
3
2
],则(log
2
x+4)
2
-4∈
[12,
105
4
],所以y=[f(x)]
2
+f(x
2
)的最大值为
105
4
.
特别提醒复合函数导致定义域变化最容易
被忽略,在解相关题目时,要重点先分析定义域,做
到解题时无“后顾之忧”.
二、求函数的解析式中的错误
例2已知函数f(x
2
-3)=lg
x
2
x
2
-4
,求f(x)的解
析式.
错解1由
x
2
x
2
-4
>0,得x>2或x<-2,所以函数
f(x)的定义域为{x|x>2或x<-2},所以f(x)的解析式
为f(x)=lg
x+3
x-1
,(x>2或x<-2).
错解2令x
2
-3=t,则x
2
=t+3,代入函数式可得:
f(t)=lg
t+3
t-1
,由
t+3
t-1
>0,得t<-3或t>1,所以函数
f(x)的定义域为{x|x<-3或x>1},所以f(x)的解析
式为f(x)=lg
x+3
x-1
.(x<-3或x>1).
辨析错解1把函数f(x
2
-3)与f(x)混淆为同
一函数.若令F(x)=f(x
2
-3)=lg
x
2
x
2
-4
,令x
2
-3=t,得
f(t)=lg
t+3
t-1
,就会发现F(x)与f(x)是两个不同的函
数,它们具有不同的定义域和对应法则,因此求的
是F(x)的定义域,而不是f(x)的定义域.错解2在
用换元法时没有考虑自变量t受到x
2
-3的取值范
围的限制.
正解先求f(x)的表达式,令x
2
-3=t,因
x
2
x
2
-4
>
0,故x>2或x<-2,则x
2
=t+3,此时由抛物线性质知
t>-3,所以f(t)=lg
t+3
t-1
,由
t+3
t-1
>0,得t<-3或t>1,此
时f(x)的定义域就是t的取值范围,故f(x)的定义
域为{x|x>1},所以f(x)的解析式为f(x)=1g
x+3
x-1
,
(x>1).
特别提醒本题所求复合函数外层函数定义
域,根据复合规律知实质上是求内层函数的值域.因
此,解答复合函数问题时,分清内、外层函数是关键.
◇广东省清远市清新一中赖森泉
指数与对数函数中的典型错误分类辨析
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三、判断函数单调性中的错误
例3试求函数f(x)=log
4
(7+6x-x
2
)的单调递
增区间.
错解设y=log
4
u,u=g(x)=7+6x-x
2
=-(x-3)
2
+16,
则对二次函数u=g(x),当x≤3时为增函数;当x≥
3时为减函数,又y=log
4
u是增函数,故由复合函数的
单调性知,所求函数的单调递增区间为(-∞,3].
辨析上述解答中就是忽视了原函数的定义
域{x|-1
的子区间.
正解设y=log
4
u,u=g(x)=7+6x-x
2
=-(x-3)
2
+16,
则对二次函数u=g(x),当x≤3时为增函数;当x≥
3时为减函数,
又y=log
4
u是增函数,且由7+6x-x
2
>0得函数的
定义域为(-1,7),
于是函数f(x)的增区间是(-1,3].
特别提醒由于函数的单调性是一个局部概
念,单调区间是定义域的一个子区间,因此,在解答
函数的单调性问题时必须首先考虑函数的定义域.
四、求解反函数问题中的错误
例5已知函数f(x)在定义域为(-∞,0)内存
在反函数,且f(x-1)=x
2
-2x,求f
-1
(-
1
4
)的值.
错解因为f(x-1)=x
2
-2x=(x-1)
2
-1,所以f(x)
=x
2
-1.
由x
2
-1=-
1
4
,得x=±
3#
2
,故f
-1
(-
1
4
)=±
3#
2
.
辨析上述解法忽视了“f
-1
(-
1
4
)就是原函数
定义域中一个值”这一隐含条件.
正解因为f(x-1)=x
2
-2x=(x-1)
2
-1,所以f(x)
=x
2
-1.
由x
2
-1=-
1
4
,得x=±
3#
2
,又因为x<0,故
f
-1
(-
1
4
)=-
3#
2
.
特别提醒在求解反函数问题时要注意原函
数与反函数的定义域与值域的互换性.
五、作函数图象法中的错误
例5作函数y=2
log4x
-2
的图象.
错解由y=2
log4x
-2
=2
log
2
x-1
=
1
x
,故函数y=2
log
4
x-2
的图象
如图所示.
辨析本题函数的解
析式转化为另一种解析式时定义域或值域发生了
变化,作出的图象当然不是原函数要求的图象了.原
函数y=2log
4
x
-2
的定义域是x≠0的全体实数,值域
是y>0.化简后的函数y=
1
x
的定义域是x≠0,值域
是y≠0,扩大了值域,因而原函数的图象显然是错
误的.
正解原函数y=2
log
4
x
-2
=
2
log
2x
-1
=
1
x
,从而依据对称
变换可得原函数的图象如
右图所示.
特别提醒在对函数式进行变形时,必须注意
定义域的变化以及一些恒等式成立的前提条件.
六、利用指数与对数函数的图象判断方程根
中的错误
例6求方程x
2
=2
x
的解的个数.
错解令y=x
2
,y=2
x
,
在同一直角坐标系内作出
它们的图象,如图所示,观
察图象可得y=x
2
与y=2
x
的图象有两个交点,所以方
程共有两个解.
辨析本题在画图时没有将两个图象的交点
完全作出,这是受画图的局限性而致解答失误的.
正解由于当x>0时,2
x
增长较快,故当x>2
(x=2是方程的一个解)时,两图象还有一个交点(此
时交点的横坐标为x=4).故方程共有三个解,且分
别为2,4及一个负数的解.
特别提醒用图象辅助解题,具有直观简捷的
作用,但同时也须注意:作图应规范,图形应大致准
确地反应变化的趋势.
O
y
x
O
y
x
O
y
x
y=2
x
y=x
2
!"#
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