2015年数学分析
一、计算题
1、求极限：12
22lim,limnnnnaanaaan????????其中
2、设(,,),(,,)wfxyxyxfxyz???其中具有二阶连续偏导数，求xyw。
3、计算积分：
22xdyydxIxy?????
，其中?为包含原点的一条分段光滑闭曲
线，区正方向。
4、计算曲面积分:
222333
222,1sxyzIxdydzydzdxzdxdySabc????????为椭球面的外侧
。
5、求级数：
0
(1)31n
nn
?
?
???的和。
二、证明题
1、已知：()lim()0,lim0
xxfxfxx???????求证：
。
2、证明狄利克雷函数：?0,
1,()()xpx
qq
fx??为无理数有理数在所有无理点连续，
在有理点间断。
3、已知0na?，级数
1
1
nna
?
??
发散，求证级数
1
11
nna
?
???
也发散。
4、证明：若()(,)fxCab?（指(,)ab上的连续函数），且任意
(,)(,),()0,()0,(,)abfxdxfxxab?????????那么
5、证明：2
1(1)[0,1]
xn
nxx???在
上一致收敛。
6设
1sin()txxFtedxx
?????，证明：
(1)
1sin()txxFtedxx
?????在上[0,)??一致收敛
(2)()Ft在[0,)??连续。
三、讨论题
试作出定义在2R中的一个函数(,)fxy，使得它在原点处同时满足以下
三个条件：
(1)(,)fxy的两个偏导数都存在；(2)任何方向极限都存在；
(3)原点不连续。
2014年数学分析
一举例
(1)举一个极限点在[0,1]区间上稠密的可数集。
（2）举一个连续但不是一致连续的函数。
（3）举一个非零的可微函数，它在某一点的任意阶导数均为零。
（4）举一个Riemann不可积的函数。
（5）举一个非负函数()fx，它在[0,)??上的积分收敛但极限lim()
xfx??
不存在。
二、完成下列各题
1、设22110,22nnnxaxxaxa??????，求极限lim
nnx??
.
2、求极限2
0
2cos2limtansinx
x
xexxx
?
???。
3、设222
21()arctan,2ydyInxyxdx??求
4、设??
3
22
0,(,)0,0(,)xy
x
xy
fxy??
?
???
?，（x,y）(0,0)
,vxy是平面上的任一单位向量
（1）求0f在（0，）处沿v方向的导数
（2）试讨论0f在（0，）处的连续性与可微性
5、讨论函数序列??sin+
nntftnt??在（0，）
上的一致收敛性。
6、设()fx是偶函数，在0x?的某个领域中有连续的二阶导数，且
(0)1f?，试证明：
1
1(()1)
nfn
?
???
绝对收敛。
7、设,fa??在[)上连续，且()
afxdx???，
收敛，若,fa??在[)上一致连续，
则必有lim()0
xfx???
。
8、求函数22(,)27fxyxy??在闭区间??22(,)|2413Dxyxxyy????上的最
大值与最小值。
9、计算积分2min{,2},
DIxydxdy???
其中[0,4][0,3]D??.
10、计算()()
Sxydxdyxyzdydz?????
，其中S为柱面22=1xy?及平面
0,3zz??所围成的空间区域?的整个边界曲面外侧。
11、设,pq为实数，试讨论广义积分sin
0
sin2(1)xpqexdxxx????何时绝对收敛，何
时条件收敛，何时发散，并说明理由。
12、设函数()fx在[0,1]区间二阶连续可微，且(0)0,(1)1,()0fffx?????，
[0,1]x??。证明(),[0,1]fxxx???
2013年数学分析
一、计算下列各题
1、求下列不定积分3
2cossin1cosxxdxx???
。
2、设3SR为中封闭光滑曲面，l为任何固定方向，n为曲面S的外法
线方向，求cos(,)
Snlds??
。
3、求14
0
[1(1)sin]1lim1
xx
xxe
?
????。
4、求
01cos()
xtfxdtt???的麦克劳林级数展开式。
5、若2sin(arctan),Inxyexxy????求。
6、求幂级数
1
n
nnx
?
??
的和函数()fx。
7、求lim,0.nnn
nabab?????其中
8、求122
0xInxdx?
.
二、证明下列各题
1、设级数
1
n
naA
?
??收敛于
(有限数)，证明：
??1211lim2(1)nnnaananaAn????????.
2、函数()fx??在（-,+）上连续且lim()
xfxA???
,求证：()fx??在（-,+）上
有最大值或最小值。
3、设0,()(,)fx??????在上具有连续的二阶导函数(),(0)0,fxf???若
?(0),0(),0(),fxfxxxgx???证()gx??在（-,+）上有连续的导函数。
4、求不等式：221,(0,1)xxx???。
5、设()nfx是[0,1]上连续函数，且在[0,1]上一致收敛于()fx，求证：
111
00lim()()nnnfxdxfxdx
?
?????
6、设1(1),n
nenNn???
,(其为正整数)；11(1),n
nEnNn????
,
证明：（1）{}ne是严格递增的；
（2）{}nE是严格递减的；
（3）用对数函数Inx的严格递增性质证明：111(1)1Innnn????，对一切
nN?成立。
2012年数学分析
一、选择题
1、当0x?时，无穷小量4(1)Inx?是22cosxxe?的（）
A、等价无穷小量B、不清楚
C、低阶无穷小量D、高阶无穷小量
2、设2|()()|||,,fxfyxyxyR????,则（）
A、f连续，但不可导B、f是一致连续的，但不是常值函数
C、f是可导的D、f是二次函数
3、
112nnn
??
???
的极限是（）
A、1B、2C、3D、4
4、下列广义积分收敛的是（）
22
12..2dxdxABxInxxx
??????1
22203arctan..sin1xdxCDxx
??
???
5、???120xefx?，则在0x?处（）
A.f不连续，f?不存在B.f不连续，f?不存在
C.f连续，f?存在D.f连续，f?不存在
二、计算下列各题
1、设sin,yyx?求y?.
2、求曲线22
3322,11ttttxytt??????
上与t=1对应的点处的切线和法线方程。
3、求2221
21lim(1)
xt
x
x
edt
x????
。
4、计算2
2
|sin|xdx????。
5、设(,)yufyxe?，其中f具有二阶连续偏导数，求2u
xy???
。
6、改变二次积分132
0(,)yydyfxydx???
的顺序。
三、描绘????21
31xyx???
的图形。
四、证明：()I,02xyxyInxnxyInyxy??????。
五、证明函数????uxatxat??????满足222,uuatx???其中,??是可微函
数。
六、设函数??fx在区间??0,??上连续，证明：
??44112212()22xInxxfdxInfdxxxxx???????????。
七、求幂级数??21
1121
nn
n
xn??
????
的收敛区间及其和函数
2011年数学分析
1、求极限1lim[(1)]nn
nne???
。
2、设实函数f在[0,)??上连续，在[0,)??内处处可导，且lim|()|
xfxA????
(存在)，证明：当且仅当A???时f在[0,)??上一致连续。
3、设实函数[0,]fC???,令??
0cos()nCfxnxdx???
，1,2,3,n?证明
1||nnC
?
?????
。
4、证明+2
00xyxedxyx????在
上一致收敛。
5、已知??fx可道，??????,fxfxax??????，则x???时有
????,0fxafx???。
6、设??fx在区间[,]ab上非负且三阶可导，方程????0,fxab?在内有两
个不同实根。证明存在??????3,0.abf????，使得
7、设函数f在点a可导，且()0fa?，求??
1
lim
n
n
fan
fa??
?????
??。
8、求极限
112lim,
pp
pnnn??????其中
p>0.
9、计算
22Lxdyydxxy???
，其中L是椭圆221xyab??沿逆时针方向。
10、设??fu具有连续导函数，且??lim0
nfAu?????
，
??222{|,0,0},DxyRxyxy?????，（R>0）.
(1)证：lim()
ufu?????
；
（2）求
22(+)R
DIfxydxdy????
；
（3）、求
2limRRIR???
.
11、计算三重积分222xxydxdydz
?????
，其中?是曲面
2222zxyzxy????与围成的有界区域。
12、计算
Sands???
，其中2{,,}axyxxz???，S是平面226xyz???包含在
第一卦限的部分，nS是的单位外法向量。
13、设??fx?在[0,+)上单调递减，且??
0fdxx???
收敛，证明??lim0
xxfx????
。
14、求函数222zxxyy???在圆盘??22{|1},xyxy??上的最大值以及最小
值。
2010年的没有
2009年数学分析
一、试解下列各解
1、列{}nx满足条件
11||,1,2,33nnnxxn????
，证明{}nx的极限存在。
2、若
10,lim1,
nnn
n
aada
??????且
证明lim=0
nna??
。
3、设函数()fx在[0,2]上连续，且????02ff?，证明：存在,[0,2]xy?，
使得????1,yxffyx???。
4、设函数????,fax??在上的可导，且??lim0
xfx?????
，证明：()lim0
xfxx????
。
5、设函数()fx在[a,b]上连续，在??,ab上可微。若??????0,,ffabxx???且在
中只有有限个零点，证明：()fx在[a,b]上严格单调增加。
二、试解下列各题
1、设函数????,faax?在上有连续导数，证明()fx是偶函数的充分必要
条件是()fx?是奇函数。
2、讨论方程Inaax?的实根个数，其中a>0.
3、若??fx在[0,1]上连续，且??0,([0,1])fxx???，证明：
????110012fdxdxxfx????。
三、试解下列各题
1、证明：当0x?时不等式111
1Inxx?????????
成立。
2、若????01fx在，上的二阶可导，且有最大值1，最小值0，证明：在
??01，中至少有一点??2f????，使得。
3、设()fx在[a,b]上连续，且????00b
affdxxx???及
，证明：()fx在[a,b]
上恒为0
四、试解下列各题
1、将函数??
??21xfxx??
在0x?点展开成幂级数。
2、讨论带含参变量广义积分sin
otxdxx
???在下列区间上的一致收敛性
(1)[,),0taa????(2)(0,)t???
五、试解下列各题
1、设??,,Fxyz具有连续偏导数，且222()()()0xyzFFF??????,,Ftxtytz以及（）
(,,),tFxyz??=1n?其中是自然数，证明：
（1）、xyzxFyFzFnF??????
(2)、曲面??0,,Fxyz?上所有点切平面相交于一定点。
2、若?为封闭曲面，a为一固定向量，n为曲面?的单位外法向量，
证明cos(,)0nads
????
以上的真题是我昨年买纸质，考试结束我打成电子档，不免有一些错
误，请谅解。
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