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二项分布和超几何分布,五分钟让你再也不迷糊!

 woainiyishen 2017-04-06

二项分布和超几何分布,五分钟让你再也不迷糊!

有一次被学生问到:老师您给我讲讲二项分布和超几何分布的区别吧。我想,二项分布和超几何分布的区别大着呀,没道理会把它们弄混。但是既然学生提出来了,就说明这样的疑惑的确存在,我们今天就来捋一捋,让疑者不疑,不疑者更明。

发生条件的不同

二项分布:描述n次独立重复试验,而且该随机试验只有两种可能结果:发生或者不发生(也常说试验成功或失败)。“独立”强调的是各次试验互相不干扰,“重复”强调的是每次试验中事件发生与否的概率保持不变。

超几何分布:描述由N个物件(其中有M个指定物件)中抽出n个物件。

随机变量的不同

二项分布的随机变量ξ是n次独立重复试验中试验成功的次数k。

超几何分布的随机变量ξ是抽出的n个物件中抽到指定种类的物件的个数m。

概率:

在二项分布中,P(ξ=k)= C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k).

在超几何分布中,P(ξ=m)= C(M, m) * C(N-M, n-m) / C(N,n).


用一个“抽取合格品/次品”(换成双色小球也是一样)模型来对比上述两种分布:

现有N件产品,其中M件合格品,N-M件次品。

1.从中抽取一件产品,为合格品的概率是?

p=M/N

2.每次抽取一件产品,抽完放回,抽n次(这里的n与N无关),共抽到k次合格品的概率是?

C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),其中p为第1问里的p.

3.每次抽取一件产品,抽完不放回,抽n次(这里的不大于N),共抽到m次合格品的概率是?

C(M, m) * C(N-M, n-m) / C(N,n)

对于第3问中的情况,和1次性抽出n件产品,其中有m件合格品的概率是一样的。

能不能像第2问一样,用分步做乘法的方法来写概率呢?

也可以的,不过因为不放回,产品总数在递减,每次抽到合格品的概率受之前抽到合格品还是次品的结果影响,所以不是独立重复实验了!


为了帮助大家进一步看清楚,我举一个数目较小的具体例子来演示,3件产品,其中2件合格品,1件次品。

1.从中抽取一件产品,为合格品的概率是2/3.

2.每次抽取一件产品,抽完放回,抽2次,共抽到1次合格品的概率是

C(2, 1) * (2/3) * (1/3)=4/9

3.每次抽取一件产品,抽完不放回,抽2次,共抽到1次合格品的概率是

C(2, 1) * C(1, 1) / C(3,2)=2/3

如果也用分步乘法来求第3问,就得分步加分类:

若第一次抽到合格品(概率是2/3),则第二次抽到次品,概率为1/(3-1)=1/2;

若第一次抽到次品(概率是1/3),则第二次抽到合格品,概率为2/(3-1)=1;

所以原概率= (2/3)*(1/2) + (1/3)*1 = 2/3,结果一致。


二项分布和超几何分布也有联系。

数学期望

二项分布的数学期望为

E=np,

在上述模型中 p=M/N的情况下,E=np=nM/N.

在上述模型中超几何分布的数学期望也为E=nM/N.

另外,N趋近无穷时,“放回”和“不放回”近乎没有区别,甚至可以严格证明极限情况下超几何分布就变成了二项分布!

因此在实际应用时,只要N>=10n,就可用二项分布近似描述不合格品个数,不过这已经超出了我们高中需要掌握的范围了。


看到这里,想必你已经对二项分布、超几何分布的区别和联系理解透彻了,那么来看看下面这道高考题里的情况是哪种分布吧?

(2011·江西理,16)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料。若4杯都选对,则月工资定为3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.

(1)求X的分布列;

(2)求此员工月工资的期望.

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