等强度箱形截面悬臂梁近似解析法

等强度箱形截面悬臂梁近似解析法

张少勇 陈梅珠 冷新中 费建伟

(杭州恒达钢构股份有限公司， 杭州 311217)

摘 要：常见的悬臂梁为等截面构件，荷载作用下，其弯曲应力和构件挠度计算比较简单，但等截面悬臂梁没有充分发挥材料的力学性能，若将构件做成变截面，可实现等强度，达到结构优化设计的目的。基于悬臂梁各截面弯曲强度应力相等原则，推导矩形截面、箱形截面高度随构件长度的变化函数，得到非线性方程，但很难得到解析解，通过在悬臂梁上选取关键控制点，求解关键点处函数值，将各关键点通过拟合得到高度变化函数。分别计算悬臂梁的弯曲变形和剪切变形，弯曲变形根据各截面弯曲曲率相等的特性，由曲率与变形的几何关系得到，而剪切变形由图乘法通过积分运算得到。

关键词：非线性方程； 拟合； 曲率； 剪切变形

1 概 述

悬臂梁结构是工程上一种较为常用的结构。悬臂梁结构在实际使用过程中[1]，一般承受弯矩较为常见，而弯矩沿构件轴向呈二次抛物线式分布，如采用等截面梁是很不经济的。可采用变截面梁，使各截面上的弯曲应力相等，即等强度梁。梁的等强度设计是一种体积最小且满足强度条件的最优化设计，在实际应用上具有重要的意义[2]。

2 等强度悬臂梁近似解析法

从简单的矩形截面入手，分析等强度条件下截面高度函数。基于构件制作因素，将悬臂构件做成等宽，高度沿构件长度变化的变截面梁，很有现实意义。

2.1 矩形变截面悬臂梁

某矩形变截面悬臂梁示意见图1。任意截面的弯矩为，截面宽度为b，高度为h(x)，两端截面高度分别为0，h；两端截面惯性矩分别为。则x，任意截面的惯性矩为，截面模量为，强度应力为，故矩形截面可实现变截面等强度悬臂梁设计。

图1 矩形变截面悬臂梁示意

2.2 箱形变截面悬臂梁等强分析

任意截面的弯矩为，截面宽度为b，高度为h(x)，厚度为t，悬臂梁根部截面高度为h；截面惯性矩为，因工程中常用截面是H形截面，因此当截面为H形时，其惯性矩表达式只需将b-2t改成b-tw即可，推导过程类似箱形截面。则截面模量和端部截面强度应力分别为：

(1a)

(1b)

任意截面模量为W(x)，强度应力为:

(2)

则：

(3a)

任意截面的截面模量又为：

(3b)

则：

(3c)

即：

(3d)

1)当t较小时，可考虑h-2t≈h，h(x)-2t≈h(x),则式(3d)简化为：

(4)

即：

(5)

2)若按精确计算，假设某悬臂梁的b=h=500 mm，t=14 mm，则式(3d)简化为：

{500h3(x)-472[h(x)-28]3}/h(x)

(6)

可见h(x)在分母，不能为零，即在端部截面应力有突变，并非沿构件整长是等应力的。方程式(6)求解不容易，基于构件制作时采用控制关键点的坐标来确定钢板的曲线，因此可对于分别取值为0.25，0.5，0.75，1.0，代入方程式(6)得到h(x)值，分别为61.64，168.64，319.98，500。由于端部截面高度不能为零，当取0时，方程式(1b)右边需取到最小值，令，则y′=56h3(x)+39 648h2(x)-10 361 344=0，此方程没有实数解。设q=20 N/mm,l=2 500 mm,经试算当h(x)取16 mm时，方程式(6)右边取到最小值。但是为了便于车间制作，端部截面高度不能小于上、下翼缘板厚度之和，因此取h(x)=2t=28 mm时，对上述h(x)进行拟合得到如图2所示曲线；悬臂梁截面弯曲应力沿构件分布情况见图3，可知，在端部截面弯曲应力存在突变。

图2 悬臂梁截面高度曲线

图3 弯曲应力沿构件分布情况

由图2可知，关键点数据经拟合得到方程为：

(7)

2.3 箱形变截面梁变形计算

梁的变形计算包括两部分：弯曲变形和剪切变形，计算公式如下：

(8)

其中

A(x)= bh(x)-(b-2t)[h(x)-2t]=

2th(x)+2tb-4t2

式中(x)分别为真实荷载与单位虚荷载作用下任意截面弯矩；(x)分别为真实荷载与单位虚荷载作用下任意截面剪力；k为剪切形状系数；E和G分别为材料的弹性模量和剪切模量。

2.3.1 弯曲变形

首先计算弯曲变形，则悬臂梁变形为：

(9)

代入截面高度函数式(7)，积分求解变形，将难以实现，即使截面高度函数采用2.2节中的线性函数，即x，积分也很困难。常规的方法是建立有限元实体模型求解。

本文基于曲率与弯曲变形的关系，推导求解变截面悬臂梁变形。由于是等强度悬臂梁，各截面弯曲应力相等，因此弯曲应变为：

(10)

曲率与应变的关系为：

(11)

曲率半径为：

(12)

则变形将由几何关系得到，如图4所示，由此可得到弯曲变形值v。

图4 变形几何关系

2.3.2 剪切变形

1)计算均布荷载作用下的剪切变形，将由下列公式得到：

(13)

其中

式中：Aw(x)为任意截面腹板面积。

(14)

当h(x)取线性函数时：

(15a)

当h(x)取非线性函数时：

(15b)

此积分将变得复杂。当求解上述剪切变形后，累加弯曲变形得到悬臂梁端部的总变形量。

2)计算端部集中力F作用下剪切变形，将由下列公式得到：

(16)

当h(x)取线性函数时：

(17)

此时求解将进入异常，故再次强调端部截面高度不能为零。

3 理论奇点分析

悬臂梁任意截面的截面模量为，而端部截面弯矩为零，其截面模量不能为零，因截面高度函数在其分母位置，否则将导致弯曲应力在端部不正常；若在悬臂梁端部存在集中力，而端部截面高度为零，则剪切变形计算将呈现异常；从构件制作的角度考虑，在端部取较小的截面高度， 可满足构件的应力和变形计算，而不会导致理论上出现无穷大的情况。

4 结 语

本文基于悬臂梁各截面弯曲强度应力相等原则，推导矩形截面、箱形、H形截面高度随构件长度的变化函数，得到非线性方程，但很难得到解析解，通过在悬臂梁上选取关键控制点，求解关键点处函数值，将各关键点通过拟合得到高度变化函数h(x)，由于理论上在悬臂梁端部h(x)必须为有限值，否则在计算弯曲应力时呈现异常，或在有端部集中力作用下计算剪切变形将呈现异常情况，因此将端部高度选定为某个小的数值，而此时弯曲应力在端部截面呈现突变现象，由图3可知，沿整个构件不能实现弯曲等强度。

对于悬臂梁，分别计算其弯曲变形和剪切变形，弯曲变形由各截面弯曲曲率相等这一特性，由曲率与变形的几何关系得到，而剪切变形由图乘法通过积分运算得到。

参考文献：

[1] 夏云.基于ANSYS的矩形截面等强度悬臂梁的设计[J].中国西部科技，2010,9(23):26 - 27.

[2] 叶开沅，俞焕然.超静定等强度梁[J].兰州大学学报，1983(增刊2):1 - 9.

APPROXIMATE ANALYTICAL METHOD OF EQUAL STRENGTH BOX-SECTION CANTILEVER BEAMZhang Shaoyong Chen Meizhu

Leng Xinzhong Fei Jianwei

(Hangzhou Hengda Steel Co. Ltd, Hangzhou 311217, China)

Abstract：Common cantilever beam is a prismatic member，under load，bending stress and deflection calculations of the component are relatively simple，but prismatic cantilever beam can not fully exert mechanical properties of materials. If components of variable cross-section can achieve equal strength, then, the optimal design of the structure would be realized. Based on the principle of equal strength stress on each section of the cantilever beam, the function of the change in the height of rectangular section and box-section with length of the components was deduced, and nonlinear equations were got, by which it is difficult to obtain analytical solutions. By selecting critical control points on the cantilever beam, the function value at the key point was solved, and the function of the change in the height was got through fitting the values of all the key points. The bending and shear deformations of the cantilever beam were calculated respectively, the bending deformation was got by the relation of curvature with deformation, according to the bending curvature of the sections being equal; and the shear deformation was obtained by integral operations and chart multiplication.

KEY WORDS：nonlinear equations; fitting; curvature; shear deformation

第一作者：张少勇，男，1981年出生，工程师。

Email：[e-mail]

收稿日期：2014 - 11 - 20

DOI：10.13206/j.gjg201505005