函数图像及其变换的有关方法和重要性质解题技巧与方法
严华约2457字
函数的图像与性质是每年高考的必考内容,并且是重中之重.考查的内容包括函数的单
调性､周期性､对称性和最值及图像的变换.考查层次一般为两个层次:一是
基础再现型,多为选择题､填空题,有时也有解答题的中等题;二是创新综合型,多为解
答题中的压轴题.函数的图像是研究函数的重要工具,图像语言是重要的数学语言,数形结合
思想是重要的数学思想.图像变换是重要的初等变换,因而在近年高考中函数图像变换倍受
青睐.不仅在选择题､填空题中直接考查､广泛渗透,而且在解答题中也有增
强的趋势.关注函数图像及其图像变换也成为了区分考生思维水平与能力层次的一种常用的
命题策略.对此我们须对函数的图像与性质有深刻的了解.首先我们来了解一下作函数图像
的常用方法和常见的图像变换有哪些.
1.作函数图像的常用方法
①描点法作图:结合函数的性质,如定义域､单调性､极值点､奇
偶性､周期性､对称性､截距等.
②利用图像变换作图:
平移变换:(m,n>0)
y=f(x)(向右平移m个单位)→y=f(x-m);
y=f(x)(向左平移m个单位)→y=f(x+m);
y=f(x)(向上平移n个单位)→y=f(x)+n;
y=f(x)(向下平移n个单位)→y=f(x)-n.
伸缩变换:(m,n>1)
y=f(x)(纵坐标不变,横坐标扩大为原来的m倍)→y=f;
y=f(x)(纵坐标不变,横坐标缩小为原来的)→y=f(mx);
y=f(x)(横坐标不变,纵坐标扩大为原来的n倍)→y=nf(x);
y=f(x)(横坐标不变,纵坐标缩小为原来的)→y=.
对称变换:
y=f(x)(关于x轴对称)→y=-f(x);
y=f(x)(关于y轴对称)→y=f(-x);
y=f(x)(关于原点对称)→y=-f(-x);
y=f(x)(关于直线y=x对称)→y=f-1(x);
y=f(x)(关于直线x=m对称)→y=f(2m-x);
y=f(x)(关于直线y=n对称)→y=2n-f(x).
y=f(x)(y轴右侧图像不变,去掉左侧图像并作出与右侧对称的图像)→y=f(|x|);
y=f(x)(x轴上方图像不变,将x轴下方图像沿x轴向上翻折)→y=|f(x)|.
2.图像的对称性
常见函数的对称性有:
①函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称?圳f-1(x)=f(x);
②函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称?圳对于定义域内任意的x都有f(a+x)=f(a
-x).
下面先以二次函数的性质图像举例说明:
在复习函数的单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在对称轴两侧区间上
的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充
分利用函数图像的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数
有关的一些函数单调性.
例1画出下列函数的图像,并通过图像研究其单调性.
(1)y=x2+2|x-1|-1;
(2)y=|x2-1|;
(3)y=x2+2|x|-1.
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值记号的函数用
分段函数去表示,然后画出其图像.
例2设f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t).求g(t)并画出y=g(t)
的图像.
解f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2.
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1时,g(t)=-2;
当t>1时,g(t)=f(t)=t2-2t-1;
当t<0时,g(t)=f(t+1)=t2-2.
g(t)=t2-2,(t<0),-2,(0≤t≤1),t2-2t-1,(t>1).
首先要让学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或者只有最小值或者只
有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之发生变化.这也是学生在学
习时容易出错的地方,我们可以辅以图像帮助理解.
二次函数,它有着丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数
的性质,可以建立起函数､方程､不等式之间的联系,可以编拟出层出不穷
､灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的
深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力.我们可以再以其他
函数为例对图像的变换应用加以说明.
例3f(x)=2sinx是定义在区间[-10,10]上的奇函数,令g(x)=af(x)+b,则下列关
于函数g(x)的叙述正确的是().
A.若a<0,则函数g(x)的图像关于原点对称
B.若a=1,0
C.若a=-2,b=0,则函数g(x)的图像关于y轴对称
D.若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有三个实根
解析当若a=1,0
0,g(3)=f(3)+b<-2+b<0,所以当x∈(2,3)时,必有g(x)=0,故B正确.
例4已知函数y=ex的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则以下选项
正确的是().
A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2•lnx(x>0)
C.f(2x)=2ex(x∈R)D.f(2x)=ln2+lnx(x>0)
解析函数y=ex的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,所以y=f(x)是
y=ex的反函数,即f(x)=lnx.
∴f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0),故D正确.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文
｡”
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