分类讨论思想在初中数学教学中的应用

摘  要：数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。初中数学教材和学习辅导资料中有这样的问题，中考数学试题中也经常会出现与分类有关的问题。在初中数学教学中使用分类讨论的思想研究和解决问题，有助于让学生发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通；有助于培养学生学习数学的兴趣；有助于学生数学思维的发展，为学生今后的学习奠定坚实的基础。

关键词：分类思想  应用  兴趣

初中数学分类讨论思想应用很广泛，中考中常涉及此类问题。有概念的分类；有解题方法上的分类；还有几何中图形位置关系不确定的分类等等。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。教学过程中我们要利用学生已有的认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在数学教学中进行分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。

笔者以下面的几个例子来阐述分类思想在初中数学教学中的应用。

例1、学习完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：

整数                             正有理数

有理数               或者        有理数   零

          分数                             负有理数

为下一步分类讨论奠定基础。

例2：一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式      。（苏科版八上同步导学P108）

分析：本题要考虑k的取值情况，要分为k>0和k<0两种情况。

解：当k>0时， ，解得 ，所以 ；

当k<0时， ，解得 ，所以

例3：函数y=ax²-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。

分析：本题中函数是什么函数没有确定，故要根据初中学生已有的函数知识，根据a的不同取值，分别考虑此函数是一次函数或者二次函数两种情况。

解：当a=0时，为一次函数y=3x+1，交点为（ ，0）；

当a不为0时,为二次函数y=ax²+(3-a)x+1，b²－4ac（△）=a² -10a+9=0，

解得a=1或a=9，交点为（-1，0）或（ ，0）。

例4：解关于x的不等式：ax＋3＞2x+a

分析：通过移项不等式化为（a－2）x＞a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0，a－2＝0，和a－2＜0三种情况分别解不等式。

解：①当a－2＞0，即a＞2时，不等式的解是x＞

      ②当a－2＝0，即a＝2时，不等式的左边＝0，不等式的右边＝－1

因为0＞－1，所以不等式的解是一切实数。

③当a－2＜0，即a＜2时，不等式的解是x＜

例5：已知在△ABC中，∠A=80°，当∠B=          度时，△ABC是等腰三角形？

分析：本题没有明确哪个角是顶角，故要分∠A、∠B、∠C分别为顶角三种情况讨论。

例6：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是     。

分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD。

例7：如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?

 

 

 

 

分析：本题要求以OD为一边画等腰三角形，但没有明确OD为腰或者底，故要分类讨论。

解：按OD为腰或底，有以下几种情况：

 

 

 

（其中C₁、C₂、C₃是当OD为腰时的三种情况；C₄是当OD为底时的情况。）

例8：如图，已知线段AB，画出以AB为边的等腰直角三角形，你能画出哪些？

 

 

思路点拨：本题应用分类讨论的思想，首先考虑AB上侧，按AB为腰和底分别讨论，再考虑AB的下侧，共能画出6个符合条件的等腰直角三角形。

解：如图：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例9、已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是含30°角的直角三角形。△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD。（1）画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积。

分析：含30°角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边两类情况来研究。

解：情况1：如图1是以AC为斜边和等边三角形ABC拼成的四边形ABCD （∠DAC=30°和∠DAC=60°这两种图形算出的四边形ABCD面积相同的，故归纳为同一类）。

情况2：如图2和3，AC为直角边又可分为二种不同情况。由图1，S_{四边形ABCD}= ；由图2，可算得S_{四边形ABCD}= ；由图3可算得S_{四边形ABCD}= 。

      

 

 

以上仅仅是我们在教学中碰到的一些相对简单的运用分类讨论的思想解决问题的实例。应用分类讨论思想，往往使一些错综复杂的问题变得简单，解题思路变得清晰，解题步骤简洁明了。同时，在讨论中还可以激发学生学习数学的兴趣，培养学生自主探究、合作学习的意识和能力，养成创新思维的习惯。

在初中数学教学过程中，我们应该充分利用初中学生已经具有的关于分类问题的生活体验的这一基础，在遇到分类问题时，要不失时机地进行引导，使学生明确每进行一种意义下的分类，都应该有明确的标准；同一种事物按不同的标准则有不同的分类，应该是无重复和无遗漏的。数学教学中，教师在进行数学思维训练时，应多鼓励学生用新方法、新思路，拓宽思维领域，以克服思维的呆板性，促进灵活性，培养学生多角度、全方位思维的习惯，加快思维速度，以培养学生良好的数学思维习惯。通过加强学生数学思维的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深远的影响。

 

 

 

 

 

参考文献：

    ①《中考数学命题热点与规律探折》  彭林、刁卫东 《中小学数学》  2001专刊    ②《如何运用分类讨论思想解题》  刁卫东  《中学数学》  1997.5

③《学会分类方法，提高分类意识》 王燕春 《中学生数学》 1998.5

④《精心设计数学思想实验》 李彩芬 《中学数学教学参考》2003.5

⑤《逻辑与中学数学》 李元中、高安民  陕西科学技术出版社

 

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