最小生成树

 

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

 

下面对算法的图例描述

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min使得cost(G_min)<>₀)   则在G_min中存在不属于G₀

3).将加入G₀中可得一个环，且不是该环的最长边(这是因为∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

 

 

 4.算法代码实现(未检验)

#define MAX 100000#define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};int lowcost[VNUM]={0}; //记录V_new中每个点到V中邻接点的最短边int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入V_newint adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与V_new最邻近的点void prim(int start){ int sumweight=0; int i,j,k=0; for(i=1;i//顶点是从1开始 { lowcost[i]=edge[start][i]; addvnew[i]=-1; //将所有点至于V_new之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在V_new之外 } addvnew[start]=0; //将起始点start加入V_new adjecent[start]=start; for(i=1;i<>1;i++) { int min=MAX; int v=-1; for(j=1;j<>) { if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]//在V_new之外寻找最短路径 { min=lowcost[j]; v=j; } } if(v!=-1) { printf('%d %d %d\n',adjecent[v],v,lowcost[v]); addvnew[v]=0; //将v加V_new中 sumweight+=lowcost[v]; //计算路径长度之和 for(j=1;j<>) { if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]lowcost[j]) { lowcost[j]=edge[v][j]; //此时v点加入V_new 需要更新lowcost adjecent[j]=v; } } } } printf('the minmum weight is %d',sumweight);}

 

5.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v²)                 邻接表:O(elog₂v)

 

 

 

Kruskal算法

 

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

 

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graph_new中

 

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

 

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：

 

 

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<>})。显然T应该包含，否则，可以用加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{}，是G'的生成树。所以W(T-{})<>，也就是W(T)<>)=W(T'+{})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

 

 

 

4.代码算法实现

typedef struct { char vertex[VertexNum]; //顶点表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表 int n,e; //图中当前的顶点数和边数 }MGraph; typedef struct node { int u; //边的起始顶点 int v; //边的终止顶点 int w; //边的权值 }Edge; void kruskal(MGraph G) { int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k; int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通 int E[EdgeNum]; //存放所有的边 k=0; //E数组的下标从0开始 for (i=0;i<>) { for (j=0;j<>) { if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF) { E[k].u=i; E[k].v=j; E[k].w=G.edges[i][j]; k++; } } } heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列 for (i=0;i//初始化辅助数组 { vset[i]=i; } k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数 j=0; //E中的下标 while (kG.n) { sn1=vset[E[j].u]; sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号 if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树 { printf('%d ---> %d, %d',E[j].u,E[j].v,E[j].w); k++; for (i=0;i<>) { if (vset[i]==sn2) { vset[i]=sn1; } } } j++; } }

时间复杂度：elog₂e  e为图中的边数