绵阳市高2014级第次诊断性考试(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共1小题，每小题5分，共0分．
二、填空题：本大题共小题，每小题5分，共2分．
13．14．15．16．三、解答题：本大题共6小题，共7分．
1．解2=b2+3ac整理得，a2+c2-b2=ac，
由余弦定理有cosB=，
∴B=．………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)△ABC中，A+B+C=π，即B=π-(A+C)，故sinB=sin(A+C)，
由已知sinB+sin(C-A)=2sin2A可得sin(A+C)+sin(C-A)=2sin2A，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA-cosCsinA=4sinAcosA，
整理得cosAsinC=2sinAcosA．………………………………………………7分
若cosA=0，则A=，
于是由b=2，可得c=，
此时△ABC的面积为S==．………………………………………9分
若cosA≠0，则sinC=2sinA，
由正弦定理可知，c=2a，
代入a2+c2-b2=ac整理可得3a2=4，解得a=，进而c=，
此时△ABC的面积为S==．
∴综上所述，△ABC的面积为．……………………………………12分
1解(Ⅰ)补全的列联表如下：
年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车 60 20 80 合计 160 40 200 于是a=100，b=20，c=60，d=20，…………………………………………4分
∴>2.072，
即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关(Ⅱ)由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为10%，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵X~B(3，0.1)，X=0，1，2，3，
∴，，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 ∴X的数学期望．………………………………………12分
19．解(Ⅰ)作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点．
………………………………………………………2分
证明：连接PN，
∵N是AD的中点，P是FE的中点，
∴PN//AF，
又PN平面MNC，AF平面MNC，
∴直线AF平面MNC．………………5分
∵PE//AD，AD//BC，
∴PE//BC，
∴．………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知PN⊥AD，
又面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD=AD，PN面ADEF，
所以PN⊥面ABCD．…………………………………………………………8分
故PN⊥ND，PN⊥NC．………………………………………………………9分
以N为空间坐标原点，ND，NC，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N-xyz，
∵∠ADC=，AD=DC=2，
∴△ADC为正三角形，NC=，
∴N(0，0，0)，C(，0，0)，D(0，1，0)，E(0，1，1)，
∴=(0，1，1)，=(，0，0)，=(0，0，1)，=(，-1，0)，
设平面NEC的一个法向量n1=(x，y，z)，则由n1?=0，n1?=0可得
令y=1，则n1=(0，1，-1)．
设平面CDE的一个法向量n2=(x1，y1，z1)，则由n2?=0，n2?=0可得
令x1=1，则n2=(1，，0)．
则cos==，
设二面角N-CE-D的平面角为θ，则sinθ==，
∴二面角N-CE-D的正弦值为．………………………………………12分
20．解(Ⅰ)由题意知，|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6>|EF|=4，
故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为a=3，短半轴长为b=，
∴曲线C的方程为：．…………………………………………4分
(Ⅱ)由题知F(2，0)，
若直线AB恰好过原点，则A(-3，0)，B(3，0)，N(0，0)，
∴=(-3，0)，=(5，0)，则m=，
=(3，0)，=(-1，0)，则n=-3，
∴m+n=．………………………………………………………………2分
若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0，
A(ty1+2，y1)，B(ty2+2，y2)，N(0，-)．
则=(ty1+2，y1+)，=(-ty1，-y1)，
=(ty2+2，y2+)，=(-ty2，-y2)，
由，得y1+=m(-y1)，从而m=；
由，得y2+=n(-y2)，从而n=；
故m+n=+()=．……8分
联立方程组得：整理得(5t2+9)y2+20ty-25=0，
∴y1+y2=，y1y2=，
∴m+n===-2-=．
综上所述，m+n=．………………………………………………………12分
21．(Ⅰ)证明：由题知，
于是，
令，则(x>0)，
∴在(0，+∞)上单调递减．
又=1>0，=1<0，
所以存在x0∈(0，)，使得=0，
综上f(x)存在唯一零点x0∈(0，)．………………………………………3分
解：当x∈(0，x0)，，于是，在(0，x0)单调递增；
当x∈(x0，+∞)，，于是，在(x0，+∞)单调递减．
故，
又，，==，
故-=-5-1=-6．……………………6分
(Ⅱ)解：>等价于．
，…………………………7分
令，则，
令，则，即在(0，+∞)上单调递增．
又，，
∴存在t∈(3，4)，使得．……………………………………………9分
∴当x∈(0，t)，在(0，t)单调递增；
当x∈(t，+∞)，在(t，+∞)单调递减．
∵，，，
且当x>3时，，
又，>，，
故要使不等式>解集中有且只有两个整数≤．…………………………………………………………12分
22．解：(Ⅰ)将的参数方程化为极坐标方程.…………………………………2分
将的极坐标方程化为方程.……………………5分
（Ⅱ）将代入C1：整理得，
解得：，即|OA|=.
∵曲线C2是圆心在原点，半径为1的圆，
∴射线θ=(ρ≥0)与C2相交，则，即|OB|=.
故=2-1=1．……………………………………………………10分
23．解：(Ⅰ)当x≤时，f(x)=7-6x，由f(x)≥8解得x≤，综合得x≤，
当
当x≥2时，f(x)=6x-7，由f(x)≥8解得x≥，综合得x≥，
所以f(x)≥8的解集是．………………………………5分
（Ⅱ）≥，
≥1，
∴根据题意|6-a|≥1，
解得a≥7，或a≤5．……………………………………………………10分
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数学（理工类）答案第6页（共6页）
B
x
C
O
z
A
y
M
D
N
F
E
P
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