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人类精神最高胜利的微积分史话

 youxd 2017-05-09

早期的微积分概念来自于埃及、希腊、中国、印度、伊拉克、波斯、日本,但现代微积分来自于欧洲。

到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:

第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国家里独自研究和完成了微积分的工作。当然在此之前,已有不少数学家从事过微积分的奠基性工作,但作为无穷小量分析所涉及的观点和方法,以及由此组成的一门以独特的算法为特征的新学科的发现还是要归功于牛顿和莱布尼茨。

1 牛顿的微积分

1665年,牛顿开始考虑无穷小。他提出的问题是:假定我们知道物体在任意时间t内经过的距离是D(t),如何得到任意时刻的速度?他提出对变速运动而言,任意时刻的瞬时速度是在该时刻的无穷小时间区间内经过的距离与时间区间的比值。引入符号o作为无穷小时间区间,牛顿定义时间t的速度为在时刻t和时刻t+o之间经过的距离与o的比值,即速度[d(t+o)-D(t)]/o。例如,如果D(t)=t3 ,那么D(t+o)=t3+3r2o+3to2+o3。由于o是无穷小,我们可能忽略正比于o2和o3的项,取D(t+0)=t3+3t2o,于是D(t+0)-D(t)=3r2o,由此得出速度是3r2。牛顿称之为D(t)的“流数”,但后人称之“导数”,它是现代微积分的基本工具。

然后牛顿研究了曲线所围成图形面积的问题。他的回答是微积分的基本定理:必须找到一个量,其流数是描述曲线的函数。例如,我们已经看到,3x2是x3的流数,因此抛物线y=3x2与x=0之间的面积就是x3.牛顿称之为“反流数术”,如今被称为“积分”。

1666年,在担任数学教授之前,牛顿已经开始关于微积分的研究,他受到了沃利斯的《无穷算术》的启发,第一次把代数学扩展到分析学。牛顿真实的研究使用的是静态的无穷小量分析,像费尔马那样把变量看成是无穷小元素的集合。1669年,牛顿完成了第一篇有关微积分的论文《无穷多项方程的分析》。这篇论文当时在他的朋友中间散发、传阅,直到1711年才正式出版。牛顿在论文中不仅给出了求瞬时变化率的一般方法,而且证明了面积可由求变化率的逆过程得到。

接着,牛顿进行微积分研究第二阶段的工作,研究变量流动生成法,认为变量是由点、线或面的连续运动产生的,因此他把变量叫做流量,把变量的变化率叫做流数。牛顿这阶段的工作成果,主要体现在成书于1671年的一本论著《流数法和无穷级数》。书中叙述了微积分的基本定理,并对微积分思想做了广泛而更明确的说明,但这本书直到1736年才出版。在书中,牛顿还明确表述了他的流数法的理论依据:“流数法赖以建立的主要原理乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理,即数学量,特别是外延量都可以看成是连续轨迹运动产生的,而且所有不管什么量,都可以认为是在同样方式下产生的。”

他又说:“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的,这就是假定一个量可以无限分割,或者可以(至少在理论上说)使之连续变小,直到比任何一个指定的量都小。”牛顿这里提出的“连续”思想以及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的。

牛顿进行微积分研究的第三阶段用的是最初比和最后比的方法,否定了之前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合,不再强调数学量是由不可分割的最小单元构成,而认为它是由几何元素经过连续运动生成的。他也不再认为流数是两个实无限小量的比,而是初生量的最初比或消失量的最后比,这就从原先的实无限小量观点进入了量的无限分割过程,即潜无限观点上去。这是他对初期微积分研究的修正和完善。

牛顿在流数术中提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法),已知运动的速度求给定时间内经过的路径(积分法)。牛顿认为任何运动存在于空间,依赖于时间,因而他把时间作为自变量,把和时间有关的固定量作为流量。不仅如此,他还把几何图形-线、角、体,都看作力学位移的结果,因而一切变量都是流量。

所谓“流量”就是随时间而变化的自变量,如x、y、s、u等,“流数”就是流量的改变速度,即变化率。牛顿所说的“差率”、“变率”就是微分。与此同时,他还在1767年首次公布了自己发明的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数,并用来计算面积、积分、解方程等。

牛顿指出,“流数术”基本包括三类问题:

第一类问题:已知流量之间的关系,求它们的流数的关系,这相当于微分学;

第二类问题:已知表示流数之间关系的方程,求相应的流量间的关系,这相当于积分学。牛顿意义下的积分学不仅包括求原函数,还包括解微分方程;

第三类问题:“流数术”的应用范围包括计算曲线的极大值、极小值,求曲线的切线和曲率,求曲线长度及计算曲边形面积等。

牛顿已完全清楚上述第一与第二两类问题中的运算是互逆的运算,于是建立起微分学和积分学之间的联系。牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到了“流数术”,因而有人把这一天作为微积分诞生的标志。

2 莱布尼茨的微积分

1684年莱布尼茨在莱比锡的《教师学报》(Acta Eruditorum)上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法,也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》(简称《新方法》)的文章。这是他关于微分计算要点的代表作,全文只有六页。莱布尼茨于在此文中定义了微分概念,采用了微分符号dx,dy。

1686年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章,实际可看作《新方法》的续篇。莱布尼茨于在此文中讨论了微分与积分,使用了积分符号∫。

莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两点的纵坐标和横坐标之差。当这两无限减小时,曲线上相邻两点便无限接近。联结这样两点就得出曲线在该点的切线。这就是求差的方法。求差的反面就是求和。当曲线下面的矩形被分割得无限小时,矩形上面的那个三角形可以忽略不计,此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。

早在1666年,莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。在帕斯卡三角形中,任意一个元素既等于其上一行左边各项之和,又等于其下一行相邻两项之差;而在调合三角形中,任一元素均是其下一行右边各项之和,也是紧靠其上两项之差。

算术三角形调合三角形

莱布尼茨在笔记中写出了各阶的差和微分:

自然数 0, 1, 2, 3, 4, 5, … y

一阶差 1, 1, 1, 1, 1, 1, … dy

二阶差 0, 0, 0, 0, 0, …

自然数平方 0, 1, 4, 9, 16,… y

一阶差 1, 3, 5, 7, … dy

二阶差 1, 2, 2, 2, … d(dy)

三阶差 1, 0, 0, …

他把这些与微积分联系起来:一阶差相当于dy,它们的和等于y,如1+3+5+7=16。莱布尼茨认为,这种和与差之间的互逆性,与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值,而曲线的纵坐标之差是无穷小量。这说明他在考虑无穷小量的和差运算时,已将其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。由此也可看出莱布尼茨研究微积分的代数出发点,而不是几何出发点。

3 牛顿与莱布尼茨微积分思想的碰撞

牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道:“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中,我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法,但我在交换的信件中隐瞒了这方法,……这位最卓越的科学家在回信中写道,他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法,它与我的方法几乎没有什么不同,除了他的措词和符号而外”(但在第三版及以后再版时,这段话被删掉了)。因此,后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。

牛顿从物理学出发,运用集合方法研究微积分,其应用上更多地结合了运动学,造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发,运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则,其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。

莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此,他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大影响。1714至1716年间,莱布尼茨在去世前,起草了《微积分的历史和起源》一文(本文直到1846年才被发表),总结了自己创立微积分学的思路,说明了自己成就的独立性。

4 微积分的完善

微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。

应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊。牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星:瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西……欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩。

一些数学家,包括科林·麦克劳林,试图利用无穷小来进行证明,但直到150多年之后才得以成功。在奥古斯丁·路易·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯的努力之下,终于实现对无穷小的符号的回避。微分和积分的基础终于被打下了。在柯西的著作中,我们看到了大量的基础论证,包括通过连续来对无穷小进行定义,和用以定义微分的一个不太精确的(ε,δ)-极限定义版本。魏尔斯特拉斯推导总结了极限概念,回避了无穷小。继魏尔斯特拉斯之后,微积分就常以极限作为基础,而非无穷小了。波恩哈德·黎曼使用这些概念来对积分进行严格定义。在这一时期,微积分这一概念被综合成为欧几里得空间和复平面。

科学的很多分支都研究对象的运动及其随时间而改变的特性。例如随着球从山上滚下来,它的位置会改变。位置的变化率就是球的速度。但是,速度本身也可能会改变。速度的变化率就是加速度。问题是,如果你有一个数学公式能够描述球的位置,那么你能算出它的速度和加速度吗?几何问题是如何确定平面上的一条曲线在任意点的陡峭度。如果曲线是关于球的位置与时间的图形,那么它的陡峭度就代表着球的速度。从一条曲线开始,陡峭度就是微分,曲线下边的区域面积就是积分,而这两个相反的过程(瞬间变化率和面积)竟然是互逆运算。

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5 微积分应用和意义

微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支关系密切,包括精算、计算机、统计、工程、商业、医药、人口统计,特别是物理学;经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代技术,如建筑、航空等都以微积分学作为基本数学工具。微积分使得数学可以在变量和常量之间互相转化,让我们可以已知一种方式时推导出来另一种方式。

物理学大量应用微积分;所有经典力学和电磁学都与微积分有密切联系。已知密度的物体质量,动摩擦力,保守力场的总能量都可用微积分来计算.例如,将微积分应用到牛顿第二定律中:史料一般将导数称为“变化率”。物体动量的变化率等于向物体以同一方向所施的力。今天常用的表达方式是,它包换了微分,因为加速度是速度的导数,或是位置矢量的二阶导数。已知物体的加速度,我们就可以得出它的路径。

麦克斯韦尔的电磁学和爱因斯坦的广义相对论都应用了微分。化学使用微积分来计算反应速率,放射性衰退。生物学用微积分来计算种群动态,输入繁殖和死亡率来模拟种群改变。

微积分可以与其他数学分支交叉混合。例如,混合线性代数来求得值域中一组数列的“最佳”线性近似。它也可以用在概率论中来确定由假设密度方程产生的连续随机变量的概率。在解析几何对方程图像的研究中,微积分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐点等。

格林公式连接了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为且平面区域为的双重积分。它被设计为求积仪工具,用以量度不规则的平面面积。例如,它可以在设计时计算不规则的花瓣床、游泳池的面积。

在医疗领域,微积分可以计算血管最优支角,将血流最大化。通过药物在体内的衰退数据,微积分可以推导出服用量。在核医学中,它可以为治疗肿瘤建立放射输送模型。在经济学中,微积分可以通过计算边际成本和边际利润来确定最大收益。

微积分也被用于寻找方程的近似值;实践中,它用于解微分方程,计算相关的应用题,如牛顿法、定点循环、线性近似等。比如,宇宙飞船利用欧拉方法来求得零重力环境下的近似曲线。

恩格斯说:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩,那就正是在这里。”有了微积分,人类才有能力把握运动和过程。有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代化的社会。航天飞机。宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下,万有引力定律发现了,牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用,以及地球对它附近物体的作用。从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含范围内。这是人类认识史上的一次空前的飞跃,不仅具有伟大的科学意义,而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计,摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科xy动开始了。毫无疑问,微积分的发现是世界近代科学的开端。

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