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摘自《机械故障诊断理论与方法》
希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang
Transform）是由N.E.Huang等人与1998年提出的一种非线性、非平稳信号的分析处理方法。这种方法主要由经验模式分解和希尔伯特谱分析两个理论部分构成。经验模式分解可以将任意信号分解为一系列固有模式函数的集合；固有模式函数经过希尔伯特谱分析，可以得到瞬时频率。一个非线性、非平稳时间序列经过希尔伯特黄变换，最终表示成为幅值（能量）的时频谱图。本章首先介绍
了希尔伯特-黄变换涉及到的瞬时频率、固有模式函数的概念，然后介绍了希尔伯特-黄变换的理论和两个主要步骤经验模式分解（Empirical
Mode Decomposition）和希尔伯特谱分析（Hilbert Spectral
Analysis）。通过典型的机械信号和实际机械信号分析，介绍了希尔伯特-黄变换的应用。
6.1 希尔伯特-黄变换中的基本概念
传统的傅里叶变换受到以下条件的限制：一是系统必须是线性的；二是数据必须具有严格的周期性或平稳性。否则得到的谱图几乎不具有实际的物理意义。与传统的全局傅里叶变换不同，经验模式分解是基于数据自身的局部特征时间尺度进行分解，所以它可以高效率、自适应地分解非线性、非平稳信号。分解得到的固有模式函数经过希尔伯特变换，可以赋予瞬时频率合理的意义与求法，进而表征信号的时频特性。
在具体论述希尔伯特-黄变换之前，首先有必要讨论其中的两个基本概念：一个是瞬时频率的概念；另一个是固有模式函数的概念。固有模式函数时希尔伯特-黄变换的基础，只有对固有模式函数进行希尔伯特变换，得到的时频谱图才具有明确的物理意义。
6.1.1 瞬时频率
瞬时频率是物理现象中比较直观的概念，音调变化着的声音和许多非周期性变化的现象都体现了它的存在。同样，在机械信号中也存在大量的非平稳信号，比如转子启动信号、故障齿轮调频信号等等。如果用常规的傅里叶谱对他们进行将不能得到令人满意的结果，而瞬时频率是描述非平稳信号的一个重要参数，利用瞬时频率的概念对它们进行处理会得到更好的解释。
瞬时频率的存在颇有争议，人们接受瞬时频率的概念比较困难的原因有两个
（1）傅里叶谱的影响深刻，但实际上对于一个频率随着时间变化的非平稳信号，这种定义没有实际意义。
（2）瞬时频率没有唯一的定义方法，然而当引入希尔伯特变换进而将数据解析化以后，这个问题得到了很好的解决。
任意一个时间序列g(t)的希尔伯特变换\(\hat g(t)\)，它的数学表达式是：
\(\hat g(t) =
\frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{g(\tau)}{t - \tau}d\tau
= \frac{P}{\pi t} * g(t)\)
式中，P为柯西主值，为简单计算可取1.由上式可见，信号g(t)的希尔伯特变换\(\hat
g(t)\)是原信号g(t)与\(\frac{1}{\pi
t}\)在时域内的卷积。这个卷积在时域内似乎很难理解；我们将它转换到频域中来看。时域中的卷积相当于频域的相乘，而
\[F(\frac{1}{\pi t}) = -jsgn(f) =
\begin{cases}&-j, f >0
\\
可以看出，希尔伯特变换的结果是给原来的实信号提供一个幅值和频率不变，但相位平移90度的信号。
希尔伯特变换是生成解析信号的基础，原信号g(t)和它的希尔伯特变换对\(\hat
g(t)\)分别构成解析信号的实部和虚部，解析信号可以表示为：
\(g_+(t) = g(t) + j\hat g(t) = a(t)e^{j\theta(t)}\)
\(a(t) = \sqrt{g(t)^2 + \hat g(t)^2}\)
\(\theta(t) = arctan(\frac{\hat g(t)}{g(t)})\)
理论上可以有许多方法来定义一个虚部，但是唯有通过希尔伯特变换得到的虚部，才能构建出具有明确意义的解析函数。在此基础上瞬时频率定义为：
\(\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}\)
为了使按上式定义的瞬时频率为时间t的单值函数，原则上必须对所分析的数据做出必要的约束。这样在任一时刻，只存在一个频率值与之对应，也就是说，所分析的信号必须是“单分量”信号。由于对单分量信号没有明确的定义，人们很难保证一个信号可用于计算具有实际物理意义的瞬时频率。在你这种情况下，“窄带”信号就被用于对所分析的数据进行约束。然而，对“窄带”信号的定义，本身就是在谱距离概念的基础上提出的，所以都是从全局意义上对带宽作出判断，缺乏精确性且有过多的约束。
瞬时频率对信号的约束条件，给人们一种启示：在对信号进行希尔伯特变换之前，首先要把信号分解为瞬时频率具有意义的各个分量。把信号进行分解的方法在希尔伯特-黄变换理论中称为经验模式分解。在此方法中N.E.Huang等人定义了一类函数，称为固有模式函数。利用这类函数的局部特性，可以使函数在任意一点的瞬时频率都具有明确的物理意义，从而使得希尔伯特-黄变换比单纯的希尔伯特变换在时频分析中有了很大的进步。
6.1.2 固有模式函数
一个固有模式函数要满足以下两个条件：一是在整个数据集合中，极点的数目和过零点的数目必须相等或最多相差一个；二是由局部极大值和极小值所形成的的包络均值都等于零。
实际中信号复杂多样，很难保证要处理的信号已经符合固有模式函数的要求。在这种情况下对原始信号进行分解处理，进而化为多个固有模式函数集合就很有必要。这就是经验模式分解。
6.2 经验模式分解
6.2.1 经验模式分解的基本原理
经验模式分解方法能够很好地处理非平稳、非线性信号，与小波变换和其他的时频分析方法相比，这种方法具有许多优点。比如它是直观的，直接的等，其根本原因是在于这种变换是基于数据本身的一种分解，而不是基于事先设定好的基函数，所以具有很好的自适应性。
经验模式分解是建立在以下假设的基础上：
（1）信号至少有两个极值点：一个极大值点和一个极小值点。
（2）特征时间尺度由极值点之间的时间间隔定义；
（3）若数据缺乏极值点但具有变形点，则可以对数据进行一次或几次微分来获得极值点，然后再利用积分获得相应的分解结果。
这里只简单说一下步骤，详细参见原书
（1）提取信号的极大值点和极小值点，用三次样条曲线分别连接，形成上包络和下包络，设包络的均值为\(m_1\)，则有\(x(t) -
m_1 = h_1\)。
（2）\(h_1\)一般不是一个固有模式函数，需要继续平滑
\(h_1 - m_{11} = h_{11}\)
其中\(m_{11}\)为\(h_1\)上下包络的均值，重复以上平滑过程k次，\(h_{1k}\)是一个固有模式函数为止，即
\(h_{1(k-1)} - m_{1k} = h_{1k}\)
最后得到的第一个固有模式函数\(c_1 = h_{1k}\)。
（3）分离\(c_1\)
\(r_1 = x(t) - c_1\)
（4）重复以上步骤，直到残余项小于给定值或变成单调函数，分解结束，最后得到
\(x(t) = \sum_{i
这样就获得了n个固有模式函数和一个残余量。原始信号x(t)就是由这n个不同时间尺度下的固有模式函数和这个残余量组成。
6.3 希尔伯特谱分析
在经验模式分解的基础上，得到了固有模式函数，就可以根据前面的公式计算瞬时频率。对每一个固有模式函数进行希尔伯特变换后，解析信号可以表示为：
\(x(t) = \sum_{i = 1}^{n}a_i(t)e^{j\int\omega_i(t)dt}\)
其中，\(a_i(t)\)表示第i个固有模式函数的幅值，\(\omega_i(t)\)表示第i个固有模式函数的瞬时频率。由于残余项在一般情况下包含的能量较大，而我们感兴趣的却常常是高频率低能量的信息，为了避免残余项冲击其他信息，因此在构建希尔伯特谱时可以不考虑余项。
上面的公式给出了每一个模态随时间变化的幅值和频率。如果将原始数据用傅里叶展开，可表达成如下形式：
\(x(t) = \sum_{i = 1}^{\infty}a_ie^{j\omega_it}\)
其中\(a_i\)和\(\omega_i\)都是常数。对比fourier公式可以看出，用固有模式函数的形式来表达信号更一般化。随时间变化的幅值和频率不但提高了数据展开的效率，而且非常适于分析非平稳信号。
边缘谱计算公式
\(h(\omega) = \int_{0}^{T}H(\omega, t)dt\)
后面的就是一些实例和希尔伯特谱的意义，由于没有找到电子版的书，所以图片就不贴了，但这也不影响，因为本文主要是先介绍一些基本概念和原理，关于实例会有其他博文进行补充。
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