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《星际穿越》上映之后，瞬间成为话题热门。各种解读喷涌而出。其中，有个叫《从一维到十维》的视频特别火。但怎么说呢……这么说吧：扯淡呢这是。 这个视频有一个文字版描述： *请注意，下方的这段描述是不靠谱的，靠谱的剖析在后方* 1维：一条线，没有问题。 2维：一个平面，没有问题。但为了高维度时解释上的方便，作者用另一个方式来说明二维：分离。即：另外分出一条线。 3维：一个空间，同样很直观，因为我们就是眼睛所见就是3维的空间。但为了高维度时解释方便，作者同样用了另一个方式来诠释：摺起。一个3维空间下摺起的动作能让2维空间的点跳到另一个2维空间的点。(延伸：一个 n 维空间下的摺起动作能让 (n - 1) 维空间的点跳到另一个 (n - 1) 维空间的点，这个观念之后将会被继续使用到。) 4维：在三维上加上时间感念，我们的眼睛看到的是三维的世界，但如果有一种生物看得一个人由出生到死亡的一生，那麼3维下的时间对它而言就不是时间了，3维的时间对此生物而言相当於是几何上的第四个维度。这个生物会看到一条波动著的4-D长蛇，一条纪录著一个人由出生到死亡的长蛇。 举个让人比较容易理解的例子。小时候应该很多人在课本每一页的角落画上一个个的人，每个人都只有一点点动作上的小差异，当把书本快速的翻过时，这些小人合起来就像在做动作一样。如果我们把这一页页都拆开，就可以看到这个2D小人的一生了。 对这个2D的小人而言，第三个维度是时间，而对我们这些3D人而言，这第三个维度只是书本的厚度。这件事情暗示著：对 n 维世界的人而言，第 n + 1 个维度是时间，但对於 n + 1 维世界的人而言，第 n + 1 维也只是空间上的一个维度而已。因此，2D小人的时间对我们 (3D世界的人) 来说是厚度 (空间上的一个维度)，我们 (3D世界的人) 所认为的时间，其实在 4D 世界的人眼中只是一个空间上的维度，而 4D 世界的人眼中的时间，也只是 5D 世界的人眼中的一个空间上的维度。 那麼什麼是4D呢? 一条线。没错，一条线! 只是这条线上的每个点分别代表了人 (3D世界的人) 一生中的某一个时点及他的所在位置。 5维：分离。一个人的一生中有无数的选择。我们常说，如果当时我能怎麼样，现在我就可以如何如何了。是的，5维就是把这所有可能的选择给包容进来。因此，从4D的线上分离出无数条线 (选择)，就构成了第5维。 6维：摺起。类似於3维的概念，6维能让5维空间中的点自由跳跃。因此，如果一个3D世界的人对现在的生活不满意，假使他拥有6维空间的能力，则他能够自由的变成5维空间中任何一个他所满意的位置。 7维：前面在4维到6维举的例子都是一个人的一生。现在我们把这个概念放大来看，也可以想像成是宇宙的一生：「从大爆炸宇宙诞生，各种可能性下所产生的各种变化，一直到宇宙灭亡为止。」我们把前面这串叙述，看成7维空间的一个点，如果能有两个这种点，我们就能构筑出7维空间了 (again, 又是一条线)。 问题是：「从大爆炸宇宙诞生，各种可能性下所产生的各种变化，一直到宇宙灭亡为止。」这句话本身就代表无限大了，怎麼会有两个无限大的点呢? 解释是：如果大爆炸的一开始初始条件不同，那麼就会有不一样的宇宙诞生。因此，第七维的空间可以想成是两个不同初始条件的宇宙连成的一条线。 8维：应该可以猜得到那两个字是什麼了：「分离」。从7维的线上分离出来的线，构成第8维。更精确地说，就是各种不同的初始条件下形成的宇宙所组成的集合。 9维：摺起。第9维的摺起动作能让第8维空间内的点跳跃。因此到了第9维的空间，我们已经能够自由穿梭在任何一个宇宙的任何一个时点的任何一个3度空间了。 10维：呼，终於走到这一步了。 在第10维，我们将所有可能的宇宙中的所有的时间下的所有的3度空间，想像成10维空间下的一个点。这个点已经包含了一切了。你还能想像另一个「所有可能的宇宙中的所有的时间下的所有的3度空间」的点吗? *嗷嗷，不靠谱的部分终于结束了* @Ent_evo 的剖析： （在这个回答里，为了避免把大家弄晕，我故意忽略了“相空间”这个用法， 把空间二字等同于物理世界的空间。如果你不知道这句话在说啥，请无视它。） 这个视频是胡扯。 视频开头还是对的，到第四就开始岔子了。“时间是第四维。”呃，啥？ 【维度可以是任何东西】 这里先要澄清一个误区。时间和空间本身不是维度，而是“可以用维度概念描述的东西”。空间拥有三个维度，并不是说一维、二维和三维是空间；就像百米赛跑有前三名，但你不能说第一名、第二名和第三名就是百米跑。 维度（dimension）这个概念其实非常基础：允许某种东西自由变化的范围。一个平面拥有两个维度，因为一个点在上面有两种变化方式：横着左右走，竖着上下走。如果横竖都不让动，这个点就有唯一确定的坐标——换言之它动不了。我们所知的时间拥有一个维度，因为时间只有未来-过去这一条路。 而维度这个东西不限于时间或者物理空间，它可以是任何能变的东西。比如，颜色。我现在规定，还是那个平面，现在平面上每个点都可以有两种颜色，要么黑要么白。那么，这个带颜色的平面就拥有三个维度：其中两个维度是空间，还有一个维度是颜色。（至于颜色是第一还是第三，随你便。维度是没有排序的）。如果是一个带颜色的立体，那它就有四个维度。如果颜色不限定黑白，而是RGB彩色，那么这个带颜色的立体就有六个维度：三个来自空间，另三个来自颜色。如果每一个点自带咸淡不同的咸味儿，那么这个有色有味儿的立体就有七个维度，如此等等。任何能变的东西，都可以指定为维度（只要它没有和已有的维度重合）。 所以，只有当我们讨论的是一个有时间流逝的立体——或者说，时空复合体——的时候，才会出现三个维度的空间和一个维度的时间掺在一起。日常习惯于说时间是它的第四维，其实你也可以说它是第一维或者第零维。但是这个四维时空复合体碰巧是我们人类能直接接触到的时空状态，所以经常会被提到，所以才会让很多人误以为”第四维就是时间“——它不是。时间在百米赛跑中得了第四，并不意味着第四名就永远等同于时间。 这个问题在果壳站内以前就有帖子说过，http://www./post/70904/ ，视频里的“维度”看起来和平时说的维度是完全不同的东西。接着读下去，差异更明显。 好了，四维说完了，五维……五维这是什么鬼啊…… 【“人”太复杂，五个维度吃不消】 我们刚才说的四维，是时空复合体的四维。这里面任何一个点都只需要四个坐标就能唯一确定。 但是如果我要同时确定两个点，这两个点互不关联、独立运动，怎么办？对不起，需要八个坐标。三个点？十二个坐标。以此类推。 所以“四维时空复合体中的两个点”这个东西，实际上存在于“八维”里面——或者，相当于八维中的一个点。4*2=8*1。想象一下一条线，如果上面只有一个点，那就是老老实实的一维。如果有两个点，那么你完全可以认定一个点代表x，另一个代表y，于是一维空间上的两个点就和二维空间上的一个点完全等价。如果线上有三个点，那就是1*3 = 3*1。 那一个人？ 一个人还不是简单的点的堆积，他有质子中子电子……好在它们有一定的相互约束，能少用几个坐标，但也于事无补。 所以需要多少个坐标才能决定一个“生活在时空复合体里的人”？答案是天文数字（姑且用P来代表）。再加上他所有的人生选择？答案是另一个天文数字Q，而不是P+1。 这就是另一个问题了：集合“所有可能性”本身并不会增加“一个”维度，要知道维度本来就是用来描述各种可能性的。但，一个人和一个人的人生轨迹，这是俩东西。 【“人生轨迹”，比人还要复杂】 一个二维的平面上有一个点。这个点有许许多多种存在形态，每个形态都是一个可能性。把所有可能性都集合起来会发生什么？正好把平面填满。 四维时空复合体中的一个人，相当于P维中的一个点。每一个点都完全对应这个人的一种存在形态：这个点代表他在197年元旦0时0分0秒的洛阳南城门正中央位置并且少了一条腿，离它不远的那个点代表他197年元旦0时0分0.00001秒的洛阳南城门正中央位置并且少了一条腿，等等。把一个人的所有可能性堆在一起，正好把整个P维装满。 但“人生轨迹”可就不一样了，人生轨迹是由一系列的点构成的，每一个点都代表一个人的一种存在形态。还记得要怎么描述好多个点吗？假如你的人生有m个点，那么需要m*P个坐标才能完全描述。 好吧，实际上没有那么多，因为作为一个人，有些事情不是完全自由的。 假如我在二维平面上扔100个独立的点，那么完全描述它们需要200个坐标。但是现在我下了一条规定：这100个点不再独立不再自由，而是必须在同一条直线上（哪条直线无所谓）。那么我就只需要102个坐标了——用2个坐标唯一决定一条直线（y=kx+b，万恶的高中数学记得么），剩下100个用来决定这些点在线上的什么地方。 同样，这个m*P维里面有些东西其实是受约束而不可实现的——比如，每个点必须和别的点相邻，你不能这一瞬间在北京下一瞬间去了上海；再比如，同一时间只能有一个点，你不能既在北京又在上海，也不能既有两条腿又有一条腿。所以实际上我们需要的坐标比m*P少。具体是多少我就不知道了。 所以……继续到“第六维”。 【时间旅行？和六维没关系】 公正地说，时间旅行会“增加维度”。当你掌握了时间旅行能力后，你就可以既在北京又在上海了，你的自由程度增加了，所以原来偷懒的减少坐标办法就不能用了。你掌握时间旅行能力，恰如一个点掌握了摆脱那条直线的能力。 而且时间旅行并不特殊。任何让你更自由的发明都会增加维度，比如瞬间传送就能让你这一瞬间在北京下一瞬间在上海。 但是这个增加的维度，增加的是“生活在时空复合体里的人”这个东西的维度。时空复合体还是四个维度，不多，也不少。 【整个宇宙……七八九十维？你逗我呢？】 那么把人换成宇宙。宇宙的粒子数量，比起人的粒子数量来说，是literally的天文数字；宇宙的寿命，比起人的寿命，也是literally的天文数字。所以，整个宇宙的状态，需要天文数字乘以天文数字个坐标描述；整个宇宙的轨迹，需要天文数字乘以天文数字乘以天文数字个坐标描述。 八维？九维？十维？同理。视频作者说了一堆花里胡哨的东西，其实全都在这个框架里面。如果你描述的是一个宇宙的瞬间可能存在方式，那么就是宇宙的粒子数目*每个粒子可能的存在方式；如果你描述的是宇宙的轨迹，那么就看你给宇宙加的约束条件有多强。假如宇宙的可能存在形态需要N个坐标描述，轨迹由q个时间点组成，那么宇宙的轨迹最大是q*N维，最小是N维，约束条件越强则维度越小。 【所以说了半天，不干物理空间啥事儿啊。】 是的。 改变“时空复合体里乱七八糟东西”的维度，轻而易举。改变时空复合体本身？难。 但是，如果我们真的增加物理空间的维度的话，比如让空间变成四维而且允许人类在其中自由往来，那么时空复合体从四维变成五维，以上所有数据，都乘以5/4。 【那如果人类能在更高维的物理空间自由穿梭，有啥用啊？】 不会让你变成神。 如果你能自由往来三维空间（就像你现在这样），那么在二维生命眼里你会做一些不可思议的事情，比如人家明明画了个闭合的圈却圈不住你，你凭空从圈里消失一会儿又在别的地方出现了。或者人家明明需要走一天才能到的地方，你半天就到了。 如果自由往来四维空间？同理，只不过变成让三维人吃惊。五维？让四维人吃惊。六维？同理不再赘述。 但是你并不是想干什么就能干什么。二维空间里有些做不到的事情你能做到，但三维空间里还是有些事情你干不了。到了四维你能突破三维空间的部分限制，但四维自己也有限制。到了五维你又能突破四维的部分限制，等等。这样下去是无穷无尽的。 所以，现实中的高维空间好像是……有点无聊。没有视频说的那么神。因为视频可以胡诌嘛，不用顾及现实的制约。但是老实说，我觉得这样的胡诌也就是看起来比较华丽，真论想象力的广度和深度，比起真正的物理、真正的宇宙差了不知多少。 接下来，是果壳网友@方程 更为数学化的分析： 我试试用我的方式说说如何构造n维空间吧。 n维空间在n大于3后，说要画出来，有点难以想象。 但从数学的角度看，高维空间这个概念还算比较普通、容易理解的。 与其解释，不如快快开始。我选择用图(Graph)的方法来描述想说的东西，而且，我选的是特殊的某类空间，并且不是大多数人通常理解的空间。我选的空间的各个维度上只有一个比特——值只能在0和1之间取。数学符号表示是 {0,1}n 下面会看到，这个模型会让人想到信息论里格雷码。但那是另一码事；我事实上忘了这种图论模型的名字，只是知道它而已。这里选择它，只是因为它的空间非常简单，我觉得应会比较容易感受维度的扩张如何进行。 首先希望大家放下对维度的先入之见。此处的维度，仅是@Ent 所说的自由度，并非大家通常理解的坐标轴的延伸方向。 开始吧。 首先是， 零维空间，没有维度——也即连一个可以取0-1值的比特都容不下。 但给它扩张一个维度后， 这是空间可以容纳两个比特了，也即可以表示种状态。在该图里，开始可以看到维度是如何扩充的了：图的底下那条边，正是前一张图；将该条单边做一份拷贝，然后将原图和拷贝的两个顶点连接起来，就得到了这张图。 再按上述的方式扩张一次， 此时，该图拥有了23=8个顶点，可表示的状态也增长到这个数目；它所对应的空间扩张成了三维的，能容纳三个在0和1之间取值的比特。这里有个比较有趣的现象： 许多人倾向将这个图看作是立方体，哪怕他只是一个图(Graph)。 再来，应该是四维空间。大家可能都见过很多次的四维空间的标志物： 即这个问题的首页图：超立方体(Hypercube)。 事实上确实会得到超立方体， 如果你眼力比较好，可以看出这个图跟本问题的首页图是等价——妥妥的同一回事。该有的点都有，点和点之间该有的边都有，不该有的边都没有。这次的扩张，和前面的操作完全一样： 先取上一张图的原份，做一份拷贝；再将拷贝和原份的对应点连接起来，得到下一张图。 新图对应的空间，再次多了一个比特；同时能表示的状态翻了一倍。 再下来，五维的当然可以有， 图看起来开始凌乱了。往后当然还可以有六维、七维……的图。但就此打住吧。想表达的意思已经完全表达出来了。 上面各个过程，进行的操作是一样的：对空间的扩基(Extending basis)，将n-1维空间升级为n维空间。由数学归纳法，事实上我们可以得到任意维的空间。只是，我取的空间是特殊的。 但也不要认为这样的空间离欧氏空间很远——这种由比特组成的空间 (我忘了它的正式称谓) 的坐标值只能在两个离散值间取；假若各个坐标的取值都能取实数，那它就是欧氏空间。 就介样，以后别说「画不出n维空间」这样的话了。 最后，用@方弦 的吐槽来做个总结： 下次谁这么胡扯我就这一句话摔他脸上： 实连续函数组成了一个无穷维空间。 扩展阅读： 如果上方的文字太过于烧脑，那么果壳再给你一个简单一点的《星际穿越》解读，供你作谈资——信息图示：《星际穿越》的剧情时间线。 |
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