java实现几种常见排序算法

本文介绍几种常见排序算法（选择排序，插入排序，希尔排序，归并排序，快速排序，堆排序），对算法的思路、性质、特点、具体步骤、java实现以及trace图解进行了全面的说明。最后对几种排序算法进行了比较和总结。

写在前面

本文所有图片均截图自coursera上普林斯顿的课程 《Algorithms, Part I》 中的Slides

相关命题的证明可参考 《算法（第4版）》

源码可在 官网 下载,也可以在我的github仓库 algorithms-learning 下载，已经使用maven构建

仓库下载： git clone [e-mail]:brianway/algorithms-learning.git

基础介绍

java: Interface Comparable

Java中很多类已经实现了 Comparable 接口，用户也可自定义类型实现该接口

total order:

Antisymmetry(反对称性): if v ≤ w and w ≤ v, then v = w.

Transitivity(传递性): if v ≤ w and w ≤ x, then v ≤ x.

Totality: either v ≤ w or w ≤ v or both.

注意： The <= operator for double is not a total order ，violates totality: (Double.NaN <= Double.NaN) is false

通用代码：

2. // Less. Is item v less than w ?
3. private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
4. return v.compareTo(w) < 0;
5. }
7. //Exchange. Swap item in array a[] at index i with the one at index j
8. private static void exch(Comparable[] a,, int i, int j) {
9. Comparable swap = a[i];
10. a[i] = a[j];
11. a[j] = swap;
12. }

复制代码

初级排序算法 selection sort(选择排序)

思路：

在第i次迭代中，在剩下的(即未排序的)元素中找到最小的元素

将第i个元素与最小的元素交换位置

现象：

设已排序的和未排序的交界处为 ↑，则每次循环， ↑ 从左往右移动一个位置

↑ 左边的元素（包括↑）固定了，且升序

↑ 右边的任一元素全部比左边的所有元素都大

步骤：

move the pointer to the right

indentify index of minimun entry on right

exchange into positon

java实现：

2. public static void sort(Comparable[] a) {
3. int N = a.length;
4. for (int i = 0; i < N; i++) {
5. int min = i;
6. for (int j = i+1; j < N; j++) {
7. if (less(a[j], a[min])) min = j;
8. }
9. exch(a, i, min);
10. }
11. }

复制代码

特点：

运行时间和输入无关，无论输入是已排序，时间复杂度都是O(n^2)

数据移动最少，交换的次数和数组大小是线性关系

insertion sort(插入排序)

思路：

在第i次迭代中，将第i个元素与每一个它左边且比它大的的元素交换位置

现象：

设已排序的和未排序的交界处为 ↑，则每次循环， ↑ 从左往右移动一个位置

↑ 左边的元素（包括↑）且升序，但位置不固定(因为后续可能会因插入而移动)

↑ 右边的元素还不可见

步骤：

Move the pointer to the right.

Moving from right to left, exchange a with each larger entry to its left.

java实现：

2. public static void sort(Comparable[] a) {
3. int N = a.length;
4. for (int i = 0; i < N; i++) {
5. for (int j = i; j > 0 && less(a[j], a[j-1]); j--) {
6. exch(a, j, j-1);
7. }
8. }
9. }

复制代码

inversion（倒置）：An inversion is a pair of keys that are out of order

部分有序：An array is partially sorted if the number of inversions is ≤ c N.

特点：

运行时间和输入有关，当输入已排序时，时间复杂度是O(n);

For partially-sorted arrays, insertion sort runs in linear time.(交换的次数等于输入中倒置(inversion)的个数)

插入排序适合部分有序数组，也适合小规模数组

ShellSort(希尔排序)

希尔排序是基于插入排序的。

思路：

Move entries more than one position at a time by h-sorting the array

按照h的步长进行插入排序

现象：

数组中任意间隔为h的元素都是有序的

A g-sorted array remains g-sorted after h-sorting it.

性质：

递增数列一般采用3x+1：1,4,13,40,121,364.....，使用这种递增数列的希尔排序所需的比较次数不会超过N的若干倍乘以递增数列的长度。

最坏情况下，使用3x+1递增数列的希尔排序的比较次数是O(N^(3/2))

java实现：

2. public static void sort(Comparable[] a) {
3. int N = a.length;
5. // 3x+1 increment sequence: 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, ...
6. int h = 1;
7. while (h < N/3) h = 3*h + 1;
9. while (h >= 1) {
10. // h-sort the array
11. for (int i = h; i < N; i++) {
12. for (int j = i; j >= h && less(a[j], a[j-h]); j -= h) {
13. exch(a, j, j-h);
14. }
15. }
16. h /= 3;
17. }
18. }

复制代码

shuffing(不是排序算法)

目标：Rearrange array so that result is a uniformly random permutation

shuffle sort思路

为数组的每一个位置生成一个随机实数

排序这个生成的数组

Knuth shuffle demo

In iteration i, pick integer r between 0 and i uniformly at random.

Swap a and a[r] .

correct variant: between i and N – 1

Mergesort--Java sort for objects.

Quicksort--Java sort for primitive types.

下面看看这两种排序算法

merge sort(归并排序)

思路：

Divide array into two halves.

Recursivelysort each half.

Merge two halves.

Abstract in-place merge(原地归并的抽象方法)

Given two sorted subarrays a[lo] to a[mid] and a[mid+1] to a[hi],replace with sorted subarray a[lo] to a[hi]

步骤：

先将所有元素复制到 aux[] 中，再归并回 a[] 中。

归并时的四个判断：

左半边用尽(取右半边元素)

右半边用尽(取左半边元素)

右半边的当前元素 小于 左半边的当前元素(取右半边的元素)

右半边的当前元素 大于/等于 左半边的当前元素(取左半边的元素)

merging java实现：

2. // stably merge a[lo .. mid] with a[mid+1 ..hi] using aux[lo .. hi]
3. private static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi) {
4. // precondition: a[lo .. mid] and a[mid+1 .. hi] are sorted subarrays
6. // copy to aux[]
7. for (int k = lo; k <= hi; k++) {
8. aux[k] = a[k];
9. }
11. // merge back to a[]
12. int i = lo, j = mid+1;
13. for (int k = lo; k <= hi; k++) {
14. if (i > mid) a[k] = aux[j++];
15. else if (j > hi) a[k] = aux[i++];
16. else if (less(aux[j], aux[i])) a[k] = aux[j++];
17. else a[k] = aux[i++];
18. }
19. }

复制代码

Top-down mergesort(自顶向下的归并排序)

mergesort java实现：

2. // mergesort a[lo..hi] using auxiliary array aux[lo..hi]
3. private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) {
4. if (hi <= lo) return;
5. int mid = lo + (hi - lo) / 2;
6. sort(a, aux, lo, mid); //将左边排序
7. sort(a, aux, mid + 1, hi); //将右边排序
8. merge(a, aux, lo, mid, hi); //归并结果
9. }

复制代码

自顶向下的归并排序的轨迹图

由图可知，原地归并排序的大致趋势是，先局部排序，再扩大规模；先左边排序，再右边排序；每次都是左边一半局部排完且merge了，右边一半才开始从最局部的地方开始排序。

改进

对小规模子数组使用插入排序

测试数组是否已经有序（左边最大<右边最小时，直接返回）

不将元素复制到辅助数组(节省时间而非空间)

Bottom-up mergesort(自底向上的归并排序)

思路：

先归并微型数组，从两两归并开始(每个元素理解为大小为1的数组)

重复上述步骤，逐步扩大归并的规模，2,4,8.....

java实现：

2. public class MergeBU{
3. private static void merge(...){ /* as before */ }
5. public static void sort(Comparable[] a){
6. int N = a.length;
7. Comparable[] aux = new Comparable[N];
8. for (int sz = 1; sz < N; sz = sz+sz)
9. for (int lo = 0; lo < N-sz; lo += sz+sz)
10. merge(a, aux, lo, lo+sz-1, Math.min(lo+sz+sz-1, N-1));
11. }
12. }

复制代码

自底向上的归并排序的轨迹图

由图可知，自底向上归并排序的大致趋势是，先局部排序，逐步扩大到全局排序；步调均匀，稳步扩大

quicksort

思路：

Shufflethe array.

Partition(切分)so that, for some j

entry a[j] is in place

no larger entry to the left of j

no smaller entry to the right of j

Sorteach piece recursively.

其中很重要的一步就是 Partition(切分) ，这个过程使得满足以下三个条件:

对于某个j,a[j]已经排定;

a[lo]到a[j-1]中的所有元素都不大于a[j];

a[j+1]到a[hi]中的所有元素都不小于a[j];

partition java实现

2. // partition the subarray a[lo..hi] so that a[lo..j-1] <= a[j] <= a[j+1..hi]
3. // and return the index j.
4. private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
5. int i = lo;
6. int j = hi + 1;
7. Comparable v = a[lo];
8. while (true) {
10. // find item on lo to swap
11. while (less(a[++i], v))
12. if (i == hi) break;
14. // find item on hi to swap
15. while (less(v, a[--j]))
16. if (j == lo) break; // redundant since a[lo] acts as sentinel
18. // check if pointers cross
19. if (i >= j) break;
21. exch(a, i, j);
22. }
24. // put partitioning item v at a[j]
25. exch(a, lo, j);
27. // now, a[lo .. j-1] <= a[j] <= a[j+1 .. hi]
28. return j;
29. }

复制代码

快排java实现：

2. public static void sort(Comparable[] a) {
3. StdRandom.shuffle(a);
4. sort(a, 0, a.length - 1);
5. }
7. // quicksort the subarray from a[lo] to a[hi]
8. private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
9. if (hi <= lo) return;
10. int j = partition(a, lo, hi);
11. sort(a, lo, j-1);
12. sort(a, j+1, hi);
13. assert isSorted(a, lo, hi);
14. }

复制代码

快排的轨迹图

由图可知，和归并排序不同，快排的大致趋势是，先全局大体有个走势——左边比右边小，逐步细化到局部；也是先左后右；局部完成时全部排序也就完成了。

一些实现的细节：

原地切分：不使用辅助数组

别越界：测试条件(j == lo)是冗余的(a[lo]不可能比自己小)；

保持随机性：初始时的随机打乱跟重要

终止循环

处理切分元素值有重复的情况：这里可能出问题

性质：

快排是in-place的

快排不稳定

改进

对小规模子数组使用插入排序

三取样切分

三向切分的快速排序

思路：

Let v be partitioning item a[lo].

Scan i from left to right.

(a < v): exchange a[lt] with a; increment both lt and i

(a > v): exchange a[gt] with a; decrement gt

(a == v): increment i

主要是通过增加一个指针来实现的。普通的快拍只有lo和high两个指针，故只能记录 大于 (high右边)和 小于 (lo左边)两个区间， 等于 只能并入其中一个；这里增加了使用了lt,i,gt三个指针，从而达到记录 大于 (gt右边)、 小于 (lt左边)和 等于 (lt和i之间)三个区间。

三切分的示意图

三向切分的java实现：

2. // quicksort the subarray a[lo .. hi] using 3-way partitioning
3. private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
4. if (hi <= lo) return;
5. int lt = lo, gt = hi;
6. Comparable v = a[lo];
7. int i = lo;
8. while (i <= gt) {
9. int cmp = a[i].compareTo(v);
10. if (cmp < 0) exch(a, lt++, i++);
11. else if (cmp > 0) exch(a, i, gt--);
12. else i++;
13. }
15. // a[lo..lt-1] < v = a[lt..gt] < a[gt+1..hi].
16. sort(a, lo, lt-1);
17. sort(a, gt+1, hi);
18. }

复制代码

Heapsort(堆排序)

思路：

Create max-heap with all N keys.

Repeatedly remove the maximum key.

swim:由下至上的堆有序化

sink:由上至下的对有序化

堆排序主要分为两个阶段：

堆的构造

下沉排序

java实现如下：

2. public static void sort(Comparable[] pq) {
3. int N = pq.length;
4. //堆的构造
5. for (int k = N/2; k >= 1; k--)
6. sink(pq, k, N);
8. //下沉排序
9. while (N > 1) {
10. exch(pq, 1, N--);
11. sink(pq, 1, N);
12. }
13. }

复制代码

堆排序的轨迹图

由图看出，堆排序的趋势是，堆构造阶段，大致是降序的走势，到了下沉阶段，从右到左（或者说从后往前）逐步有序

Significance： In-place sorting algorithm with N log N worst-case.

Mergesort: no, linear extra space.

Quicksort: no, quadratic time in worst case

缺点

Inner loop longer than quicksort’s.

Makes poor use of cache memory.

Not stable(不稳定)

总结和比较

排序算法总结表

最好情况和最坏情况：参见上面的表格

关于稳定性：

稳定性，插入排序，归并排序

不稳定：选择排序，快排，希尔排序，堆排序

原因： Long-distance exchange

关于额外空间：除了归并排序需要线性的额外空间，其他都是in-place的

命题

对于长度为N的数组，选择排序需要N^2/2次比较和N次交换(pf见P156)

对于随机排列的长度为N的且主键不重复的数组（pf见P157）

平均情况下插入排序需要~N^2/4次比较和~N^2/4次交换

最坏情况下需要~N^2/2次比较和~N^2/2次交换，

最好情况下需要N-1次比较和0次交换。

Mergesort uses at most N lg N compares and 6 N lg N array accesses to sort any array of size N. (pf见P173)

Mergesort uses extra space proportional to N.(The array aux[] needs to be of size N for the last merge.)

Any compare-based sorting algorithm must use at least lg ( N ! ) ~ N lg N compares in the worst-case.(pf见P177)

长度为N的无重复数组排序，快速排序平均需要~2N ln N 次比较（以及1/6即1/3 N ln N的交换）

最多需要约N^2/2次比较

最少需要~N lg N 次比较

用下沉操作由N个元素构造堆只需少于2N次比较以及少于N次交换(pf见P206)

将N个元素排序，堆排序只需少于（2NlgN+2N）次比较以及一半次数的交换(pf见P208)

来自： https://segmentfault.com/a/1190000005082467