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下面再提供两道有趣的“隐圆问题”： 例6：如图6，在菱形ABCD中，点P是BC边上的一动点，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是 （ ）A.变大 B.先变大后变小 C.先变小后变大 D.不变  解法一（构造“三爪图”，“隐形圆”相助）： 第一步（垂直平分线得“等线段”）：如图6-1所示，连接GA与GP，由EG垂直平分AP知GA=GP，产生了共顶点G的两条相等的线段； 第二步（菱形的对称性得“三爪图”）：如图6-1所示，再连接GC，由菱形的对称性易知GA=GC，这样就产生了共顶点G的三条相等的线段，即前文所说的“三爪图”； 第三步（见“三爪图”，造“辅助圆”）：如图6-2所示，以点G为圆心，GA=GC=GP为半径作圆G，产生了一个重要的数学模型，即“圆”；  第四步（利用“辅助圆”，寻找不变角）：造出了“辅助圆”这个重要载体的作用是，可以直接运用圆的相关知识与结论解决问题； 如图6-2所示，当点P在运动的过程中，发现圆周角∠ACP始终保持不变（因为菱形ABCD是确定的），其对应的圆心角∠AGP=2∠ACP也保持不变； 第五步（利用“三角形内角和”解决问题）：如图6-4所示，锁定等腰三角形AGP，由其顶角∠AGP不变易知，其底角∠APG也保持不变，故选择分支D.  动图加载中 解题后反思：这道小题精巧别致，其解法一让人赏心悦目！通过垂直平分线的性质定理（本质是线段的对称性）结合菱形的对称性，巧妙识别到了“三爪图”结构，构造辅助圆，利用圆中结论找到不变角，进而转化解决问题，这一连串的漂亮“动作”让人“目不暇接”，体现了命题人的“精明”，反映了解题人的“睿智”！ 动图加载中 下面再提供一种“四点共圆”的解法，供同学们欣赏之，用来开发大脑（哈哈）： 解法二（“四点共圆” “中位线”法）： 第一步（垂直平分线得“等线段”，转移角）：如图6-5所示，连接GA，由EG垂直平分AP知：AE=PE且GA=GP，从而有∠APG=∠PAG； 第二步（利用“菱形对角线互相垂直平分”造“垂直” “中点”）：如图6-5所示，连接AC，由菱形ABCD知：AC与BD互相垂直平分，则有AO⊥GO且有AO=OC； 第三步（利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得“四点共圆”）：如图6-6所示，取AG的中点M，连接EM、OM，则易知ME=MA=MG=MO，因此有A、E、G、O四点共圆，如图所示； 第四步（利用“辅助圆”，进行“圆周角转化”）：如图6-6所示，连接EO，由“同弧所对的圆周角处处相等”知∠PAG=∠EOG； 第五步（利用“中位线模型”，终极“转移角”）：如图6-7所示，由AE=PE且AO=OC知EO是△APC的中位线，从而有EO∥BC，则有∠EOG=∠OBC，因而有∠APG=∠PAG=∠EOG=∠OBC，而由菱形ABCD确定知∠OBC确定，从而目标∠APG确定，即不变，选D.  动图加载中 解题后反思：由题目已知“一次垂直平分”，联想菱形性质，再造“二次垂直平分”，得到了“共斜边的双直角三角形模型”以及“中位线模型”，利用“四点共圆”巧妙转移角，进而解决问题！“数学是聪敏人的游戏”，“大脑越用越灵活”！ 动图加载中 上面两种方法都用到了“构造辅助圆”的方法，初三学生适用，下面再提供一种来自南京李玉荣（李帅）老师的适合初二学生的解法，为李老师点赞！ 动图加载中 解法三（“垂直平分线” “角平分线”结合法）： 第一步（见垂直平分线，连端点，得“等边”）：如图6-8所示，连接GA与GP，由EG垂直平分AP知GA=GP； 第二步（见（菱形）角平分线，作双垂，得“等边”）：如图6-8所示，由菱形ABCD易得∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC； “见角平分线，作双垂”，即过点G作GM⊥BA于点M，作GN⊥BC于点N，则GM=GN； 第三步（“HL”得“全等”）：如图6-9所示，易得Rt△AMG≌Rt△PNG，从而有∠AGM=∠PGN，进而易得∠AGM ∠MGP=∠PGN ∠MGP，即有∠AGP=∠MGN； 第四步（由“多边形内角和定理”导角）：如图6-10所示，在四边形BMGN中，易知∠MGN ∠MBN=180°，而∠MBN确定，从而∠MGN也是确定的； 因此与∠MGN相等∠AGP也是确定的，最后锁定等腰三角形AGP，由其顶角∠AGP不变易知，其底角∠APG也保持不变，故选择分支D. 动图加载中  动图加载中 解题后反思：此法通俗易懂，简洁大方，不得不让人惊叹李老师在解题上的造诣深厚，尤其是从学生角度，从题目本质入手去思考问题，这一点值得所有人学习.解题时，有时候不宜将简单问题复杂化，这一点笔者确实要去深思，要想办法去探寻问题的本质，溯源索因，方成大器！解法三这种角平分线与垂直平分线的搭配使用，使人茅塞顿开，有如醍醐灌顶.相比较于前面的两种所谓“辅助圆法”简单的不可以道理记！ 甚至于，李老师还提出了下面的有关“角平分线”的常规解法，不得不让人再次发自内心的敬佩！ 动图加载中  动图加载中 解题后反思：解法三与解法四都是巧妙利用了菱形中存在的角平分线，借助一些常规处理手段，通过导角最终得出所求为定角，极其简洁漂亮，让人折服！ 看到了解法四中的“三爪图”，笔者还是有一种造“辅助圆”的冲动，不妨一试，引出解法五，旨在回归本文主旨，同学们有兴趣欣赏一下即可！ 动图加载中 解法五（“超级对称” “隐形圆导角”）： 如图6-12至图6-14所示，一切尽在图中，不再赘述！  解题后反思：解法五与解法一异曲同工，都是巧妙造出“三爪图”，再作辅助圆，通过巧妙导角，从而得出结论，省去了一些繁琐的角的推导过程！ 最后看一道略显不同的“隐形圆”，旨在告诫同学们，数学解题联想机制的重要性！ 例7：如图7，以△ABC的边AB为底作等腰△PAB，且∠P=2∠C，AC与PB交于点D，若PB=4，PD=3，则AD与DC的乘积等于 .  解法一（联想“圆周角与圆心角的关系”，构造辅助圆法）：看到“∠P=2∠C”这个条件，同学们的第一反应是什么？同学们是否能够联想到什么学过的知识？ 大胆去联想吧！数学的灵动需要同学们丰富的联想，让脑袋瓜动起来！ 笔者联想到了“同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半”，即将∠C想象成圆周角，而∠P自然是相应的圆心角，通过这种方式构造辅助圆，如图7-1，惊现“隐形圆”；  解题后反思：本题巧妙联想“同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半”，构造出有趣的辅助圆，借助圆中的常见模型解决问题，思路精巧，方法独特，值得同学们用心体味！另外，图7-2中其实就是圆中相交弦定理，这一部分已在新教材中被删除，但有兴趣、有能力的学生可以稍作了解，圆中由数之不尽的相等角，若用相似的眼光来看圆，其间就会有数之不尽的相似三角形，圆与相似三角形间的不解之缘，其实是作为数学爱好者应该去探索的，这不仅仅是为了最终的一张中考卷，更主要的是我们的数学探究之情怀！ 注意：解法一中构造的辅助圆，按逻辑性应该先是以P为圆心，以PB为半径作的圆，因为PA=PB的巧合性，点A也在此圆上；又由“∠P=2∠C”可以得到点C也在此圆上，这才画出了图7-2，其间的细节还有待同学们细心琢磨. 再提供两种“无圆”解法，同学们可以类比一下，看看每种解法各自的优势之所在！ 解法二（倍长“倍角”边，构造等“半角”）：首先依然是处于对“∠P=2∠C”条件的联想与处理，这里采取利用“倍角∠P”构造其相应的“半角∠Q”，如图7-3所示，则有∠C=∠Q，这里就是想办法处理系数“2”，且易知PQ=PA=PB； 同解法一，可得如图7-4所示的“斜8字型”相似，再得到比例式，化为乘积式，进而问题得解.  解题后反思：“道是无圆却有圆”！解法二与解法一有很多相似之处，只不过作出圆后就可以直接利用圆中的相关结论解决问题，无需再去证明这些圆中模型了，但难在构思出“辅助圆”；而“无圆”解法则是想办法处理系数，构造“倍半角”，进而得到相似等基本图形，从而解决问题！殊途同归，最终聚焦在同一组相似形中，类比的乐趣不言而喻！ 值得一提的是，其他的“倍半角”构造法，笔者都去尝试过，但都不如解法二简单，大家可以自己也去探究下，你就会发现只有解法二这种巧妙的构造能将题目中的相关条件都很好地集中在一块，并且不会破坏结论要求的相关边长，“只可意会，不可言传”，如图7-7所示等构造法，真的有些得不偿失，不再详述！ 这里之所以说的如此“啰嗦”，旨在提醒大家，数学构造法的最精髓要点是想办法将条件及结论“一箩筐”集中在一块，用广东苏德杰（人称“苏子”）大师的经典语录来说，“它们是一伙的”！越集中越好，以“不破坏”所需结构为第一原则，不然可能会“绕弯”！  “扯远了”，哈哈！言归正传，还是赶紧回到我们的主题上来，即“路径之隐圆（弧）问题”！前面说了这么多，其实只说了其判断方法之一，笔者称之为定义法，即在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹.并且我们利用隐形圆解决了路径长及最值问题等动态性问题，还利用隐形圆解决了静态求边长等确定性问题！ 动图加载中 下面继续介绍第二种“路径之隐圆（弧）问题”判断方法，笔者称之为“定边对直角模型”！ (二)定边对直角模型 1.知识储备： (1)直径所对的圆周角都为直角，直角所对的弦也始终为直径，如下图（左）所示. (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如下图（右）所示. 动图加载中 2.模型构建： 如下图（左）所示，定边AB对直角∠P，这里点P是动点，则动点P的轨迹是以AB为直径的圆，如下图（右）所示； 动图加载中 点P的轨迹之所以是圆，可以用知识储备1的联想结合知识储备2的严谨推理，回归到前面的定义法来解释，不再详述，笔者称之为“定边对直角”模型！之所以将这个模型单独抽离出来，是因为其在中考里的应用太广泛了，许多题目都与这个模型有关，大家如果熟悉这个模型再能够加以灵活运用，很多问题将会迎刃而解. 前文“定义法”中的例2其实就可以用“定边对直角”模型直接秒杀，同学们可回头看看，下面再提供几例，让大家熟悉此模型的识别与应用！ 动图加载中 3.模型应用： 例8.如图8所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，再连接BE，求BE的最小值. 动图加载中 问题1：为什么线段BE有最小值一说？ 答：因为点B是定点，而点E是动点，自然就会产生最值之问题！ 问题2：既然动点E产生了求BE最值之问题，你觉得解决问题的关键是什么？ 答：问题的关键自然是动点E到底是怎么运动的，即其运动的路径（或轨迹）是什么，搞懂了这一点，也就自然牵住了“牛鼻子”！ 问题3：那么动点E的路径（或轨迹）到底什么呢？ 答：点E处存在着定角，图中至少有两个定角，即∠CEA=90°及∠CED=90°；动点E处有定直角了，自然联想到“定边对直角”模型，我们可以循着这两个直角去寻找其对的边是否确定，具体操作如下： 直角∠CED所对的边CD是变化的，可排除；而直角∠CEA所对的边AC是确定的，这就是我们要寻找的“定边对直角”模型，由此易知动点E一定在以AC为直径的圆O上运动，如图8-1所示； 动图加载中 解题后反思：此题是一道典型的“定边对直角”最值问题，其基本破解之道，首先要有寻找目标动点的轨迹意识，而这就需要我们先看看该动点处是否存在着直角，往往这样的直角并不唯一；接下来就需要循着找到的“直角们”去看一看它们所对应的边有木有确定的边，称为“定边”，一旦两者兼有，就自然形成了“定边对直角”模型，这就会产生所谓“隐形圆”之说，画出这样的辅助圆，往往问题就会迎刃而解，尤其是一些最值问题，常常都是转化为“点圆距离”、“线圆距离”等！ 动图加载中 动图加载中 上面这个“无圆解答”也是极其漂亮的，巧妙取中点，巧解三角形三边之间的关系，轻松搞定最值问题，但是我想说，对于本题而言，“道是无圆却有圆”！ 这里的两种解法希望同学们都要掌握，有的时候两者是互通的，但有的时候也未必，比如看下面这例： 动图加载中 例9.如图9所示，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上， 当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 . 动图加载中 简析：本题中点D的路径还是比较复杂的，后续会有专门研究，大家有兴趣也可以先思考；这里想找到点D的路径再去计算最值不是一件容易的事，但若采取上面的第二种解法，问题会相当简单明了； 动图加载中 解题后反思：此题中点的构造可以说是妙到毫巅，一举多得，将条件与结论联系到天衣无缝之境！掌握了这里的原理，此种类型题可以千变万化，但万变不离其宗！下面引出几个变式，以期抛砖引玉之效！ 动图加载中 动图加载中 动图加载中 动图加载中 此题不再赘述，请感兴趣的同学自我反思，万变不离其宗，跟上面方法同源，只不过在求一些定边长时麻烦了些而已，但确定的东西总可解，这一点大家是不用担心的，哈哈！ 动图加载中 其实，此变式还可以将半圆补成整圆，如图9-9所示，因为∠MON=90°，所以点O一定在这个圆上，从而问题求OC的最大值就转变为了求圆中弦长的最大值，很明显直径时最大为2，更简单，圆的应用价值不言而喻，值得大伙深思！ 其实“定边对直角模型”可以轻易转化为第一种“定义法”，但之所以将其单独拎出来，主要鉴于两点考虑：一是“定边对直角模型”在中考里或解题中太常见了，应用太广泛；二是也为接下来的第三种判断方法，即“定边对定角模型”作一个很好的铺垫！敬请期待！ （第二集完！） |
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