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数学世界观（上） 上一篇我和大家分析了几个关于奥数的常见误区，那奥数实际上在教给我们什么呢？让我们把话题扩大一点，先把数学学习涉及的框架搭起来。 从我的理解来看，数学学习分为四个层面，借用道家学说的理论，即“道、法、术、器”。 数学之“道”，即数学思维。 数学思维不是一种知识，而是一种能力，或者说的更缥缈一点，是一种感觉。但是它又是搭建数学世界最重要的根基，可以说它不存在，但是又无处不在。 就好比学音乐的人需要的乐感，往往很难形成一门课程进行培养，但是偏偏又是学习音乐最重要的，甚至是决定成就高低的一种能力。有的人天生就有很强的乐感，但是一般人也可以通过长期接触音乐进行培养。数学思维亦然。 数学思维包括逻辑思维、形象思维、空间抽象思维等。 逻辑思维用于对事物因果关系的理解和对或然正确命题的推理等。逻辑思维的非数学应用非常广泛，例如说话、思考的周全缜密，有条不紊就需要用到逻辑。 那逻辑思维需要专门训练吗？在日常生活中不是都能学到吗？看看下面的例子就知道了： 下面这些说法对吗？ 1.1 小明的妈妈长得很高，所以长得很高的都是小明的妈妈。 1.2 数学学得好需要很强的逻辑思维，所以逻辑思维好的数学都学的很好。
2.1 小明病了，躺着床上——《走进科学》：为什么躺在床上会让人生病？ 2.2 经济发达的地方劳动力都很紧缺——《XX日报》：为什么劳动力紧缺的地方经济发展更好？
3.1 我们宿舍有三个艺术系的都是美女，艺术系全部是美女啊。 3.2 我身边三个射手座都劈腿了，射手座就是一个爱劈腿的星座。
4.1 大脑里面主要是水构成的，多喝水就能让大脑发育更好。 4.2 骨骼里面有很多的钙，多吃钙片就能长得更高。
5.1你每次测验都100分，这么聪明怎么连扫个地都不会！ 5.2 你不是读了博士么，层次这么高怎么连女朋友都找不到！ 上面1-5组的逻辑题分别犯了：充分必要混淆、因果倒置、以偏概全、错误归因、偷换概念的逻辑谬误，这些貌似愚蠢的错误，难道不是每天在我们身边发生吗？ 我们经常可以听到别人说“你这话说得没有逻辑！”但是就像头顶上的地中海一样，每个人都只能看到比自己矮的人，想象不到高个子看自己也是一样的景象。这时候，理科专业背景的人往往有些优势，能站在逻辑的制高点（谢天谢地！终于能为“数学无用论”的反对者挣回一分）。 形象思维是理解、运用、变化平面图形的能力。例如之前说的数形结合，就对图形理解提出了一定的要求。有时候我们解释某些复杂的关系时会画一些结构图，这也是形象思维在起作用。 那你的形象思维如何呢？试试下面这个小题目。 形象思维题 5秒内找到答案，完全不需要任何辅助，选项看一眼就知道对不对：超常！ 10秒内找到答案，在选项和题目之间来回比对两三次就能看出来：优秀！ 30秒以内找到答案，或者需要用手指之类进行辅助才看的出来：不错！ 30秒以上，或者选错的：需要加油咯！ 在做这道题目的时候，如果你的脑海中自动浮现出上面的图案根据需要自由旋转并拼到下面的选项中去，那恭喜你！说明你的形象思维过人。 空间抽象思维则是将平面图形和空间立体图形相互转换、将立体图形变化分解的能力。 举个例子，试试下面这道题吧：  空间抽象题 下面的图形都是由6个正方形组成的，沿粗线剪下来以后，哪些可以折叠成正立方体（骰子形状）？ 15秒内全部判断完，并且完全正确：超常！ 30秒内全部判断完，并且完全正确：优秀！ 一分钟内全部判断完，并且错误不超过1个：不错！ 一分钟以上，或者错误超过1个：需要加油咯！ 看正确答案，请在公众号回复：空间抽象题
这项能力在高中数学立体几何题中被极大地运用，很多被虐得很惨的高中生，都是由于这项基本能力没有掌握。 另外，空间抽象思维在认路方面也是起到非常重要的作用。有的人认路是采用平面记忆的方式，也就是将一条路线在哪里拐弯，拐弯处的景物长什么样子记下来；有的则是采用立体记忆的方式，将自己理解为在地图上行走的一个点，最后能画出一张平面地图上的线路。后者的好处是最终在脑海搭出一个立体地图，对于里面新的路线也能快速掌握，随时切换，这就是空间抽象思维在起作用。 所谓“道可道，非常道”，上面讲的这些数学思维，本身的含义是比较广和比较飘渺的，举的这些例子只是试图盲人摸象一样抓取其中一个点来展现而已。 数学思维本身不是数学的一个知识点，但又贯穿在数学学习中的方方面面，就像是数学这棵大树的庞大根系，虽然看不见，却给每一片枝叶输送赖以为生的养分。
数学之“法”，即数学理论，包括数学概念、定理。 数学概念的学习是呈明显的螺旋上升方式进行的。例如小学学习数字，先学0-9，然后拓展到两位数、三位数；高年级学小数、分数，“数”的概念就被扩大了；高中学习了无理数，这时候实数轴就被填满了；大学还会虚数，然后复平面也被填满了，发现“数”不仅是代数概念，还可以跟几何打通，最后有一种“恍然大悟”的感觉。每次学习新的概念，都是对旧概念的“传承”和“创新”，特别讲究融会贯通。
另外，有时候新的知识不仅是对旧概念的扩充，还会进行重构。 很多人很好奇，大学数学系都学什么啊，高中数学已经难得不要不要的，大学的画风是不是都是这样的？  恰恰相反，数学系学习的数学，有时候简单得让人吃惊——不是难度上的简单，而是形式上的简单。 以我们本科数学基础课《数学分析》为例，课本（《数学分析》，A.Zorich，第二版）的第一章标题是——基本概念（集合、函数等），第二章标题是——实数。是不是感觉高一就学完了？  但是书里将实数和加、乘法运算从另外一个重新进行了定义，运用了从一般到特殊的演绎方法——现在我们要找一个同时满足加法公理、乘法公理、序公理和完备公理的集，满足这些条件的集可能有很多个，我们常用的实数集刚好符合要求，里面的0、1、加法、乘法刚好能用上，挺好，就你吧。 就好比我们平时描述地球，会说上面有山有水，住着人和动植物。数学分析会这样去描述：为了找一个能产生生命的星球，星球温度要在2℃以上，氧气含量在28%以上，有液态水，引力适中巴拉巴拉。定义完了以后，在宇宙搜一圈发现地球刚好满足，挺好，以后就你了。  这并不是数学家们的矫情。 虽然实数是我们天天在用的概念，但是要给它作一个定义，其实是很难的。这本书一耙刨到这个概念的根子里面去，顺带挖出实数一些有用的性质，在此之上再衍生出其他变化万千的性质、定理等等，最后形成了丰富多彩的代数世界。
这里可以看出数学非常重视概念的定义，同时也看出了它的严谨性，那就是定义之外别无它物。类似的还有欧几里得几何理论体系，用一些基本概念和五条公理推导出我们常见的整个几何体系。更有意思的是，这些公理作为整个体系的基石，还可以挪动，例如将第五公理改写，可以搭建出黎曼几何、罗氏几何等完全不同样子的大厦！
所以，学数学的人在争辩问题的时候，常常会说“这要看你怎么定义XXX”，因为在他们眼里，没有清晰的定义，整个讨论就无从谈起了。
数学概念和由此推导而成的定理，是使用者从无到有的创造，然后又利用这些创造去约束其他的万事万物，类似于道家中“法”的概念。 这些数学理论构成了数学大树的枝干。所有细枝末叶，都是从枝干延伸出去的。枝干一圈一圈地增长，支撑着树冠长得越来越繁茂。 珊爸@不严肃育儿，大观家庭公众号（id：thedaguan）出品 |
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